Диссертация (1150462), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Частицы не14связаны между собой сеточными линиями и не ограничены таким образом в своихперемещениях в пространстве. По значениям физических величин, приписанных частицам,разбросанными в некой области, могут быть аппроксимированы непрерывные распределения(поля) этих величин в этой области. Для этого может быть использована т.н. функция ядра,традиционно применяемая в задачах статистики для приближенного вычисления распределенияплотности вероятности по набору разбросанных в пространстве значений (см., к примеру,[98, 106]).
С использованием восстановленных таким образом полей величин, уравнениядвижения среды могут быть переформулированы в уравнения, связывающие движениясоседних частиц (входящие в уравнения пространственные производные от той или инойвеличины могут быть вычислены с использованием соответствующих пространственныхпроизводных от функции ядра).Впервые такой подход был продолжен независимо друг от друга в работах [39] и [77] (вовторой работе было привнесено общепринятое на сегодняшний день название метода SmoothedParticle Hydrodynamics (SPH)). В русскоязычной литературе устоявшимся является названиеМетод сглаженных частиц.Изначально метод SPH предназначался для расчета астрофизических явлений(формирование звезд и пр.). Помимо этого он нашел применение при расчетах теченийсжимаемого газа. Впоследствии были предложены формулировки метода SPH для расчетатечений несжимаемой жидкости. Здесь принципиально можно выделить два подхода.
В первомиз них для обеспечения условия бездивергентности поля скорости решается специальноеуравнение Пуассона для давления (см., к примеру, [25, 54, 139]). Этот подход обеспечиваетвысокую точность результатов при расчетах течений со свободной поверхностью, однакотребует дополнительных затрат вычислительных ресурсов на решение уравнения Пуассона. Вовтором подходе жидкость считается слабо-сжимаемой, и для нее записывается специальное(искусственное) уравнение состояния, связывающее величины плотности и давления.
Методкорректно работает в условиях, когда характерные скорости течения много меньшеэффективной скорости звука. Благодаря простоте и сравнительно низким вычислительнымзатратам метод получил широкое распространение (см., к примеру, [8, 22, 55, 79, 122]).Методика расчета течений несжимаемой жидкости может быть применена и для расчетатечений со свободной поверхностью (газовая фаза при этом игнорируется, см. рисунок 1.3).Такой подход зачастую используется и в настоящее время (см., к примеру, [30]).Существует ряд задач, в которых газовая фаза не может быть проигнорирована (кпримеру, опрокидывание волны, всплытие пузыря и пр.).
Были предложены методики,позволяющие проводить расчеты совместного движения жидкой и газообразной фаз. При этомвозникли сложности, связанные с резким изменением плотности в окрестности межфазной15границы. Так методика, предложенная в работе [86] корректно работает лишь при соотношенииплотностей фаз порядка двух, а также приводит к нефизичному искривлению межфазнойграницы [25]. Более поздние методики, в частности [22, 24, 42 и 55] лучше справляются с этойзадачей, однако также имеют свои недостатки. Методика [22] не позволяет корректнорассчитывать течения с сильным сжатием газа, методика [55] хорошо работает дляакадемических задач с медленным движением [43].
В методиках [24, 42] фазы могутсосуществовать в рамках одной частицы – каждая частица хранит информацию об объемныхдолях составляющих ее фаз. При использовании такого подхода не удается избежатьчисленного «размытия» межфазной границы.Рисунок 1.3. Движение частиц при решении модельной задачи о течении после обрушениядамбы с использованием метода SPH. Рисунок заимствован из [53]С помощью метода SPH было проведено множество расчетов различных течений сосвободной поверхностью, включая набегание волны на берег [87], опрокидывание волны [22],плескание жидкости в баке [107], волны у носа корабля [20], отливка из металла [19] и пр.Основными достоинствами метода SPH являются высокая точность описания конвекциии возможность расчета сложных течений с сильной деформацией свободной поверхности.Также к достоинствам метода SPH можно, в частности, отнести следующие.- Метод позволяет легко варьировать степень точности решения и, соответственно,вычислительные затраты для различных подобластей расчетной области путем заданияразличной длины сглаживания (то есть, расстояния, на которое действует функция ядра) дляразличных частиц.
Так, к примеру, в работах [88, 119] использовалась своя длина сглаживаниядля каждой частицы.-Вметодможетбытьвстроенавозможностьучетасилповерхностногонатяжения [89, 94].- Метод обеспечивает баланс импульса в расчетной области в целом (см., напр., [38]).16К недостаткам метода SPH, помимо сложностей, связанных с аккуратным расчетомдвижения жидкости и газа одновременно, можно отнести следующие.- В метод не заложена возможность обеспечения требуемой густоты расчетных узлов(частиц) в тех или иных частях расчетной области (поскольку частицы непрерывно движутсявместе со средой), что относительно легко можно сделать при использовании эйлеровыхметодов путем сгущением неподвижной расчетной сетки.
Таким образом, возникают большиесложности с аккуратным прописыванием пристенного пограничного слоя, что может бытьнеобходимо при расчете течений с отрывом пограничного слоя.- Существуют проблемы, связанные с возникновением скоплений частиц и образованиемнефизичных пустот.- Не совсем понятно, как при использовании метода SPH учесть испарение/конденсацию(межфазный переход).- Метод не предназначен для расчета стационарных течений.- Поскольку, как уже было отмечено, в методе SPH пространственные производные отвеличин, в частности, их градиенты, входящие в уравнения, связывающие движения соседнихчастиц, вычисляются с использованием производных от функции ядра, не получаетсяобеспечить равенство нулю градиента от однородного поля.
Известно, что уравнения,описывающие движение несжимаемой жидкости (или смеси несжимаемых жидкостей),давления участвует только в виде градиента, таким образом, решение не должно зависеть отфонового уровня давления, который может быть задан произвольным. Однако, в силууказанной особенности метода SPH, численное решение оказывается зависящим от этогопроизвольно задаваемого параметра.1.1.2. Метод маркеров в ячейках (Marker-and-Cell (MAC) Method)Метод MAC, предложенный Харлоу [46], относится к классу эйлеровых методов, то естьрасчеты проводятся на неподвижной сетке. Для определения того, какая часть расчетнойобласти занята жидкостью, а какая является пустой, в этом методе используются точечныечастицы-маркеры, которые распределены по объему жидкости и движутся вместе с ней, незанимая объема и не влияя на течение (см.
рисунок 1.4, а). Ячейка содержит жидкость, если вней есть хотя бы один маркер, в противном случае ячейка считается пустой, и вычисления длянее не проводятся. В оригинальном методе MAC в пустых ячейках просто задавалосьпостоянное (атмосферное) давление; известны модификации метода, в которых давлениезадается на интерполированной границе жидкости, и при этом учитывается поверхностноенатяжение [27, 93].17Метод маркеров в ячейках позволяет рассчитывать сложные течения с объединениеми/или разделением объемов жидкости, моделирование которых с использованием сеточныхлагранжевых методов представляет значительную сложность. Эта способность метода MAC(как и других interface capturing методов) обусловлена тем, что маркеры отслеживают движениеименно объема жидкости, а не его поверхности.
При этом свободная поверхность определяетсяпросто как граница объема, занятого жидкостью, благодаря чему поверхности могутобъединяться, распадаться, появляться или исчезать при слиянии или разделении объемов.Однако, метод MAC нельзя отнести к экономичным ввиду необходимости расчета весьмабольшого числа частиц-маркеров. Недостаток частиц снижает точность определения положенияконтактной границы и, кроме того, может приводить к нефизичному появлению «пустых» ячеекв объеме, заполненном жидкостью (например, вблизи точки торможения потока).
Обычнотребуется около 4N (где N = 2 или 3 – размерность задачи) маркеров на каждую ячейкурасчетной сетки. Практическое применение метода МАС ограничивалось преимущественнодвумерными задачами; на сегодняшний день данный метод почти не используется.а)б)Рисунок 1.4. Восстановление границы раздела по положению дискретных маркеров прииспользовании метода МАС (а) и метода поверхностных маркеров (б)1.1.3. Метод поверхностных маркеров (Surface Marker Method)Естественное стремление уменьшить вычислительные затраты метода MAC привело кпоявлению метода поверхностных маркеров [26, 47, 93], в котором точечные частицы-маркерырасположены не в объеме жидкости, а только на поверхности раздела (рисунок 1.4, б).
Это нетолько делает данный метод более экономичным по сравнению с методом MAC, но и позволяетболее точно описывать контактную границу и поверхностное натяжение.С другой стороны, отказ от объемного распределения маркеров делает проблематичнымрасчет течений со слиянием и/или разделением объемов жидкости, поскольку требуетсянетривиальная логика для определения конфигурации свободной поверхности в моменткасания объемов.
Непростой задачей оказывается и восстановление формы свободной18поверхности (вообще говоря, неизвестной топологии) по набору «разбросанных» по ней точек.Наконец, сохраняется присущая методу MAC проблема локального уменьшения концентрациимаркеров (например, при сильной деформации границы раздела), что приводит к потереточности.В двумерном случае перечисленные проблемы отчасти удается решить. Однакоиспользуемые при этом методики (например, поддержание равномерного распределениямаркеров вдоль границы) с трудом обобщаются на трехмерный случай. В связи с этимпрактическое применение метода поверхностных маркеров не вышло за рамки двумерныхзадач.1.1.4. Метод объемной доли жидкости в ячейках (Volume-of-Fluid (VOF) method)Как уже было сказано, способность метода МАС рассчитывать сложные течения, вкоторых граница раздела разрушается или пересекает себя, обусловлена тем, что маркерыотслеживают движение объема жидкости, а не его поверхности.
Однако расчет движениябольшого числа точечных маркеров оказывается весьма накладным и в настоящее времяпредпочтение отдается использованию непрерывных маркеров-функций. Поскольку положениеграницы раздела при этом явно не отслеживается, для ее реконструкции применяютспециальные методики. Обычно за границу раздела принимают изоповерхность среднегозначения используемой функции маркера, хотя применяют и более сложные методики.Методы, использующие функцию маркер, можно считать наиболее эффективными насегодняшний день методами решения задач о течении жидкости со свободной поверхностью.Под эффективностью в данном случае понимается не только оптимальное соотношение междуточностью алгоритма и временем решения задачи, но и возможность моделироватьразнообразные сложные течения (в том числе трехмерные, со слиянием и разделением объемов,с учетом сил поверхностного натяжения, кавитацией и т.п.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
