Диссертация (1150001), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Для молекул при низких температурах полученный факторсовпадает со значением, предложенным Гиршфельдером. При температурахвыше 5000 K среднее значение фактора для молекул стремится к константеfint = 1.40 . В среднем диапазоне температур значение фактора зависит отхимического сорта и температуры. В настоящей работе предложены аппроксимации fint (см. таблицу 2.1).
Для атомов при температурах выше 3000 Kсреднее значение фактора также стремится к константе, несколько большей,чем для молекул, fint = 1.42 . При низких температурах теплоемкость внутренних степеней свободы атомов близка к нулю, поэтому значение fint невлияет на теплопроводность и можно использовать предложенную константу во всем диапазоне температур.,//432fint=1.42150001000015000T,K20000Рис. 2.5. Теплопроводность атомов азота как функция от Т.На рис. 2.5–2.6 приведено сравнение коэффициентов теплопроводностидля атомов азота и кислорода, расчитанных при помощи точной кинетической теории и различных приближенных моделей.
Видно, что при температурах ниже 13000 K все модели дают одинаковые результаты, так как основной69,//32fint=1.42150001000015000T,K20000Рис. 2.6. Теплопроводность атомов кислорода как функция от Т.,//K1,21,00,80,60,40,2fint500010000=1,401500020000T,KРис. 2.7. Теплопроводность молекул азота как функция от Т.вклад в коэффициент теплопроводности вносит поступательная составляющая. Однако при дальнейшем повышении температуры, оригинальная формула Эйкена дает заниженные результаты, ошибка может достигать 20% .Поправка Гиршфельдера дает более точные результаты во всем рассматриваемом диапазоне температур, погрешность не более 6% . В данной работепредлагается использовать фактор fint = 1.42 для атомов при температурах2000 – 20000 K , так для него получена наилучшая точность.70,//K0,50,40,30,2fint=1.40,15000100001500020000T,KРис.
2.8. Теплопроводность молекул кислорода как функция от Т.,//K0,60,40,2fint500010000=1.41500020000T,KРис. 2.9. Теплопроводность молекул оксида азота как функция от Т.На рис.2.7–2.8 представлено аналогичное сравнение для молекул азота,кислорода и оксида азота. Формула Эйкена fint = 1 не работает при высоких температурах, ошибка достигает 20 – 25% . Формула Гиршфельдера сfint = 1.328 намного точнее, но при температурах выше 5000 K дает ошибкупорядка 5%. Предлагается использовать значение фактора fint = 1.40 , полученное при помощи точной кинетической теории.
Для средних температурfint зависит от температуры и может быть расчитан с помощью аппроксима-71ций.Таким образом, для инженерных расчетов коэффициентов теплопроводности мы можем предложить следующие значения фактора fint :cT < 20000 KNO1.421.42cT < 1000 K1000 < T < 5000 K5000 < T < 20000 KNOO2N21.3281.3281.328−2 · 10−9 T 2 + 3 · 10−5 T + 1.2988−3 · 10−9 T 2 + 3 · 10−5 T + 1.3436−8 · 10−9 T 2 + 6 · 10−5 T + 1.27831.401.401.40Таблица 2.1.
Значение поправки fint для формулы Эйкена.2.2. Релаксационное давлениеВ этом параграфе будет рассмотрено релаксационное давление. Какпоказано в Главе 1, диагональные элементы тензора напряжений (1.89) содержат дополнительные слагаемые — объемную вязкость ζ и релаксационное давление prel . Объемная вязкость подробно исследована в литературе [12,21,37,39,46,74]. В то же время, релаксационное давление до настоящеговремени практически не рассматривалось. В нашем случае, релаксационноедавление появляется вследствие быстрых неупругих TR–, RR–, VT–, VV– иET– обменов поступательной, электронной, вращательной и колебательнойэнергией и, кроме этого, замедленного процесса химических реакций, характерное время которого сравнимо с газодинамическим, то есть со временемизменения макропараметров (Глава 1).Релаксационное давление выводится на основе строгого алгоритма расчета коэффициентов переноса (Глава 1).
Для нахождения prel (1.111) решалась система линейных алгебраических уравнений (1.137)–(1.138).2.2.1. Расчет интеграла от сечений реакции диссоциацииДля решения системы (1.137)–(1.138) необходимо произвести расчет инP R (r) (p) sl(0)теграла от сечений реакции диссоциацииS 1 PI JcI duc [87], содерI272жащий полиномы Сонина и Вальдмана-Трубенбахера, которые при r, p = 0, 1имеют вид (1.97), (1.99).При учете электронного возбуждения, мы рассчитываем интеграл приусловии, что сечение диссоциации σdiss не зависит от уровней n , i и j .
Втаком случае:X Z (1) sl(0)PI JcI duc = 0.(2.7)IСледовательно, ненулевыми остаются только члены:X Z (1) (0) sl(0)X Z (0) (0) sl(0)S 1 PI JcI duc .S 1 PI JcI duc +I2(2.8)2Isl(0)Интегральный оператор медленных процессов JcI можно привести к виду:X X Z (0) (0)sl(0)JcI = ωrfcI fdK gσdiss d2 Ωdud ,(2.9)dKгдеωrAr,dissAr,diss= 1 − exp,(2.10)RG T3 2πkTmcn3c− lnln+ ln Zcint − ln+= RG T2′′2 mc mf2hn c′ n f ′(2.11)+ NA (εc′ + εf ′ − εc ) ,здесь величина Ar,diss — химическое сродство реакции диссоциации.Далее используются кинематические соотношения для парного столкновения. Введем понятие собственных скоростей молекул по отношению кнекоторой системе координат, движущейся со скоростью v :cc = uc − v,cd = ud − v.(2.12)Скорость центра масс и относительная скорость определяются соответственно соотношениями:G = µc uc + µd ud ,g = ud − uc ,(2.13)где µc и µd даются следующими соотношениями:µc =mc,mc + mdµd =md.mc + md(2.14)73Соответствующие безразмерные скорости имеют вид: m 21 m 21cdCc =cc ,Cd =cd .2kT2kT1 m 21mc + md 2cd(G − v) ,g0 =g.G0 =2kT2kT(2.15)(2.16)−1−1где m−1cd = mc + md — приведенная масса сталкивающихся частиц.В выражении для интеграла от сечений реакции диссоциации (2.9) перейдем к новым переменным.
С учетом независимости сечения σdiss от уровней n , i и j получим:X Z sl(0) (1) (0)XXZ3JcI S 1 PI d Cc = ωrπ −3 nc nd exp (−G0 − g0 ) ×I2d IK3√22− µ c G 0 + 2 µ c µ d g 0 G 0 − µd g 0 ××2 m − 12cd×g0 σdiss d2 Ωd3 G0 d3 g0 .(2.17)2kTПереходим к сферическим координатам по G0 и по g0 . Интергал по G0берется при помощи Γ – функции, а для вычисления интеграла по g0 используем аналитические формулы приведенные в [1]. В результате получаем:rX Z sl(0) (1) (0)kT1DD12−,exp −JcI S 1 PI d3 Cc = ωr nc nd µd πσcd−222πmcdkTkT2I(2.18)где σcd — диаметр столкновения, D — энергия диссоциации молекул.2.2.2. Вклад релаксационного давления в тензор напряженийРассмотрим релаксационное давление для случая диссоциирующей смеси атомов и молекул азота с учетом электронного возбуждения.
Численноерешение приведенных выше транспортных систем линейных алгебраическихуравнений проводилось в диапазоне температур 3000–10000 К.На рис. 2.10 приводятся значения релаксационного давления (a) и вклада релаксационного давления в тензор напряжений в процентном соотношении (b) в зависимости от температуры для различных концентраций атомовазота. Видим, что релаксационное давление меняет знак, причем нулевое релаксационное давление приблизительно соответствует случаю химического74pp,rel/p,rel15%n /n=0.3N5000n /n=0.5Nn /n=0.7N010n /n=0.5 (N..)-50005n /n=0.3N-10000n /n=0.5Nn /n=0.7N-15000n /n=0.5 (N400060008000T, K(a)..)10000040006000T, K800010000(b)Рис.
2.10. Релаксационное давление как функция от T при различных значениях молярной доли атомов азота (a). Вклад релаксационного давления в тензор напряжений какфункция от T при различных значениях молярной доли атомов азота (b). p0 = 105 Па.N2 + N = N + N + Ndiss(0)равновесия, когда Rc= 0 . Знак релаксационного давления определяется направлением протекания химической реакции. В рассмотренном случаехимическое равновесие для различных концентраций наблюдается при температурах 7000–8000 К.
Для фиксированной концентрации nc /n = 0.5 приT < 7500 К для выхода на химическое равновесие должна преобладать реакция рекомбинации, а при T > 8000 К — реакция диссоциации. Таким образом, отрицательное релаксационное давление соответствует преобладающейреакции рекомбинации, а положительное — реакции диссоциации.На рис. 2.10(b) видим, что без учета электронного возбуждения вкладрелаксационного давления в тензор напряжений не превышает 8%, в то времякак при учете электронного возбуждения может достигать 14% при концентрации атомов азота, равной nN /n = 0.5 . При увеличении или уменьшении концентрации атомов азота величина вклада релаксационного давленияуменьшается. Так, при концентрации атомов азота nN /n = 0.5 в температурном диапазоне от 5000 до 9000К вклад релаксационного давления не превышает 4%.В целом можно отметить, что в условиях умеренного отклонения отравновесия можно пренебрегать релаксационным давлением при расчета нормальных напряжений.
Учет электронного возбуждения несколько увеличи-75вает вклад неравновесных реакций в тензор напряжений.2.3. Диффузия и поток тепла за фронтом ударнойволны2.3.1. Однотемпературное описание диффузии и потока теплаПерепишем систему (1.56) – (1.58) для случая бинарной смеси молекули атомов:dnmdiss−rec+ nm ∇ · v + ∇ · (nm Vm ) = Rm,dt(2.19)dnadiss−rec+ na ∇ · v + ∇ · (na Va ) = −2Rm,dt(2.20)ρdv+ ∇ · P = 0,dt(2.21)ρdU+ ∇ · q + P : ∇v = 0,dt(2.22)diss−recгде Rmопределяется формулой (1.62).Выражения для скорости диффузии и теплового потока в однотемпературном приближении получены в Главе 1, и для бинарной смеси могут бытьзаписаны в следующем виде:Vc = VcM D + VcT D ,(2.23)VcM D = −Dcd dd − Dcc dc ,VcT D = −DT c ∇ ln T,VcM D , VcT D — соответственно вклад массовой диффузии и термодиффузии.q = qHC + qM D + qT D ,(2.24)здесь qHC , qM D и qT D потоки тепла за счет теплопроводности (поток Фурье) поступательных и всех внутренних степеней свободы, массовой диффузии и термодиффузии, которые определяются следующим образом:qHC = −λ′ ∇T,MDq M D = ρm h m V m+ ρa ha VaM D ,76TDqT D = −p(DT m dm + DT a da ) + ρm hm Vm+ ρa ha VaT D .Такое представление удобно для анализа вклада различных диссипативныхпроцессов в перенос тепла.2.3.2.
Числовая плотность, температураЗапишем систему уравнений (2.19)–(2.22) для течения за фронтом ударной волны. Поток предполагается одномерным и стационарным, газ - невязким. При сделанных предположениях система уравнений для числовых плотностей атомов na и молекул nm , скорости v и температуры T имеет вид:d(vnm )diss−rec= Rm,dxXd(vna )= −2Ridiss−rec ,dxi(2.25)(2.26)dv dp+= 0,(2.27)dx dxdvdU+p= 0.(2.28)ρvdxdxЭлектронное возбуждение не учитывается. В набегающем потоке брались следующие условия: T0 = 271 К, p0 = 100 Па, M0 = 10; 15; 18 .Численное решение системы состояло из нескольких этапов. Газодинамические параметры непосредственно за фронтом ударной волны определялись из условий динамической совместности с учетом замороженного химического состава смеси во фронте волны.
Эти данные использовались при интегрировании системы уравнений для плотностей молекулярных и атомарныхкомпонентов, скорости и температуры газа. Матрица коэффициентов припроизводных искомых функций приводилась к диагональному виду. Далеесистема обыкновенных дифференциальных уравнений решалась численно спомощью стандартного солвера MATLAB ode15s. Он эффективен для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяет экономить время счета при достижении высокой вычислительной точности. Данные для nc (x) , v(x) , T (x) были получены Куновой О.В. [84].
На следующемэтапе, для исследования переноса массы и тепла значения макропараметрови их производных подставлялись в точные выражения кинетической теориидля коэффициентов переноса, скорости диффузии и теплового потока.ρ0 v772.3.3. Скорости диффузииРассмотрим суммарный поток диффузии в однотемпературном приближении nc Vc /n = nc VcM D /n+nc VcT D /n для атомов и молекул при M0 = 15; 18(рис. 2.11–2.12). Видим, что при M0 = 15 потоки диффузии атомов и молекулазота очень малы, так как диссоциация идет медленно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
