Диссертация (1150001), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Компонентами смеси являются частицы разных химических сортов в различных колебательных состояниях;число уравнений в системе равно L × Lc + 2 (здесь Lc — число возбужденных колебательных уровней частицы сорта c ). В случае бинарной смесиатомов и молекул число уравнений можно представить как Lc +La +2 . Решение данной системы представляет значительные трудности, так как требуетбольших вычислительных ресурсов.Модифицированный метод Энскога-Чепмена позволяет в каждом приближении выразить потоковые и релаксационные члены в уравнениях(1.169)–(1.171) через определяющие макропараметры nci , v , T и замкнутьсистему уравнений для макропараметров.1.3.3. Нулевое приближениеВ нулевом приближении метода Энскога-Чепмена функция распределения принимает вид:!ci m 232εjmc c cncic(0),(1.172)sci−fcij =j exp −2πkTZrot,ci (T )2kTkTздесь Zrot,ci (T ) — вращательная статистическая сумма,!ciX−εjZrot,ci =sci.j expkTj(1.173)Для взаимодействия двухатомных молекул можно использовать упрощеннуюc kTмодель жесткого ротатора, тогда Zrot,ci = Zrot,c = 8πIσh2 , σ — фактор симметрии, Ic — момент инерции молекулы сорта c .Функция распределения (1.172) представляет собой локально равновесную Максвелл-Больцмановское распределение по скорости и вращательнойэнергии и сильнонеравновесное распределение по колебательной энергии.Подстановка распределения (1.172) в (1.15) – (1.17) дает:q(0) = 0,P(0) = pI,(0)Vci = 0.(1.174)Система уравнений в таком случае имеет следующий вид:dnci(0)+ nci ∇ · v = Rci ,dtc = 0..L, i = 0..Lc ,(1.175)44ρdv+ ∇p = 0,dt(1.176)ρdU+ p∇ · v = 0.dt(1.177)(0)Правые части Rciприближения:(0)Rciопределяются функцией распределения нулевого=XZ vibr(0)Jcij+react(0)Jcijj.(1.178)Уравнения (1.175)–(1.177) описывают поуровневую колебательную и химическую кинетику в потоке многокомпонентной смеси невязких нетеплопроводных газов.1.3.4.
Первое приближениеВ поуровневом приближении в интегральном уравненииsl(0)(0)rapJcij(ϕ) = −Jcij + Dfcij(1.179)линеаризованный оператор наиболее частых столкновений будем записыватькакXrapJcij (ϕ) = −nci ndk Icijdk (ϕ),(1.180)dkгде линеаризованный оператор быстрых процессов вводится какZ Z1 X(0) (0)fcij fdkl (ϕcij + ϕdkl −Icijdk (ϕ) =nci ndk ′ ′lj l′ ′jl(g, χ, ε) d2 Ωd3 ud .−ϕcij ′ − ϕdkl′ ) gσcd,ijkl(1.181)′ ′jl(g, χ, ε) — дифференциальное сечение упругих столкновений издесь σcd,ijklстолкновений, приводящих к обмену вращательной энергией.
Тогда уравнение для ϕcij примет вид:X(0)sl(0)(1.182)−nci ndk Icijdk (ϕ) = −Jcij + DfcijdkТаким образом, в первом приближении метода Энскога-Чепмена функцияраспределения совпадает с (1.68) с точностью до индексов, а поправка первого порядка имеет следующий вид:11 X dk1Dcij · ddk − Bcij : ∇v −ϕcij = − Acij · ∇ ln T −nnndk4511− Fcij ∇ · v − Gcij ,(1.183)nn nci ρci nciгде dci = ∇ n + n − ρ ∇ ln p — диффузионная термодинамическая сила для частицы каждого сорта c на каждом колебательном уровне i , Acij ,Bcij , Ddcij , Fcij , Gcij — неизвестные функции, которые находим из соответствующих интегральных уравнений [39].
ci !ci2X nci ndk−ε rotε1 (0) mc cc 5jI(A)=f−+cc , (1.184)cijdkn2n cij 2kT2kTdkX nci ndkdkn2Icijdkρ1ci(0)δcb δin −Dbn =fcc ,nci cijρ(1.185)b = 1..L, n = 0, 1, ..Lc ,X nci ndk1 2mc (0)cc cc − cc I ,Icijdk (B) =fnkT cij3X nci ndk1 (0) mc c2cIcijdk (F ) = fcij− 1−n3kTdkdkn2n2p−ρT (ctr + crot ) ci !#−ε rotmc c2c 3 εcij− +,2kT2kT(1.186)(1.187)X nci ndkdk××1 sl(0) 1 (0)Icijdk (G) = − Jcij + fcij ×nn ci P (0) 3(0)c+ε+εkT+εRcicici Rci2rot−×nciρT (ctr + crot ) ci !!ci2ε−ε rotmc c c 3j− +.2kT2kTn2(1.188)rotздесь crot = ∂E∂T V — удельная теплоемкость вращательных степеней свободы, ctr = 23 R̂ , а осреднение по вращательной энергии определяяется выражением!ciX ci −ε1jαcij sci.(1.189)α rot =j expZrot,ci jkTДополнительные соотношения, следующие из условий нормировки,46имеют следующий вид:ZX(0)mc fcij Acij c2c duc = 0,(1.190)cijXmccijZ(0)dk 2cc duc = 0,fcij DcijXZfcij Fcij duc = 0,XZfcij Gcij duc = 0,d = 1..L,k = 0..Lc ,(1.191)(0)c = 1..L,i = 0..Lc ,(1.192)(0)c = 1..L,i = 0..Lc ,(1.193)jjXZ(0)fcijmc c2cci+ εj Fcij duc = 0,2(1.194)(0)fcijmc c2cGcij duc = 0.+ εcij2(1.195)cijXZcijВ данном приближении поток тепла принимает видXX 5cq = −λ′ ∇T − pDTci dci +kT + εcij rot + εi + εc nci Vci , (1.196)2ciciздесь DTci — коэффициент термодиффузии для каждого химического сортаи колебательного уровня.Скорость диффузии колебательных состояний имеет вид:XVci = −Dcidk ddk − DTci ∇ ln T,(1.197)dkDcidk – бинарный коэффициент диффузии для каждого колебательного уровня.Отметим, что в приближении поуровневой кинетики переходы колебательной энергии не дают вклада в теплопроводность λ′ = λtr + λrot , так какотносятся к медленным процессам в поуровневом описании.
Перенос колебательной энергии в данном приближении происходит вследствие диффузииколебательно-возбужденных молекул и описывается введением независимыхкоэффициентов диффузии для каждого колебательного уровня [39]. Vci и qв поуровневом подходе отличаются от соответствующих величин в однотемпературном приближении тем, что содержат не только градиенты температуры47и концентраций атомарных компонентов, но и градиенты заселенностей всехколебательных уровней.Выражение для тензора напряжений формально совпадает с (1.89):P = (p − prel ) I − 2ηS − ζ∇ · vI.(1.198)Следует отметить, что коэффициенты переноса в поуровневой и однотемпературной моделях определяются сечениями различных быстрых процессов.1.3.5.
Коэффициенты переносаКоэффициенты переноса λ′ , prel , η , ζ совпадают с (1.90)–(1.91), коэффициенты диффузии и термодиффузии каждого колебательного уровняопределяются следующим образом:Dcidk =1 ci dk D ,D ,3nDTci =1 ci D ,A .3n(1.199)[F, G] — интегральная скобка, которая в поуровневом приближении вводитсяследующим образом:X nci ndk′′ ′(1.200)+[F,G][F,G][F, G] =cidk ,cidkn2cidkZX1(0) (0)fcij fdkl (Gcij − Gcij ′ ) ×[F, G]′cidk =2nci ndk ′ ′jlj l′ ′[F, G]′′cidkjld2 Ωduc dud ,× (Fcij − Fcij ′ ) gσcd,ijklX Z (0) (0)1=fcij fdkl (Gcij − Gcij ′ ) ×2nci ndk ′ ′(1.201)jlj l′ ′jl× (Fdkl − Fdkl′ ) gσcd,ijkld2 Ωduc dud′ ′(1.202)jlгде σcd,ijkl— дифференциальное сечение быстрых процессов.Для решения интегральных уравнений функции Acij , Bcij , Ddcij ,Fcij , Gcij разложим в ряды по системам ортогональных полиномов Сонина(1.96) и Вальдмана-Трубенбахера, причем основание полинома ВальдманаТрубенбахера в поуровневом приближении зависит лишь от вращательнойэнергии.48Полиномы Вальдмана-Трубенбахера в поуровневом приближении задаются рекуррентными соотношениями:ED ci!εj(p−1) (q)p−1ciciPjεj (p−1) X kT Pjεj(p)rot (q)DE(1.203)Pj ,= − Pj+Pj(q)2kTkTPq=0j(0)Pj(1)Pj= 1,=*εcijkT+rotrotεcij.−kT(1.204)где h.
. .irot означает операцию осреднения по вращательной энергии (1.189).Таким образом, разложения имеют вид:!ci2Xεmc ccj(r) mc cc(p)aci,rp S 3Pj,(1.205)Acij = −22kT rp2kTkTDdkcijmc cc X dk (r)=d S32kT r ci,r 2mc c2c2kT(1.206),21 2 X(r) mc cccc cc − cc I,Bcijbci,r S 5232kTr!ci2Xεj(r) mc cc(p)fci,rp S 1Fcij =Pj,22kTkTrpmc=2kTGcij =X(r)gci,rp S 1rp2mc c2c2kT(p)PjεcijkT!.(1.207)(1.208)(1.209)Подставив разложение по полиномам для функций Acij , Bcij , Ddcij ,Fcij , Gcij в выражения для коэффициентов теплопроводности, диффузии,термодиффузии и объемной вязкости и для релаксационного давления, получим:X 5 nciX mc nciλ′ =k aci,10 +crot,ci aci,01 ,(1.210)4n2nciciDcidk = −1 dkd ,2n ci,01aci,00 ,2nX ncigci,10 ,= −kTnci(1.211)DTci = −(1.212)prel(1.213)49η=kT X ncibci,0 ,2 ci nζ = −kTX ncicin(1.214)(1.215)fci,10Неизвестные коэффициенты aci,10 , aci,01 , aci,00 , ddkci,0 , bci,0 , gci,10 и fci,10определяются из систем алгебраических уравнений, как и в случае однотемпературного приближения.Так, для определения коэффициентов aci,rp получаем систему уравнений:XXnci15kT nci′ p′ =δδ+3mTcrot,ci δr0 δp1 , (1.216)aΛcidk′′r1p0cdk,rrr pp2 nn′ ′rpdkc = 0..L,i = 0..Lc ,r, p = 0, 1..,X ρciρciДля коэффициентов ddkci,r имеемXXρcicidk bnδr0 ,γrr′ ddk,r′ = 3kT δcb δin −ρ′dk(1.217)aci,00 = 0.(1.218)rc, b = 0..L,i = 0..Lc ,X ρciρcin = 0..Lb ,ddkci,0 = 0.r = 0, 1..,(1.219)Учитывая в системе только первые неисчезающие члены разложений,систему (1.216) – (1.217) можно упростить.XcidkcidkΛcidka+Λa+Λa= 0,dk,00dk,10dk,01000001000001dk 15kT ncicidkcidk,(1.220)Λcidk1000 adk,00 + Λ1100 adk,10 + Λ1001 adk,01 =2 ndkXncicidkcidkΛcidka+Λa+Λacrot,ci .0010 dk,000110 dk,100011 dk,01 = 3mc TnXdkc = 0..L,i = 0..Lc ,X ρciciρaci,00 = 0.(1.221)50Упрощенная система для коэффициентов диффузии имеет следующийвид:Xcidk bnγ00ddk,0 = 3kTdkc, b = 0..L,ρciδcb δin −ρi = 0..Lc ,X ρciciρddkci,0 = 0.,(1.222)n = 0..Lb ,(1.223)В отличие от однотемпературного приближения, в поуровневом подходе система для вычисления коэффициентов теплопроводности состоит из3L × Lc линейных алгебраических уравнений.
Также, в поуровневом приближении вводится (L × Lc )2 коэффициентов диффузии Dcidk , для нахождениякоторых требуется решить L × Lc уравнений. Например, в случае бинарной смеси атомов и молекул для нахождения λ′ требуется решить 3Lc + 2Laлинейных алгебраических уравнений, так как атомные сорта не имеют колебательных степеней свободы. Большое количество уравнений и коэффициентов технически очень усложняет задачу. Далее будут приведены предположения, позволяющие значительно уменьшить количество уравнений в системах(1.220) и (1.222).1.3.6. Расчет интегральных скобок в поуровневом приближенииЧтобы рассчитать интегральные скобки в реагирующей смеси газов впоуровневом приближении, вводим оператор осреднения на основе функциираспределения нулевого приближения (1.172): 21 X ci dk Zsj slkTF γ 3 exp γ 2 −hF icidk =rotrot2πmcdZ Zdkjj ′ ll′ ci j ′ l′dk(1.224)−ε̃ci−ε̃σcd,ijkl d2 Ωdγ,jlciгде ε̃cij = εj /kT — безразмерная вращательная энергия, mcd — приведеннаямасса сталкивающихся частиц, γ = (mcd /(2kT ))1/2 g — безразмерная относительная скорость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
