Диссертация (1150001), страница 4
Текст из файла (страница 4)
, Dniccβn,ei + 21 + ... (часто ограничиваются только первым слагаемым), Bn,e,cccαn,e, Dn,e, βn,e— спектроскопические постоянные.Колебательная энергия считается независимой от вращательного уровня и моделируется на основе одного из двух потенциалов взаимодейсвия: модель гармонического осциллятора соответствует экспоненциальному потенциалу, а модель ангармонического осциллятора — потенциалу Морзе. Получаем следующее выражение для колебательной энергии двухатомной молекулы по потенциалу Морзе:23111εcnii+− ωecn xcn+ ωecn yecn i +,(1.37)= ωecn i +ehc222cn cnздесь ωecn , ωecn xcne , ωe ye — спектроскопические постоянные, характеризующие частоту колебаний и их ангармоничность.
Пренебрегая в (1.46) велиcn cnчинами ωecn xcne , ωe ye , получаем выражение для модели гармонического осциллятора:1εcni= ωecn i +.(1.38)hc2Модель ангармонического осциллятора точнее аппроксимирует реальныеспектры молекул, учитывает их уплотнение с ростом i и порог диссоциации. Недостаток модели гармонического осциллятора является следствиемпостоянства величины ∆ε = εci − εci−1 , поскольку происходит бесконечноевозрастание εci с увеличением номера колебательного уровня.Наиболее точные данные о спектроскопических постоянных двухатомных молекул можно найти в [14, 15, 48, 67]. Для первых электронных термов20молекул N2 , O2 и N O величины спектроскопических констант приведеныв таблице 1.1.
В таблице 1.2 приведены энергия и статистический вес первыхнескольких уровней атомов азота и кислорода. Всего в расчетах учитывалось197 уровней для N и 204 уровня для O [17].cсостояние nωecnωecn xcnecBn,eсм−1cαn,eεcnscnN2X 1 Σ+g3 +A ΣuB 3 ΠgW 3 ∆gB ′3 Σ−u012342358.571460.641733.391501.401516.8814.3213.8714.1211.6012.181.9981.4541.6371.4731.47917.318.017.916.616.5050203.6059619.3559808.0066272.4013663O2X 3 Σ−g1a ∆gb 1 Σ+g1 −c ΣuA′3 ∆uA3 Σ+u3 −B Σu0 1580.191 1483.502 1432.773 794.204 850.005 799.006 709.3111.9812.0014.0012.7320.0012.1610.651.4451.4261.4000.9150.9600.9110.81915.917.118.213.926.014.112.007918.113195.133057.334690.035397.839279.032116310NOX 2 ΠTa 4 ΠiA2 Σ+ 3sσB 2 ΠTB 2 ΠT1904.20 14.075 1.6719 17.101017.00 11.00 1.1275 0.0 38440.02374.31 10.106 1.996 19.1 43965.71037.207.71.092 12.0 45913.61039.808.31.152 12.0 45942.614854401234Таблица 1.1.
Спектроскопические постоянные молекул азота, кислорода и оксида азота [67, 112].Удельная теплоемкость при постоянном объеме рассчитывается по следующей формуле: dU3kdEintdEtrcV ==+= cV,int + cV,tr = cV,int +, (1.39)dT VdT VdT V2mздесь U — удельная внутренняя энергия, Eint , Etr – внутренняя и поступательная энергия на единицу массы, cV,int , cV,tr — компоненты удельнойтеплоемкости при постоянном объеме. Если распределение по уровням внут-21ренней энергии равновесное, то внутренняя энергия молекул на единицу массы выражается формулой: cX1−εIc c.(1.40)Eint,c =sI εI expmc Zint,ckTIДля атомовEint,c = Eel,c c−εn1 X c csn εn exp=,mc Zel,c nkTZint,c =Zel,c =−εcIexpkT,(1.42)−εcnkT,(1.43)XscIXscn expIn(1.41)Zint,c , Zel,c — статистическая сумма внутренних и электронных степеней свободы соответственно.1.2.
Уравнения неравновесного течения реагирующейсмеси газов в однотемпературном приближенииВ данном параграфе строится однотемпературное описание течения реагирующей смеси газов, которое может применяться при умеренных температурах. Однотемпературная модель для газов с внутренними степенями свободы была построена в [39, 74]. В настоящей работе модель обобщается наслучай газов с возбужденными электронными степенями свободы.1.2.1. Характерные времена релаксацииРассмотрим течение реагирующей смеси газов, в которой при столкновениях частиц происходят следующие микроскопические процессы:- обмен поступательной энергиейAcnij (uc ) + Admkl (ud ) = Acnij (u′c ) + Admkl (u′d ),(1.44)- обмен вращательной энергиейAcnij (uc ) + Admkl (ud ) = Acnij ′ (u′c ) + Admkl′ (u′d ),(1.45)22cконфигурацияnεcn , см−1 scnN2s2 2p30123456789101112131415161718192021222324019227.928839.283335.086192.088132.493581.094837.095509.096750.096833.097793.099663.0103693.0104195.0104628.0104719.0104846.0104850.0105006.0105133.0106477.0106792.0107013.0107224.02s2 2p2 3s2s2p42s2 2p2 3p2s2 2p2 3s2s2 2p2 4s2s2 2p2 3d2s2 2p2 4pc4 O1061261222012410610126628121420102201210конфигурацияnεcnscn2s2 2p401234567891011121314151617181920212223240158.50226.5015867.7033792.4073767.8176794.6986625.3586627.3786631.0488630.8488630.3088631.0095476.4396225.5097420.2497420.3797420.5097420.5097420.5097488.1497488.1497488.1499092.6499093.3153151533575315397531753352s2 2p3 3s2s2 2p3 3p2s2 2p3 4s2s2 2p3 3d2s2 2p3 4pТаблица 1.2.
Электронная конфигурация, энергия и статистический вес атомов азота икислорода [67, 112].- обмены колебательной энергиейAcnij (uc ) + Admkl (ud ) = Acni′ j ′ (u′c ) + Admk′ l′ (u′d ),(1.46)- обмен электронной энергиейAcnij (uc ) + Admkl (ud ) = Acn′ i′ j ′ (u′c ) + Adm′ k′ l′ (u′d ),(1.47)23- обменная реакцияAcnij (uc + Admkl (ud ) = Ac′ n′ i′ j ′ (u′c ) + Ad′ m′ k′ l′ (u′d ).(1.48)- диссоциация и рекомбинацияAcnij (uc ) + Admkl (ud ) = Ac′ (uc′ ) + Af ′ (uf ′ ) + Admkl (u′d ).(1.49)Однотемпературное описание течения неравновесного газа можно построить, если характерные времена процессов удовлетворяют соотношению:τtr < τel < τrot < τvibr ≪ τreact ∼ θ,(1.50)где τtr — характерное время поступательной релаксации, τrot — характерноевремя вращательной релаксации, τvibr — характерное время колебательнойрелаксации, τel — характерное время электронной релаксации, τreact — характерное время химических реакций, θ — характерное время изменениямакропараметров.1.2.2.
Система уравнений для макропараметровПри условии (1.50) интегральный оператор быстрых процессов включает в себя операторы всех столкновений, ведущих к изменению внутреннейэнергии:raprotvibrtrelJcI+ JcI,+ JcI= JcI+ JcI(1.51)а оператор медленных процессов содержит оператор столкновений, приводящих к химическим реакциям:slreactJcI= JcI.(1.52)Малый параметр равен отношению характерных времен быстрых и медленных процессов: ε = τint /τreact . Аддитивные инварианты быстрого процесса:(1)(2,3,4)(5)ψcI = mc , ψcI= mc ucx , mc ucy , mc ucz , ψcI = mc u2c /2 + εcI + εc — обыч(λ+5)ные инварианты, сохраняющиеся при любых столкновениях, ψcI= ac ,λ = 1..L — дополнительные инварианты, сохраняющиеся только в быстромпроцессе.24Набор макропараметров, дающих замкнутое описание течения в однотемпературном приближении, вводится на основе аддитивных инвариантовбыстрого процесса: nc (r, t) — числовая плотность частиц сорта c , v(r, t) —скорость газа, T (r, t) — температура газа.Функция распределения нормируется относительно числовых плотностей, суммарного импульса и полной энергии.
Условия нормировки задаютсяследующими уравнениями:XZX Z (0)fcI duc =fcI duc = nc ,(1.53)IIXcImcZuc fcI duc =XmccIZ(0)(1.54)uc fcI duc = ρv,X Z mc c 2X Z mc c 2(0)cc+ εcI + εc fcI duc =+ εcI + εc fcI duc =22IcI3= nkT + ρEel + ρErot + ρEvibr + ρEf .(1.55)2Следует отметить, что в методе Энскога-Чепмена высшие приближенияфункции распределения ( r ≥ 1 ) не вносят вклад в макропараметры, определяемые аддитивными инвариантами быстрых процессов [39].(1,2,3,4,5)Умножая (1.24) на аддитивные инварианты ψcI, интегрируя поскоростям и суммируя по уровням электронной, колебательной и вращательной энергии и химическим сортам, получаем уравнения сохранения; релаксационные уравнения получаются при соответвующей операции с дополнитель(λ+5)ными инвариантами ψcI .
Система уравнений для макропараметров имеетвид [39, 46]:dnc+ nc ∇ · v + ∇ · (nc Vc ) = Rcreact ,dtc = 1..L,(1.56)ρdv+ ∇ · P = 0,dt(1.57)ρdU+ ∇ · q + P : ∇v = 0,dt(1.58)где Rcreact — изменение числовой плотности атомов или молекул азота вследствие химических реакций:XZreactreactduc ,(1.59)Rc=JcII25C учетом реакций (1.48), (1.49) релаксационный член Rcreact можно записатьв виде:Rcreact = Rc2⇋2 + Rc2⇋3 ,X2⇋2d′ ddd′Rc=nc′ nd′ kc′ c − nc nd kcc′ ,(1.60)(1.61)dc′ d′Rc2⇋3 =Xd′dd.− nc kdiss,cnd nc′ nf ′ krec,c(1.62)ddгде kcc— однотемпературный коэффициент скорости обменной′ddреакции, kdiss,c, krec,c— однотемпературные коэффициенты скоростидиссоциации и рекомбинации.Система уравнений (1.56)–(1.58) описывает однотемпературную неравновесную химическую кинетику при течении смеси газов с внутренними степенями свободы.1.2.3.
Нулевое приближениеС учетом набора аддитивных инвариантов в нулевом приближении метода Энскога-Чепмена функция распределения принимает вид: m 32mc c2cεcIncc(0)cs exp −−.(1.63)fcI =2πkTZint,c (T ) I2kTkTФункция распределения (1.63) является термически-равновеснымМаксвелл-Больцмановским распределением с температурой газа T . В отличие от функции распределения, полученной в [39], она учитывает электронноевозбуждение атомов и молекул.Подставляя распределение (1.63) в определения потоковых членов, получаем:q(0) = 0,P(0) = pI,Vc(0) = 0,(1.64)здесь p = nkT — давление, I — единичный тензор.Система уравнений в таком случае имеет следующий вид:dnc+ nc ∇ · v = Rcreact(0) ,dtρdv+ ∇p = 0,dtc = 0..L,(1.65)(1.66)26ρdU+ p∇ · v = 0.dt(1.67)react(0)Rcполучается из выражения (1.59) при подстановке в него функциираспределения (1.63).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
