Диссертация (1150001), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В этом случае коэффициенты скорости диссоциации иобменных реакций зависят только от температуры и могут вычисляться с помощью закона Аррениуса. Коэффициенты скорости обратных рекций можновычислить, используя константу равновесия.Уравнения (1.65) – (1.67) соответствуют уравнениям невязкого нетеплопроводного газа (уравнениям Эйлера).1.2.4. Первое приближениеВ первом приближении метода Энскога-Чепмена имеем [39, 46]:(0)fcI = fcI (1 + ϕcI ),(1.68)где ϕcI — поправка первого порядка, которая находится из интегральногоуравнения [73, 113]:X(0)sl(0)−nc nd IcId (ϕ) = DfcI − JcI .(1.69)d(0)∂f(0)(0)Здесь DfcI = ∂tcI +uc ·∇fcI — дифференциальный оператор. Структурныйвид поправки первого порядка:ϕcI1X d11DcI · dd − BcI : ∇v −= − AcI · ∇ ln T −nnnd11− FcI ∇ · v − GcI ,nn(1.70)где диффузионная термодинамическая сила вводится формулой:n nρcccdc = ∇+∇ ln p,−nnρAcI , BcI , DdcI , FcI , GcI — неизвестные функции. Функции AcI и DdcI —векторные функции собственной скорости, их можно представить в видеAcI ≡ AcI (cc )cc ,dDdcI ≡ DcI(cc )cc ,(1.71)27BcI — тензорная функция собственной скорости,1 2BcI ≡ BcI (cc ) cc cc − cc I ,3(1.72)FcI и GcI — скалярные функции.
Для нахождения этих функций необходимополучить линейные интегральные уравнения, подставляя выражение (1.68) вуравнение (1.69) и приравнивая коэффициенты при градиентах соответствующих макропараметров. Линеаризованный оператор быстрых столкновенийвводится как [39]Z Z1 X(0) (0)fcI fdK (ϕcI + ϕdK −IcId (ϕ) =nc nd ′ ′I KK′′IK(g, χ, ε) d2 Ωd3 c.−ϕcI ′ − ϕdK ′ ) gσcd,IK′(1.73)′IKздесь σcd,IK(g, χ, ε) — дифференциальное сечение всех столкновений, приводящих к обменам поступательной и внутренней энергией, χ — угол рассеяниясталкивающихся частиц.
В результате получаем следующие интегральныеуравнения [39, 46]: c ′ X nc nd1 (0) mc c2c 5εII(A)=cc ,(1.74)f−+cIdcIn2n2kT2kTdX nc nddn2IcId1ρc(0)Db = fcI δcb −cc ,ncρ(1.75)mc (0)1 2IcId (B) =fcc cc − cc I ,n2nkT cI3X nc nddX nc nddn2IcId (F ) =1 (0)fn cI2 cV,int3 cVmc c2c2kT−X nc nd(1.76)32−R̂cVεcIkT′ !react(0)1 react(0) 1 (0) Rc−I(G)=−J+ fcIcIdn2n cInncdP react(0) 3′RkT+hεi+ε2ccc cc,int2mc c c 3ε.−− + IρT cV2kT2kTздесь R̂ — газовая постоянная, c ′εcI − hεic,intεI=.kTkT, (1.77)(1.78)(1.79)28Осреднение величины по внутренним степеням свободы вводится следующимобразом: cP−εIcI αcI sI exp kT c .(1.80)hαic,int = P−εIccI sI exp kTДополнительные соотношения, обеспечивающие единственность решения интегральных уравнений, следуют из условий нормировки и имеют следующий вид [39]:ZX(0)mc fcI AcI c2c duc = 0,(1.81)cIXmccIZ(0)d 2fcI DcIcc duc = 0,XZfcI FcI duc = 0,XZfcI GcI duc = 0,d = 1..L,(1.82)(0)c = 1..L,(1.83)(0)c = 1..L,(1.84)IIXZ(0)fcImc c2cc+ εI FcI duc = 0,2(1.85)(0)fcImc c2cc+ εI GcI duc = 0.2(1.86)cIXZcIВ данном приближении поток тепла получается при подстановке (1.68) в(1.17)XX′ρc h c V c ,(1.87)DTc dc +q = −λ ∇T − pccздесь hc — удельная энтальпия частиц сорта c , DTc — коэффициент термодиффузии, коэффициент теплопроводности λ′ в однотемпературном приближении описывает перенос всех типов энергии: поступательной, электронной, вращательной и колебательной и определяется сечениями всех упругихи неупругих столкновений без химических реакций.
В однотемпературномприближении полный поток тепла и скорость диффузии характеризуютсятолько градиентами температуры газа и градиентами концентраций химиче-29ских компонентов:Vc = −XdDcd dd − DTc ∇ ln T,(1.88)здесь Dcd — коэффициент диффузии.Тензор напряжений имеет видP = (p − prel ) I − 2ηS − ζ∇ · vI,(1.89)prel — релаксационное давление, η — коэффициент сдвиговой вязкости, ζ —коэффициент объемной вязкости, S — тензор скоростей сдвига.Релаксационное давление появляется вследствие быстрых неупругихTR–, RR–, VT–, ET– и VV– обменов поступательной, электронной, вращательной и колебательной энергией и, кроме этого, замедленного процессахимических реакций, характерное время которого сравнимо с газодинамическим, то есть со временем изменения макропараметров. В случае, если всебыстрые процессы в системе являются упругими или резонансными, релаксационное давление равно нулю.
Также prel = 0 , если в системе не происходитмедленных процессов. Коэффициент объемной вязкости появляется в томслучае, если в быстром процессе существует нерезонансный обмен между поступательной и внутренней энергией, и равен нулю, если все неравновесныепроцессы протекают в масштабе времени θ , то есть если системы поступательных и внутренних степеней свободы изолированы [39]. Следует отметить,что в газе без электронного возбуждения, состоящем из атомов, ζ = 0 . Наличие объемной вязкости в атомарном газе с электронными степенями свободывпервые отмечается в [17, 18].1.2.5.
Коэффициенты переносаКоэффициенты переноса, входящие в выражения (1.87) – (1.89), определяются через функции AcI , BcI , DdcI , FcI , GcI по следующим формулам [39]:λ′ =k[A, A] ,3ζ = kT [F, F ] ,Dcd =η=kT[B, B] ,10prel = kT [F, G] ,1 c dD ,D ,3nDT c =1[Dc , A] .3n(1.90)(1.91)(1.92)30[F, G] — интегральная скобка [45,46], которая в рассматриваемом здесь приближении вводится следующим образом:X nc nd′′ ′[F, G] =(1.93)+[F,G][F,G]cd ,cdn2cdX Z (0) (0)1′[F, G]cd =fcI fdK (GcI − GcI ′ ) ×2nc nd′ ′IKI K′[F, G]′′cd′IKd2 Ωduc dud ,× (FcI − FcI ′ ) gσcd,IKX Z (0) (0)1fcI fdK (GcI − GcI ′ ) ×=2nc nd′ ′(1.94)IKI K′′IKd2 Ωduc dud× (FdK − FdK ′ ) gσcd,IK′(1.95)′IKгде σcd,IK— дифференциальное сечение быстрых процессов.Для решения интегральных уравнений функции AcI , BcI , DdcI , FcI ,GcI разложим в ряды по системам ортогональных полиномов Сонина иВальдмана-Трубенбахера.
Полином Сонина определяют следующим образом [45, 46]:Sν(n) (x)(−1)ν exp(x)x−ν dnν+n=exp(−x)x,(ν + n)!n!dxn(1.96)в частности, при любых νSν(0) (x) = 1,Sν(1) (x) = ν + 1 − x.(1.97)Полиномы Вальдмана-Трубенбахера задаются рекуррентными соотношениями [39, 114, 116]:D cE(p−1) (q)εI cp−1PIεcI (p−1) X kT PIεI(p)(q)DE= − PI+PIPI ,(1.98)(q)2kTkTPq=0I(0)PI= 1,(1)PI=εcIkTεcI−.kTint(1.99)где h. .
.iint означает операцию осреднения (1.80).Анализ правых частей интегральных уравнений (1.74) – (1.78) показывает, что функции AcI , FcI , GcI следует раскладывать по двойным системам31полиномов: полиномам Сонина от безразмерной собственной скорости с основанием ν = 1/2; 3/2; 5/2 и полиномам Вальдмана-Трубенбахера от приведенной внутренней энергии, а BcI , DdcI — только по полиномам Сонина [39].Эти разложения имеют вид: c2εImc cc X(r) mc cc(p)ac,rp S 3PI,(1.100)AcI = −22kT rp2kTkTDdcImc cc X d (r)=d S32kT r c,r 2mcBcI =2kTFcI =fc,rp S 12rpGcI =X(1.101),21 2 X(r) mc cccc cc − cc I,bc,r S 5232kTr(r)Xmc c2c2kT(r)gc,rp S 12rpmc c2c2kTmc c2c2kTεcIkT,(1.103)εcIkT.(1.104)PI(p)PI(p)(1.102)Так как предполагаем, что атом обладает только электронной внутреннейэнергией, то для атомов получаем: c 2mc cc Xεnmcc c(r)ac,rp S 3Pn(p),(1.105)AcI = Acn = −22kT rp2kTkTFcI = Fcn =Xfc,rp S 1rpGcI = Gcn =Xrp(r)2(r)gc,rp S 12mc c2c2kTmc c2c2kTPn(p)Pn(p)εcnkTεcnkT,(1.106)(1.107).Следует отметить, что в газах без учета электронного возбуждения функцииAcI , FcI , GcI для атомов будут раскладываться в ряды только по полиномамСонина.Подставив разложение по полиномам для функций AcI , BcI , DdcI , FcI ,GcI в выражения для коэффициентов теплопроводности, диффузии, термодиффузии, сдвиговой и объемной вязкости и для релаксационного давленияполучим:X mc n cX 5 nc′k ac,10 +cint,c ac,01 ,(1.108)λ =4n2ncc32Dcd =1 dd ,2n c,0(1.109)1ac,00 ,2nX ncgc,10 ,= −kTncDT c = −(1.110)prel(1.111)kT X ncη=bc,0 ,2 c nζ = −kTX ncncfc,10 .(1.112)(1.113)В выражениях (1.108) – (1.113) неизвестными являются только коэффициенты ac,10 , ac,01 , ac,00 , ddc,0 , gc,10 , bc,0 и fc,10 .
Систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов получаем из интегральных уравнений (1.74) – (1.78) путем подстановки разложений (1.100) –(r) (p)(1.104), домножения на комбинацию полиномов Sν PI , интегрирования поскорости и суммирования по внутренним индексам.Для коэффициентов теплопроводности и термодиффузии комбинацияполиномов имеет следующий вид (заметим, что в следующем выражении QrpcI— векторная величина):r c2mmcεIcc(p)(r)cPI,(1.114)cc S3/2QrpcI =2kT2kTkTкоэффициенты ac,10 , ac,01 , ac,00 и ddc,0 выражаются через интегральные скобки:!hhiiX′′′√nc ndnc nbrp r′ p′rp r′ p′mc md δcd+QQQQ(1.115),Λcdrr′ pp′ =cbcdn2n2bcdγrr′ =√mc md!iihX nc nb h′′′nc ndr r′r r′+, (1.116)QQQQδcdcbcdn2n2bcdОчевидно, что интегральные скобки γrr′ — частный случай интегральныхcd′cdскобок Λcdrr′ pp′ при p = p = 0 : γrr′ = Λrr′ 00Для вычисления коэффициента сдвиговой вязкости вводим интегральrcdную скобку Hrr′ (в данном случае Qc — тензорная величина):r1 2mc (r) mc c2crcc cc − cc I ,S(1.117)Qc =2kT 5/2 2kT333cdHrr′2=5kT!hii′′X nc nb hnn′ ′′c d+ 2 Qr Qr,Qr Qrδcd2cbcdnn(1.118)bа для расчета релаксационного давления и коэффициента объемной вязкостиrpcd— βrr′ pp′ ( QcI — скалярная величина): c mc c2c(p) εnij(r)rpPI,(1.119)QcI = S1/22kTkTcdβrr′ pp′= δcdX nc nb hn2brpQ Qr ′ p′nc nd h rp r′ p′ i′′+ 2 Q Q.cbcdni′(1.120)Таким образом, получаем системы линейных алгебраических уравненийдля коэффициентов ac,10 , ac,01 , ac,00 , ddc,0 , gc,10 , bc,0 и fc,10 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
