Диссертация (1149904), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Отношение последовательных членовряда (2.32) при больших номерах ведет себя таким образом:cs+1p∼ −−−→ 0 .css s→∞(2.36)Отсюда следует, что для каждого p, как ряды (2.32), так и ряды (2.33) сходятся не только на отрезке [-1, +1], но и на всей комплексной плоскости η.Однако, разложение (2.32) лучше сходится при η ∈ [−1, 0], а разложение(2.33) при η ∈ [0, +1]. В практических расчетах целесообразно использовать49оба решения на соответствующих участках, причем они должны быть гладко(η)(η)сшиты при η = 0.
Зависимость λmq = λmq (p, b) находится из уравненияF(η)ρ 0 δ1(p, b, λ) = κ0 −... = 0,ρ1 δ2κ1 −κ2 −(2.37)Достаточное условие сходимости цепной дроби (2.37) выполняется, посколькуимеет место предельный переход: 2 ρs−1 δs −−−→ 2p.(2.38) κs−1 κs s→∞sВ практических вычислениях бесконечная цепная дробь F (η) (p, b, λ) заменя(η)ется конечной FN +1 (p, b, λ), то есть обрывается на N −ом шаге. Условие (2.38)начинает выполняться с s > 2p и это следует учесть при выборе N. Следующий практический шаг связан с тем, что подходящую цепную дробь можнопредставить в виде частного от двух полиномов степени N + 1(η)FN +1 (p, b, λ)QN +1 (p, b, λ).=PN +1 (p, b, λ)(2.39)Тогда из проверки (2.37) легко исключаются сингулярности, связанные с ну(η)(η)лями PN +1 (p, b, λ), а искомая зависимость λmq = λmq (p, b) находится как соответствующий корень уравнения QN +1 (p, b, λ) = 0.
Поскольку весь спектр соб(η)ственных значений λmq (p, b) монотонный и невырожденный, то такой практический подход обоснован. Из (2.38) и (2.39) следуют рекуррентные соотношения для Qk (p, b, λ) :Qk+1 = Qk κN −k − Qk−1 ρN −k δN −k+1 , Q−1 = 0 , Q0 = 1 .(2.40)«Подчеркнутые» коэффициенты:p ρs , κs , δs , отличаются от «неподчеркнутых»(2.35) только множителем 1/ 1 + κs2 .
Этот множитель не меняет рекуррентных соотношений (2.34), но зато позволяет избежать в промежуточных вычислениях накопления больших чисел. Действительно, если не осуществитьуказанную перенормировку, то старшие коэффициенты полиномов Qk будутвести себя как k 4k при k → ∞.В заключении заметим, что трехчленные рекуррентные соотношения (2.34)не являются соотношениями типа Пуанкаре-Перрона. С этим обстоятельством, в частности, связана проблема суммирования рядов (2.32) и (2.33)при p 1. В этой области для контроля вычислений следует пользоваться(η)асимптотическими формулами для λmq и Ymq (η; R).Основные результаты этой главы изложены в работах [87, 88].50Глава 3.
Асимптотическое поведение решений квантовойобобщеной задачи двух кулоновских центровСпектр квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров получается после численного решения краевых задач с помощью методов, описанныхв предыдущей главе. Процесс вычисления необходимо контролировать. В техобластях, где появляются малые или большие параметры для этой цели будут использованы различные асимптотические методы: теория возмущенийи метод эталонного уравнения.
Особое место в настоящей главе будет уделено методу Вентцеля-Крамера-Бриллюэна (ВКБ) или квазиклассическомуприближению, поскольку это один из основных и наиболее универсальныхасимптотических методов решения спектральных задач. Вообще говоря, этоприближение, в отличии от теории возмущений, не связано с малостью взаимодействия и поэтому имеет более широкую область применимости, позволяяисследовать качественные закономерности в решении задачи.Остановимся кратко на истории использования асимптотических методовв решении проблемы (Z1 eZ2 ).
Как уже упоминалось выше, первой работойпо квантовой задаче двух кулоновских центров была докторская диссертацияВольфганга Паули [41], где рассмотрение проводилось на основе старой боровской теории. По-существу, эта работа представляла собой простейший вариант квазиклассического приближения в проблеме (Z1 eZ2 ). Любопытно отметить, что истоки метода ВКБ были обнаружены в ранних работах Ж. Лиувилля (J. Liouville) и Дж.
Грина (1837), а сам метод получил свое названиев честь Г. Вентцеля (G. Wentzel), Х. А. Крамерса (H. A. Kramers) и Л. Бриллюэна (L. Brillouin), которые его сформулировали и развили в 1926 году независимо друг от друга. Позднее, в 1937 году Р.
Е. Лангер (R. E. Langer) сделалметод ВКБ более эффективным, основываясь на равномерных по независимой переменной приближениях функции Эйри («phase-integral» метод). Метод ВКБ без приближений с функциями Эйри («lateral connection» метод)был предложен А. Цвааном (A. Zwaan), Е. Кемблом (E. Kemble) и подробноисследован в работах М. В. Федорюка (1965) (см. более подробно [89], [90]).Первые работы [91, 92, 93], посвященные применению метода ВКБ длярешения проблемы (Z1 eZ2 ) оказались неудачными, поскольку приводили кневерному выражению для квазиимпульсов, что приводило к логарифмическим расходимостям фазовых интегралов, а при m = 0 даже к неаналитичности собственных функций в особых точках ξ = 1 и η = ±1.
Правильное ипоследовательное квазиклассическое приближение задачи двух кулоновскихцентров впервые было получено С. С. Герштейном, Л. И. Пономаревым иТ. П. Пузыниной в 1965 году [94]. Позднее, в работах Л.И.Пономарева [95, 96]51была изложена общая идея преобразования квантово-механических уравнений с системах с разделяющимися переменными к квазиклассическому виду.Разложение энергии Ej (R) при малых межцентровых расстояниях в проблеме (Z1 eZ2 ) по теории возмущений впервые были получены Морсом (Morse)и Штюкельбергом (Stueckelberg) [97].
Бете в 1935 году вывел общую асимптотическую формулу Ej (R) с учетом поправки первого порядка для молекулярного иона водорода H2+ [98]. Бабер и Хассе [47] обобщили результат Бетедля произвольных Z1 и Z2 , поместив объединенный атом в центр зарядов.В работе Левиной (Levine) [99] была получена формула для энергии основного состояния H2+ во втором порядке теории возмущений, в которой былослагаемое ∼ (ZR)5 ln (ZR), где Z = Z1 + Z2 .Разложение энергии Ej (R) при R → ∞ в проблеме (Z1 eZ2 ) по теории возмущений впервые были получены Коулсоном (Coulson) и Гилламом (Gillam)в работах [100, 101].
На важность учета экспоненциальных поправок впервыебыло обращено внимание в работе [102]. Овчинников и Суханов в 1964 году[103] разработали метод построения асимптотики для H2+ с учетом степенного и экспоненциального разложения энергии и волновых функций. Этотметод был развит в дальнейшем в работах Дамбурга и Пропина [104, 107],что позволило достичь рекордной точности.
И. В. Комаров и С. Ю. Славяновприменили к построению асимптотики метод эталонного уравнения и провеливычисления как для одинаковых, так и для разных зарядов [108, 110].3.1.Квазиклассическое приближение (метод ВКБ)Покажем, что метод ВКБ позволяет представить приближенное решениеквантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров достаточно простои компактно. Для этого необходимо систему уравнений (1.23) и (1.24), записанных в форме Штурма-Лиувилляd dyρ + r(x, λ)y = 0 ,dx dxс помощью заменыpt = χ(x), u(t) = y(x) ρ(x)χ0 (x)привести к квазиклассическому видуd2 u+ Q(t, λ)u = 0 .2dt52(3.1)В работе [95] показано, что если ρ(x) имеет простые нули, то замена переменных (3.1) должна выбираться следующим образом:Zdxu(t(x)) = y(x) .t=ρ(x)В нашем случае преобразования1 1+η= Arcthη ,t1 = arctg ξ, t2 = ln2 1−ηприводят к следующим выражениям для квазиимпульсов:ss(ξ)2(η)2aξ−λmbη+λm2+P1 (ξ) = −p2 + 2+ 2,P(η)=p−.2ξ +1(ξ + 1)21 − η2(1 − η 2 )2Заметим, что выражения для P1 (ξ) и P2 (η) совпадают с соответствующимиклассическими обобщенными импульсами в методе Гамильтона-Якоби [33].Следовательно, функцию U1 = −P12 (ξ)|p=0 можно интерпретировать как эффективный квазирадиальный потенциал, а U2 = −P22 (η)|p=0 - как эффективный квазиугловой потенциал.
Простое сравнение U1 (ξ) и U2 (η) с их аналогами из проблемы (Z1 eZ2 ), приведенными в работе [94] показывает, чтоникакой комплексификацией параметров их нельзя отождествить. Отсюдаследует, что квантовая обобщенная задача двух кулоновских центров не является частным случаем тех проблем, которые рассматривал Е. А. Соловьевс соавторами в работах [4, 62, 63] (см. также [64]), и поэтому их расчеты дляE(R) при мнимых R, вообще говоря, не должны совпадать с энергетическимспектром рассматриваемой задачи.На Рис.
6 схематически изображена зависимость U1 (ξ) для произвольных(ξ)значений параметров λmk , a, m. Поскольку эта зависимость имеет вид обычной осцилляторной ямы, то условие квантования по ξ примет следующий вид:Zξ21P1 (ξ)dξ = π k +.2(3.2)ξ1Эффективный потенциал U2 (η) выглядит по-разному в зависимости от m :при m 6= 0 качественное поведение функции U2 (η) и положение точек поворота η1 , η2 представлены на Рис. 7 a), а при m = 0 - на Рис.
7 б). Очевидно, чтонаша задача является принципиально одноямной в отличие от исходной задачи двух кулоновских центров с вещественным R [94]. Отсюда, в частности,следует, что по η остается только одно условие квантования, в котором учитывается надбарьерное отражение. В такой ситуации имеется две действитель53Рис. 6 Эффективный квазирадиальный потенциал U1 (ξ) = −P12 (ξ)|p=0 .ные η1 , η2 и две комплексно-сопряженные η3 = α − ıβ, η4 = α + ıβ точки поворота. Применяя метод обхода точек поворота в комплексной η−плоскостипо аналогии с работой [94] получаем следующее условие квантованияp1 + e−δ cos (ω + ω 0 ) + e−δ cos (ω + ω 0 ) = 0 ,(3.3)гдеω=Rαη1γ|P2 (η)| dη − ,20ω =Rη2αγ|P2 (η)| dη + ,2(3.4)γ=Rβ|ImP2 (α + it)| dt , δ =−βRβ|ReP2 (α + it)| dt .−βЗаметим что поправки связанные с учетом надбарьерного отражения, становятся экспоненциально малыми при больших q, что является превышениемточности квазиклассического приближения, а при m = 0 такие поправки вообще отсутствуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
