Диссертация (1149904), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Потенциалы, допускающие разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах в уравнении Шредингераимеют вид [2]:2 a(ξ) − b(η)c(ϕ)V =− 2+.(5.2)2222Rξ +η(ξ + 1)(1 − η )Если в задаче имеется осевая симметрия, то можно положить c(ϕ) = const.Тогда у потенциалов, представленных в форме (5.1) и (5.2) для ямы конечнойглубины, в окрестности граничных точек появляются искусственные сингулярности. Для того, чтобы избавиться от них, необходимо сделать замену:ea(ξ) = ea0 (ξ)ξ 2 , eb(η) = −eb0 (η)η 2 ,a(ξ) = a0 (ξ)ξ 2 ,b(η) = −b0 (η)η 2 .
(5.3)Дополнительно, потребуем для потенциалов типа (5.1) и (5.2) выполнениеусловий:lim ea0 (ξ) = lim eb0 (η) , lim a0 (ξ) = lim b0 (η) .(5.4)ξ→1η→±1ξ→089η→0Если условия (5.2), (5.3) и (5.4) выполнены, то потенциалы типа (5.1) и (5.2)можно использовать для моделирования квантовых точек и квантовых колец.Самая простой потенциал конечной глубины - это прямоугольная яма. Дляпотенциальной ямы в форме форме сплюснутого эллипсоида вращения:(U 0 , 0 6 ξ 6 ξ0a0 (ξ) =;b0 (η) = −U0 , −1 6 η 6 +1 ,(5.5)0 , ξ0 < ξ < ∞если сплюснутые сфероидальные координаты, выбираются способом (1.15).Аналогично, для потенциальной ямы в форме симметричного кольца:((U0 , 0 6 ξ 6 ξ0−U0 , | η |6 η0a0 (ξ) =;b0 (η) =.(5.6)0 , ξ0 < ξ < ∞0 , η0 <| η |6 1В реальной жизни, типичной является ситуация, когда квантовые точки иквантовые кольца создаются или выращиваются на специальной подложке.В самом грубом приближении, подложку можно считать непроницаемой.
Тогда спектральную задачу надо ставить в полупространстве, поскольку в область, где потенциал бесконечен частица вообще проникнуть не может [74].Решением этой задачи будут антисимметричные собственные функции задачи с потенциалом (5.6) и соответствующие им уровни энергии. В принципе,в сплюснутых сфероидальных координатах можно рассматривать точно решаемые потенциальные модели с ямами более сложной формы или даже ссистемой из нескольких колец. Однако, при этом надо следить за тем, чтобыграничные условия не противоречили требованию разделения переменных.В вытянутых сфероидальных координатах можно описывать квантовыеточки в форме вытянутого эллипсоида вращения:(U 0 , 1 6 ξ 6 ξ0a0 (ξ) =;b0 (η) = −U0 , −1 6 η 6 +1 .(5.7)0 , ξ0 < ξ < ∞Кроме того, в этих координатах, также как и в сплюснутых, можно описывать квантовые кольца. Одиночному симметричному квантовому кольцу спрямоугольным профилем соответствуют выражения:((U0 , 1 < ξ1 6 ξ 6 ξ2−U0 , | η |6 η0;b0 (η) =.
(5.8)a0 (ξ) =0 , ξ2 < ξ < ∞0 , η0 <| η |6 1Заметим, что если требуется учет влияния краевых эффектов, в выражениях(5.5), (5.6), (5.7) и (5.8) надо заменить параметр U0 на много-параметрическиезависимости с размытым краем. В частности, для квантовых колец этот вопрос будет обсуждаться ниже.90Глава 6. Потенциальные модели дваждытяжелых барионовВ настоящее время теорией сильных взаимодействий является квантоваяхромодинамика (КХД). Несмотря на значительные успехи достигнутые приописании жестких процессов, в области небольших переданных импульсов(в «мягкой области») эта наука испытывает серьезные затруднения. Ограничением стандартного метода квантовой теории поля – теории возмущений– в данном случае является рост константы связи с уменьшением переданного импульса, вызванное неабелевым характером КХД, и связанная с этимпроблема конфайнмента.
В частности, описанию спектра масс связанных состояний сильновзаимодействующих частиц, соответствует этот непертрубативный режим.Для исследования сильных взаимодействий в данной области в последниегоды стала активно применяется методика КХД на решётке. Этот непертурбативный подход, основан на замене непрерывного пространства-временидискретной решёткой и монте-карловских симуляциях процессов.
Методикарасчетов КХД на решетке требуют использования мощных суперкомпьютеров, однако она позволяет с достаточно высокой точностью вычислять параметры, получение которых аналитическими методами пока невозможно.Существенным недостатком КХД расчетов является их высокая стоимостьи вычислительная ресурсоемкость. Различные феноменологические моделипредставляют собой альтернативу решеточным КХД расчетам. Их умеренная предсказательная способность с лихвой компенсируется относительнойпростой и дешевизной.Изучение свойств барионов, содержащих два тяжелых кварка, представляет существенный интерес для решения проблемы конфайнмента в квантовой хромодинамике, поскольку массы тяжелых кварков mQ определяютновую энергетическую шкалу, превышающую масштаб сильных взаимодействий ΛQCD (в системе единиц ~ = c = 1) :MQ mq ,rQQ0 ΛQCD 1 ,ΛQCD MQ ,где mq −масса легкого кварка, а rQQ0 −расстояние между тяжелыми кварками.
Таким образом, в теории появляется малый параметр, который можноиспользовать для применения теории возмущений [6].Состав дважды тяжелых барионов обычно представляют в следующем виде: (ccq, cbq, bbq), где c и b – тяжелые кварки, а q – это легкий кварк u илиd-типа.91В 2002 году коллаборация SELEX в эксперименте по рождению очарованных адронов в Fermilab наблюдала дважды тяжелый барион Ξ+cc (ccd) враспадах [118]+ − +Ξ+cc → Λc K π ,а затем подтвердила существование этой частицы через наблюдения другихраспадов [119]+ −Ξ+cc → pD K .В этих экспериментах была измерена масса основного состояния Ξ+cc (ccd) :MΞ+cc = 3518.9 ± 0.9 MeV .(6.1)Вообще говоря, спектр масс дважды тяжелых барионов исследуется различными методами, в том числе и с помощью потенциальных моделей [117] - [121],причем используются два подхода.
В первом подходе, или в Y-схеме сначала вычисляют уровни энергии дикварка, предполагая, что между тяжелымикварками образуется струна. Потом соединяют середину дикварковой струны и легкий контитуентный кварк еще одной струной и вычисляют энергиюсвязи такой системы [117, 120]. Второй подход, или ∆−схема, подразумеваетналичие парных взаимодействий между кварками и сводится к задаче двухцентров, поскольку легкий кварк взаимодействует с тяжелыми, удаленнымидруг от друга на конечное расстояние rQQ0 = R.
В этом подходе используется приближение Борна-Оппенгеймера: выделяется быстрая и медленнаяподсистемы, что позволяет представить гамильтониан (QQ0 q) бариона в видесуммы двух слагаемых:Ĥ = ĤD + Ĥq,D ,где ĤD – гамильтониан дикварка:ĤD = −2 αs∆−+ Vсonf (R) ,2Mred 3 Rа Ĥq,D – кварк-дикварковый гамильтониан:∆2αs 11−++ Vсonf (r1 , r2 , R) ,Ĥq,D = −2mred3r1 r2(6.2)(6.3)где Mred и mred – приведенные массы для дикварковой и кварк-дикварковойподсистем:MredMQ MQ0MQ=≈,0MQ + MQ2mredmq (MQ + MQ0 )=≈ mq .0MQ + MQ + mqВ формулах (6.2) и (6.3) параметр αs представляет собой константу силь92ного взаимодействия, которая зависит от квадрата переданного импульса илиот обратного квадрата расстояния таким образом: 14παs 2 =,2r11 − nf ln Λ2QCD r23где nf −число ароматов кварков.
В потенциальных моделях αs считают константой, которая получается на основе решеточных КХД расчетов (см. болееподробно, например [122]).Тогда масса дважды тяжелого бариона будет определяться суммой:M = mQ + mQ0 + mq + EQQ0 q ,(6.4)где EQQ0 q – энергия связи. Волновая функция (QQ0 q) бариона в приближенииБорна-Оппенгеймера может быть представлена в следующем виде:XΨ(R, r) =an φn (R)ψn (R, r) ,nгде r – расстояние между между центром масс дикварка и легким кварком. Волновые функции легкого кварка ψn (R, r) и его энергетические термыEq (R) находятся из уравнения Шредингера∆ψ + 2mq (E − V ) ψ = 0 .(6.5)Обычно, потенциальные модели дважды тяжелых барионов формулируются в декартовых, сферических [7], [8], [9]. или гиперсферических [10], [11]координатах. В работах [12, 13] рассматривалась модель с потенциалом двухкулоновских центров и сферически симметричным квадратичным потенциалом конфайнмента (потенциал гармонического осциллятора).
Известно, чтосоответствующее уравнение Шредингера допускает разделение переменныхв вытянутых сфероидальных координатах.В работе [12] Д. У. Матрасулову удалось получить асимптотическую формулу для терма Eq (R), которая справедлива в пределе R → ∞. Для ее вывода был применен метод эталонного уравнения. Потом эта асимптотическаяформула использовалась в работе [13] для вычисления термов легкого кваркаEq (R) и расчета спектра масс дважды тяжелых барионов.
Однако, несмотряна то, что результаты работы [13] удовлетворительно согласуются с другимирасчетами, имеется целый ряд замечаний по поводу обоснованности применения данной модели. Во-первых, потенциал конфайнмента на больших расстояниях r должен расти линейно, а не квадратично. Во-вторых, такие увеличенные в размерах (разбухшие) сферически-симметричные барионы никогдаэкспериментально не наблюдались. Скорее наоборот, в протон-протонных,93протон-ядерных и ядро-ядерных столкновениях при высоких энергиях наблюдаются протяженные объекты - цветные струны [14, 15].Потенциальная модель дважды тяжелого бариона c разделением переменных и с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайнментабыла сформулирована в работе А. М.
Пучкова и А. В. Кожедуба (2016) [121].Перейдем к ее описанию. Потенциал V в (6.5), отвечающий за поведение легкого кварка предполагался равным:V = VCoul + Vconf(Z1 + Z2 )ξ + (Z2 − Z1 )η βRξ(ξ 2 − 1) 4=−+− V0 . (6.6)R(ξ 2 − η 2 )(ξ 2 − η 2 )3Потенциал дикварка выбирался следующим образом:UQQ02 αs2+ βR − V0 .=−3R3(6.7)В формулах (6.6) и (6.7) сумма второго и третьего слагаемого представляетсобой потенциал конфайнмента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
