Диссертация (1149904), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Параметр β является константой натяжения,а V0 −это параметр, сдвигающий весь спектр. Обратим внимание на то, чтовыражение (6.7) есть не что иное, как корнельский потенциал [7], [117].Очевидно, что функция (6.6) при больших ξ становится линейной:V −−−→ βRξ ∼ r ,ξ→∞то есть, удовлетворяет правильному асимптотическому поведению.
Кроме того, из Рис. (28) следует, что эквипотенциальные поверхности не обладаютсферической симметрией и с ростом R они становятся вытянутыми и струноподобными.Представим волновую функцию ψj , соответствующую терму Ej (R), в видеXmk (ξ; R) Ymq (η; R) imϕpe,ψj = ψkqm (ξ, η, ϕ; R) = Nkqm (R) p22ξ −11−η(6.8)где мультииндекс j = {kqm} обозначает набор квантовых чисел, в которомk и q представляют собой числа нулей соответствующих функций по переменным ξ и η, а число m принимает значения 0, ±1, ±2, .
. . . Нормировочнаяконстанта Nkqm (R) определяется из условияZ∗ψkqm(ξ, η, ϕ; R)ψk0 q0 m0 (ξ, η, ϕ; R)dV = δkk0 δqq0 δmm0 ,V3где dV = R8 (ξ 2 − η 2 )dξdηdϕ – элемент объема в сплюснутых сфероидальныхкоординатах.94ρρРис. 28 Карта эквипотенциальных поверхностей и линии уровня потенциала (6.6).Ось z является осью симметрии.95После подстановки (6.6) и (6.8) в (6.5) мы получаем систему обыкновенныхдифференциальных уравнений#!"(ξ)22aξ − λmkd Xmk (ξ; R)(m − 1)23+m+Xmk (ξ; R) = 0 ,−p−βRξ+q2222dξ(ξ − 1)(ξ − 1)(6.9)#!"(η)(m2 − 1)bη+λd2 Ymq (η; R)mq2+ mq −p +−Ymq (η; R) = 0 .2222dη(1 − η )(1 − η )В системе (6.9) использованы следующие сокращенные обозначения:2R42pj = −Ej (R) + V0 , a = (Z1 + Z2 )R , b = (Z2 − Z1 )R .23Здесь p имеет смысл энергетического параметра; a, b – зарядовые параметры.(ξ)(ξ)(η)(η)Специально отметим, что λmk = λmk (p, a), λmq = λmq (p, b) являются размерными константами разделения: в принятой системе единиц [λ] = GeV−1 .Уравнения (6.9) дополненные граничными условиямиXmk (+1; R) = 0 ,|Xmk (ξ; R)| −−−→ 0 ,ξ→∞|Ymq (±1; R)| < ∞ .образуют краевые задачи, которые должны решаться совместно.Термы легкого кварка находится из условия(ξ)λmk (p, a) = λ(η)mq (p, b) .(6.10)Теперь находим энергию связи дважды тяжелого бариона.
После отделенияпеременных, отвечающих за поведение легкого кварка, остается неопределенной только φnl (R)-волновая функция дикварка. Представим ее в следующемвиде:Fnl (R).φnl (R) =RПосле простых преобразований получаем уравнение для Fnl (R) :d2 Fnl (R)2αsl(l + 1)+ 2Mred E − Eq (R) +− βR −Fnl (R) = 0 . (6.11)dR23RR2Вместе с граничными условиями:Fnl (0) = 0 ,|Fnl (R)| −−−→ 0 .R→∞(6.12)уравнение (6.11) образует краевую задачу. Решение этой задачи дает намсобственные функции φnl (R) и энергию связи E = EQQ0 q , необходимую для96Таблица 1 Спектры масс дважды тяжелых барионовСостояниеYoshida [11]Matrasulov [13]Puchkov [121]Lattice QCD [123]Ξ+cc , GeV(1S1s) 21+(2S1s) 21+(3S1s) 21+3.6853.6613.5813.603 ± 0.015 ± 0.0164.0793.7303.6603.706 ± 0.022 ± 0.0164.1593.8163.672–Ξ−bb , GeV(1S1s) 21+(2S1s) 21+(3S1s) 21+10.3149.8910.060–10.5719.91110.178–10.6129.93910.210–расчета спектра масс (6.4).В работе А.
М. Пучкова и А. В. Кожедуба [121] рассматривался частныйслучай описанной модели, когда тяжелые кварки имеют одинаковые ароматыZ1 = Z2 = 2/3αs . Параметры выбирались так, чтобы провести сравнениеспектров масс дважды тяжелых барионов с предсказаниями работы [13]:αs = 0.39 , β = 0.116 GeV2 , V0 = 0.05 GeV ,(6.13)mq = 0.385 GeV , mc = 1.486 GeV , mb = 4.88 GeV .Результаты вычислений, полученные в рамках обоих моделей сведены втаблице 1. Кроме того, там содержатся значения масс дважды тяжелых барионов из современной потенциальной модели T.
Yoshida (2015) [11] и результаты решеточных КХД расчетов [123]. Заметим, что комбинации из различныхS−состояний дикварка и s−состояния легкого кварка в дважды тяжеломбарионе, исключают наличие спин-орбитального и спин-спинового взаимодействия, что делает корректным не только сопоставление простых моделей[121] с [13], но и [121] с более совершенной, но довольно громоздкой [11].97Очевидно, что масса основного состояния дважды тяжелого бариона Ξ+cc ,полученная в рамках описанного подхода [121] несколько превышает измеренную в эксперименте SELEX (6.1), но хорошо согласуется с решеточнымиКХД расчетами [123]. Однако, другие экспериментальные группы, включаяCERN COMPASS (LHC) и Belle Collaborations пока не смогли подтвердитьрезультат эксперимента SELEX (см. [11]). Для состояний бариона Ξ−bb , включающих тяжелые b−кварки приближение Борна-Оппенгеймера должно работать лучше, чем для бариона Ξ+ .
Для этих барионов модель А. М. Пучкова иА. В. Кожедуба [121] лучше согласуется с [11], чем модель Д. У. Матрасулова[13]. В принципе, модель [121] показала свою работоспособность. Однако, онатребует тонкой настройки параметров по современным экспериментальнымданным и решеточным КХД расчетам.В заключение этой главы заметим, что описанная выше потенциальнаямодель дважды тяжелого бариона допускает исследование с помощью асимптотических методов - теории возмущений и метода эталонного уравнения.Если учесть иерархию масштабов в дважды тяжелом барионе, то становится понятно, что очень важно знать асимптотическую формулу для энергиисвязи EQQ0 q при R → 0. Разумеется, такое выражение можно использоватьлишь для качественного описания спектра масс дважды тяжелых барионов.Однако, оно может полезно для различных монте-карловских генераторов,моделирующих процессы множественного рождения частиц при сверхвысоких энергиях на коллайдерах LHC и RHIC.Основные результаты этой главы изложены в работе [121].98Глава 7.
Модели квантовых колецСовременная электроника широко использует достижения в области нанотехнологий. Сам термин «нанотехнология» был придуман японским физикомНорио Танигучи в 1974 году. В настоящее время, понятие «нанотехнология»включает в себя совокупность технологических методов, применяемых дляизучения, проектирования и производства материалов, устройств и систем,включая целенаправленный контроль и управление строением, химическимсоставом и взаимодействием составляющих их отдельных элементов нанодиапазона [124].Одним из самых перспективных направлений прикладных исследованийв области наноэлектроники стало создание квантовых точек и квантовых колец, а также формирование из них сложных структурных квантовых объектов. Так, например, на основе капельной эпитаксии были получены многочисленные концентрические нанокольца, кольца вокруг квантовой точки идругие, более сложные нанообъекты [125] – [127]. Развиваются методы создания регулярных двумерных и трёхмерных кольцевых наноструктур на основенаносферической литографии [17] – [20].Однако, несмотря на явный прогресс в создании нанообъектов, в областиих теоретического описания, даже в случае одночастичных состояний, исследователи сталкиваются с альтернативой: либо ограничиваться чрезмерноупрощёнными одномерными моделями [21] - [23], либо прибегать к весьма ресурсоёмким вычислительным методам для учета их трехмерной структуры[24], [25], [26].
В настоящей главе предлагается подход, в котором, с одной стороны, рассматриваются модели, учитывающие (3D)−структуру нанообъектов кольцевой, сфероидальной формы, а с другой стороны – вычислительнаясложность соответствующих моделей минимизируется за счёт полного разделения переменных. Основная цель состояла в том, чтобы продемонстрировать возможность использования сплюснутых сфероидальных координатдля описания квантового (3D)-кольца на примере простейшей модели в видепотенциальной ямы с бесконечно высокими стенками. В результате численных расчетов в рамках этой модели будет исследована зависимость энергетического спектра квантового кольца от его формы.
В итоге будет показанапринципиальная возможность сформулировать критерии для целенаправленного контроля качества квантовых колец, что очень важно при их массовомпроизводстве.В заключении обсуждаются перспективы использования сплюснутых сфероидальных координат в моделях квантовых колец с потенциальными ямамиконечной глубины.997.1.Описание модели квантового кольца в виде бесконечноглубокой потенциальной ямыРассмотрим одночастичное электронное состояние в квантовом кольце,образованном полупроводниковой гетероструктурой. Гамильтониан этойсистемы выглядит следующим образом:~21Ĥ = − ∇∇ + V (~r) ,2 me (~r)(7.1)Зависимость эффективной массы электрона me (~r) от координат в (7.1) делаетрешение спектральной задачи нетривиальным. Однако, если рассматриватьквантовое кольцо как потенциальную яму с бесконечно высокими стенками,то эффективную массу можно считать постоянной и поиск уровней энергиисведется к решению уравнения Шредингера2me∆Ψ + 2 (E − V ) Ψ = 0~(7.2)в конечном объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
