Диссертация (1149904), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда условие квантования (3.3) вырождается в обычноеправило Бора-Зоммерфельда:Zη21P2 (η)dη = π q +.2(3.5)η1Условия квантования (3.2) - (3.5) можно представить в виде комбинацииполных эллиптических интегралов. Однако, для практического использования они не представляют интереса.
Гораздо более содержательным является54Рис. 7 Эффективный квазиугловой потенциал U2 (η) = −P22 (η)|p=0 .рассмотрение предельных случаев R → 0 и R → ∞, когда удается найтиявные выражения для нескольких поправок к энергии.Прежде всего, заметим, что при R → 0 точки поворота должны располагаться снаружи от сингулярной окружности таким образом, чтобы выполнялись условия ξ2 > ξ1 1 η1 → −1 и η2 → +1. Иными словами,в задаче появляется сферическая симметрия и классификацию состоянийудобно производить с помощью приближенных сферических квантовых чисел N = k + l + 1 l = q + |m|. Тогда оценку интеграла в условии (3.2)можно произвести, воспользовавшись методом Зоммерфельда [111], что даетследующее разложение для λ(ξ) :22√a1pmλ(ξ) =− k+−1−+2p24(l + 1/2)(l + 1/2)2(3.6)22a3m1−.+8(l + 1/2)3(l + 1/2)2Несколько первых членов разложения λ(η) получаются после регуляризациифазового интеграла в (3.5):222221pmb3mλ(η) = l +−1−+1−.
(3.7)22(l + 1/2)8(l + 1/2)2(l + 1/2)255Из условия λ(ξ) = λ(η) находим выражения для уровней энергии22 2223m2qq (q − q2 )221−R+O(R).E = − 12 + 1 1323NN (l + 1/2)(l + 1/2)(3.8)Заметим, что формула (3.8) получается из соответствующего выражения дляEj (R) с вещественным R, полученного в работе [94], если в нем произвестизамену Z1 + Z2 → 2q1 , Z1 − Z2 → 2q2 , R2 → −R2 .В другом предельном случае, при R → ∞, для состояний с малыми квантовыми числами имеет место ситуация «близких» точек поворота:ξ1 → 0 , ξ2 → 0 , ξ1 6= ξ2 6= 0; η1 → 0 , η2 → 0 , η1 6= η2 6= 0 .Это означает, что они локализуются в окрестности сингулярной окружности. Другими словами, наша система ведёт себя как двумерный осциллятор,возмущённый малой ангармонической добавкой, причём его положение «равновесия» смещено относительно точки (0, 0).
Следовательно, для построенияасимптотических разложений λ(ξ) и λ(η) можно воспользоваться методом, аналогичным описанному в работах С. Ю. Славянова [112, 113, 114]. Таким образом получается разложение для квазирадиальной константы разделения:3(2k + 1)2m2 (2k + 1) a22 (2k + 1)λ = −p −p(2k +1)−+m −−+ 2 +O(p−2 ) ,832p2p4p(3.9)и совершенно аналогично для квазиугловой:(ξ)2(2q + 1)2(2q + 1)3 m2 (2q + 1) b22λ = −p +p(2q +1)−+m ++− 2 +O(p−2 ) ,832p2p4p(3.10)Сравнивая значения параметров при соответствующих степенях p в условииλ(ξ) = λ(η) , находим выражения для уровней энергии(η)221/3 (q12 + q22 )2/322/3 (q12 + q22 )1/3 (k − q)−2Ekqm (R) = −++O(R).2/32/31/34/36 (k + q + 1) R(k + q + 1) R(3.11)Отсюда видно, что при R → ∞ весь спектр энергий накапливается у нуля.Это есть следствие того, что потенциальная яма становиться мелкой и в нейсвязанным состояниям трудно образовываться.
Обратим внимание также нато, что в старший порядок ∼ R2/3 и содержит квантовые числа k и q только ввиде суммы k + q, а зависимость от m вообще отсутствует. Последнее утверждение - это следствие того, что число m в выражениях (3.9) и (3.10) принулевой степени p входит одинаковым образом - как m2 . Таким образом, встаршем порядке появляется вырождение, кратность которого равна k+q +1.56Во втором порядке это вырождение частично снимается, но остается вырождение по m, а также для состояний с одинаковыми k и q.
В частности, термыс k = 0 q = 0 и с разными m стремятся к терму основного состояния, Такимобразом, даже основное состояние вырождается в пределе R → ∞, что будетпродемонстрировано на примерах в следующей главе. В следующем, третьемпорядке вырождение снимается полностью, а зависимость этой поправки отазимутального квантового числа ∼ m2 /R2 , то есть она довольно слабая.Для сравнения отметим, что проблема (Z1 eZ2 ) в пределе R → ∞ распадается на две одноцентровые задачи, поскольку электрон может находитьсялибо у заряда Z1 , либо у заряда Z2 , В энергетическом спектре появляютсяридберговские серии. Иными словами каждый термEj (R) −−−→ Z 2 /2N 2 = const ,R→∞где Z = Z1 или Z = Z2 в зависимости от того, у какого заряда локализуется электрон.
В квантовой обобщенной задаче двух кулоновских центров всетермыEj (R) ∼ R−2/3 −−−→ 0 .R→∞Квазиклассическая асимптотика волновых функций имеет следующий вид:1) в надбарьерной (классически разрешенной) областиA = {(ξ, η) : ξ1 6 ξ 6 ξ2 ,AΨA=Nkqmkqmη1 6 η 6 η2 }cos (J1 (ξ, ξ1 ) − π/4) cos (J2 (η, η1 ) − π/4) imϕppe,22(ξ + 1)P1 (ξ)(1 − η )P2 (η)(3.12)2) В подбарьерной (классически запрещённой) областиB = {(ξ, η) : 0 6 ξ < ξ1 , ξ2 < ξ < ∞; −1 6 η < η1 , η2 < η 6 +1}B(ij)B(ij) exp (−|J1 (ξ, ξi )|) exp (−|J2 (η, ηj )|) imϕpe,Ψkqm = Nkqm p22(ξ + 1)P1 (ξ)(1 − η )P2 (η)(3.13)причёмB(11)B(21)AANkqm = Nkqm, Nkqm = (−1)k Nkqm,B(12)B(22)AANkqm = (−1)q Nkqm, Nkqm = (−1)k+q Nkqm.В (3.12) и (3.13) использованы обозначения:ZξJ1 (ξ, ξi ) =ZηP1 (ξ)dξ ,J2 (η, ηi ) =P2 (η)dη ,ηiξi57i = 1, 2 .(3.14)Волновые функции дискретного спектра должны удовлетворять условию нормировки (1.22).
Если пренебречь эффектом надбарьерного отражения и учесть,что основной вклад в нормировочный интеграл даёт область A, то константуANkqm = Nkqmможно определить так:Nkqm−1/2ξηξηZ2Z2Z2Z2dξdηdξdη= 2−−(3.15)P1 (ξ) (1 − η 2 )P2 (η)(ξ 2 + 1)P1 (ξ) P2 (η)ξ1η1ξ1η1Правая часть в (3.15) выражаются через полные эллиптические интегралы.3.2.Теория возмущений при R → 0Когда параметр R в потенциале (1.11) стремиться к нулю, сингулярнаяокружность сжимается в точку.
Тогда в квантовой обобщенной задаче двухкулоновских центров появляется сферическая симметрия и ее рассмотрениеестественно проводить в сферических координатах (r, ϑ, ϕ). Чтобы построить теорию возмущений, необходимо разложить потенциал (1.11) в ряд постепеням малого параметра (R/r). Для этого воспользуемся формулой [80]:∞pX1k√=t Pk (u) , |t| < min|u ± u2 − 1| ,1 − 2tu + t2k=0где Pk (u)−полиномы Лежандра.
В результате простых, но довольно громоздких преобразований получается выражение 2n∞R2q1 XnV =(−1)P2n (cos ϑ)+r n=02r(3.16) 2n+1∞X2q2R+(−1)n+1P2n+1 (cos ϑ) .r n=02rОчевидно, что все четные гармоники в разложении (3.16), которые отвечаютза симметрию потенциала (1.11) относительно плоскости xy, ассоциируютсяс параметром q1 , а все нечетные, которые отвечают за антисимметрию - спараметром q2 .В качестве невозмущенного потенциала следует выбрать 2q1 /r−первыйчлен разложения (3.16), который не содержит малого параметра.
Тогда ясно,что в пределе R → 0 термы Ej (R) должны непрерывно переходить в уровни58энергии водородоподобного атома с зарядом 2q1 :Ej (R) −−−→ EN lmR→02q12=− 2,N(3.17)где (N lm)−набор сферических квантовых чисел. Радиальная Xmk (ξ; R) иугловая Ymq (η; R) части собственной функции Ψj будут преобразовыватьсясоответственно в радиальную и угловую части одноцентровой задачиΨkqm (ξ, η, ϕ; 0) = Nkqm (0)Xmk (ξ; 0)Ymq (η; 0)eimϕ = N RN l (r)Ylm (ϑ, ϕ) . (3.18)Поскольку спектр невозмущенного гамильтониана вырожден по l и m, тодля вычисления поправок к энергии (3.17) необходимо составить и решитьсекулярное уравнение. В качестве возмущения берем не только дипольныйчлен разложения (3.16), но и квадрупольный. Матричные элементы оператора возмущения вычисляются с помощью рекуррентных соотношений дляполиномов Лагерра и присоединенных полиномов Лежандра [80].
В итоге получается выражение для энергии терма Ej (R), содержащее первые два членаразложения при малых R :8q12 (q12 − q22 )[l(l + 1) − 3m2 ]R22q12EN lm (q1 , q2 , R) = − 2 + 3+ O((R)2 ) . (3.19)NN l(l + 1)(2l − 1)(2l + 1)(2l + 3)Отметим, что квазиклассическая асимптотическая формула для энергии прималых R (3.8) связана с (3.19) преобразованием (l + 1/2)2 7→ l(l + 1).
Крометого, формула (3.19) переходит в результат Бабера и Хассе [47] для термовпроблемы (Z1 eZ2 ) с помощью подстановки 2q1 7→ Z1 + Z2 , 2q2 7→ Z1 − Z2 .Вообще говоря, практика показывает, что формула (3.19) достаточно хорошо идентифицирует и контролирует численные расчеты термов Ej (R) вобласти малых R. При q1 > q2 ее применение оправдывается вплоть до R ∼ 1,а при q1 < q2 эта область существенно сужается.Вычисление энергии в следующем порядке теории возмущений представляет определенный интерес, поскольку там можно ожидать появления логарифмических поправок, аналогичных тем, что были полученны Левиной [99]для проблемы (Z1 eZ2 ). Однако, такие расчеты громоздки и практически необоснованы.Отметим особенность применения формулы (3.19) к основному состоянию,когда возникает неопределенность типа 0/0.
Для раскрытия неопределенности в правой части (3.19) можно воспользоваться правилом Лопиталя. А можно поступить иначе: сначала положить m = 0, затем сократить числитель изнаменатель на l и в оставшемся выражении перейти к пределу l → 0. В59итоге, формула (3.19) для основного состояния будет иметь вид:E100 (q1 , q2 , R) =−2q128q12 (q12 − q22 )R2−+ O((R)2 ) .3(3.20)Заметим также, что при q1 = q2 поправка к энергии (3.17) в формулах (3.19)и (3.20) обращается в нуль. Это означает, что при малых R терм почти горизонтален.
Однако, наблюдать такой эффект для основного состояния довольно сложно, поскольку асимптотическая область очень узкая. Напротив, длявысоко возбужденных состояний c N > 3, это уже существенно, посколькуобласть расширяется вплоть до R ∼ 1.3.3.Метод эталонного уравнения в случае близких точекповорота при R → ∞В некоторых случаях формул (3.19) и (3.20) оказывается недостаточно дляидентификации термов. Например, когда q1 = 0 (аналог конечного диполя)термы при R → 0 выходят в сплошной спектр.
Тогда формулы (3.19) и (3.20)становятся просто неприменимыми. В данной ситуации можно использоватьасимптотическое разложение Emkq (R) при R → ∞. Выше, в рамках методаВКБ была получена формула (3.11) и показано, что точки поворота начинают сближаться. Любопытно получить такое выражение с помощью другогоасимптотического метода и сравнить (3.11) с ним. Для этой цели можно использовать теорию возмущений в разделенных уравнениях. Однако, давайтевоспользуемся методом эталонного уравнения в случае близких точек поворота, который был подробно описан С. Ю. Славяновым [112, 113, 114].Сначала приведем исходные уравнения (1.23)–(1.24) к нормальному илишредингеровскому виду с помощью подстановок:emk (ξ; R)XXmk (ξ; R) = p,21+ξYemq (η; R)Ymq (η; R) = p.21−ηТогда квазирадиальная краевая задача (1.23)–(1.35) примет вид:2(aξ−λ)(m−1)d2 e2emk (ξ; R) = 0 ,X(ξ;R)+−p++Xmkdξ 2(ξ 2 + 1) (ξ 2 + 1)2emk (ξ; R)| −−−−→ 0,|Xξ→±∞ξ ∈ (−∞, ∞) ,а квазиугловая (1.24)–(1.35) преобразуется в следующую:22(bη + λ) (m − 1) ed e2Y(η;R)+p+−Ymq (η; R) = 0 ,mq2222dη(1 − η ) (1 − η )60(3.21)(3.22)(3.23)|Yemq (±1; R)| < ∞ ,η ∈ (−1, +1) .(3.24)Покажем, как применяется метод эталонного уравнения для построения асимптотики (3.21)–(3.22), поскольку для (3.23)–(3.24) все вычисления выполняются аналогично.
Прежде всего, необходимо перейти к новой переменнойax=ξ− 2,2pтак как изучается смещенный ангармонический осциллятор. Тогда, эталонным уравнением для (3.21) будет уравнение параболического цилиндра: 21d e2 2 eX(x;R)+pν+−px Xmk (x; R) = 0 ,(3.25)mk2dx2Теперь представим уравнение (3.21) в следующей форме:d2 e2emk (x; R) = 0 ,X(x;R)+pµ−pQ(x)Xmkdx2(3.26)где µ−спектральный параметр, а Q(x)− потенциал, который необходимо вокрестности минимума разложить с точностью до членов O(x5 ) :ω 2 x2Q(x) =+ αx3 + βx4 + O(x5 ) ,2причем надо удерживать в коэффициентах ω 2 , α, β слагаемые до порядкаO(1) включительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
