Диссертация (1149904), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Первые две строки запишем отдельно,во избежание недоразумений:βj2 fj2 + βj1 fj1 + βj0 fj0 = 0 ,(−1+αj2 +βj2 )fj3 +(4+αj1 +βj1 )fj2 +(−5+αj0 +βj0 )fj1 +(2+αj−1 +βj−1 )fj0 = 0 .Обратим внимание на отличие в обозначениях коэффициентов, которые входят в (2.18) и (2.19) от тех, которые входили в разложение (2.9): индекс обозначающий наборы опущен вниз.Соотношения (2.20) для обоих наборов являются иррегулярными разностными уравнениями типа Пуанкаре–Перрона (см. [73] и [82]), поскольку соответствующее характеристическое уравнение нулевого порядка по n имеетодин двухкратный корень t1,2 = 1 и один однократный t3 = 2.
Вообще говоря, для каждого фиксированного j, эти разностные уравнения имеют трирешения, поэтому необходимо убедиться, что среди них имеется правильное,отвечающее сходящимся рядам (2.18) и (2.19). Рассмотрим характеристическое уравнение первого порядка по n−1 :αj−1 αj1 2αj0 αj2 3t (n)+ 4 +t (n)+ −5 +t(n)+ 2 += 0.Pj (t) = −1 +nnnnОбщие выражения для корней этого уравнения выглядят громоздко, но понять как корни расположены на комплексной t−плоскости можно и не используя их явный вид. Достаточно заметить, что точки экстремума кубического полинома Pj (t) имеют следующее асимптотическое поведение: 11511tj=1− +O,t=−(4p−7)+O,1max22minnn3 3nn42 115t2max = +(4p − 1) + O,3 3nn2а сам полином слева и справа от tmin при t > 0 может принимать какположительные, так и отрицательные значения: Pj (0) = 2 + αj−1 /n > 0при n > 2, Pj (1) = −2p/n < 0.
Отсюда следует, что все корни веществены и положительны, причем обязательно один из них tj1 < 1, а остальные1 < tj2 < tj3 , tj3 ≈ 2. Здесь уместно напомнить, что существует другой строгоматематический способ узнать сколько вещественных корней имеет полиномс вещественными коэффициентами на заданном промежутке. Этот способ основан на принципе счетчика и дается теоремой Штурма [83]. Разумеется егоприменение к полиному Pj (t) на промежутках [0, 1] и [0, 2] приводит к темже результатам.Правильные частные решения разностного уравнения (2.20) должны соответствовать корню tj1 , поскольку только в этом случае получаются сходящиеся ряды.432.3.Устранимые особые точки.
Аналог метода 1/NПредставим Fmk (t; R) в (2.7) в виде:pFmk (t; R) = 1 + t2 Gmk (t; R) .Тогда краевая задача (2.7), (2.8) преобразуется в следующую:2 d12 2 d2(1 − t ) 2 Gmk (t; R) + −2pt − t 1 − tGmk (t; R)+4 dt dt2 212at1 (1 − t )22+ −λ − p − p − ++ m −Gmk (t; R) = 0 ,2 (1 − t2 )4 (1 + t2 )2|Gmk (±1; R)| < ∞ , −1 6 t 6 +1 .(2.21)(2.22)Если параметр m = ±1/2, то последнее слагаемое в квадратных скобках в(2.21) обращается в нуль и тогда t1 , t2 уже не будут влиять на разложениесобственной функции. Такие особые точки называют устранимыми [73]. Рассмотрим сначала самый простой случай когда m = ±1/2 и a = 0. Представимчетные и нечетные функции в следующем виде:(1)Gmk (t; R) =∞X(2)g1s t2s ; Gmk (t; R) =∞Xg2s t2s+1 .(2.23)s=0s=0Коэффициенты gjs , где j = 1, 2 теперь связаны между собой трехчленнымирекуррентными соотношениями:αjs gjs+1 − βjs gjs + γjs gjs−1 = 0 ,gj−1 = 0 .После подстановки (2.23) в (2.21) для четного набора получим:(s + 1)(2s + 1)12α1s :=,β1s := λ + p + p + + (4p + 1)s + 2s2 ,22(s − 1)(2s + 1)γ1s :=2и соответственно для нечетного:(s + 1)(2s + 3),2(s + 1)(2s − 1)γ2s :=2α2s :=β2s := λ + p2 + 3p +3+ (4p + 3)s + 2s2 ,2Известно, что трехчленные системы имеют существенные преимущества перед системами с большим числом членов, поскольку они тесно связаны с аппаратом цепных дробей [2].
В частности, зависимость λ = λ(p) может быть44найдена из условия обращения в нуль цепной дроби:αj0 γj1F (p, λ) = βj0 −. . . = 0.αj1 γj2βj1 −βj2 −(2.24)Сходимость этой цепной дроби следует из неравенства: αjs−1 γjs −−−→ 1 1 − 4p + O 1 < 1 . βj βj s→∞ 4ss24s−1sСходимость рядов (2.23) определяется поведением отношения при большихзначениях s:"#r rgjs+1αjs γjs1pβjs−−−→1− 1−4 2=1−2+O.gjs s→∞ 2αjsβjsssоткуда получаем, что радиус сходимости равен единице, то есть ряды (2.23)сходятся во всей области определения собственной функции.Теперь рассмотрим случай, когда m = ±1/2, a 6= 0, то есть ситуацию,когда симметрия нарушена.
Выбираем анзац для собственной функции вследующем виде:a/2p X∞1+temk (t; R) = A1Gan tn , t ∈ [0, +1) ,1−tn=0(2.25)a/2p X∞1−teeG(t;R)=Abn tn , t ∈ (−1, 0] .mk21+tn=0В этих выражениях A1 и A2 являются нормировочными константами. Обарешения должны быть гладко сшиты при t = 0, что приводит к дополнительным ограничениям:A12aA1a0 , b1 =a1 + a0 .(2.26)b0 =A2A2pПорядок вычисления собственной функции Gmk (t; R) может быть следуюemk (t; R) в (2.25), потомщим: сначала определяются коэффициенты an для Geeопределяются коэффициенты bn для Gmk (t; R) с учетом (2.26), после чегоопределяются нормировочные константы. В принципе, одну из нормировочных констант A1 или A2 можно положить равной единице, поскольку в (2.26)они входят в виде отношения.∞Оба набора коэффициентов {an }∞n=0 и {bn }n=0 удовлетворяют пятичленным рекуррентным соотношениям.
Отличие сводится к замене a → −a.45Выпишим условия для первого набора:a0 , a1 произвольны,β2 a2 + β1 a1 + β0 a0 = 0 ,(1 + α2 + β2 )a3 + (α1 + β1 )a2 + (−2 + α0 + β0 )a1 + (α−1 + β−1 )a0 = 0 ,α0 β 0α2 β 2α1 β1+ 2 an+2 ++ 2 an+1 + −2 ++ 2 an +1+nnnnnn(2.27)α−1 β−1α−2 β−2++ 2 an−1 + 1 ++ 2 an−2 = 0 . n > 2 .nnnnα2 := 3,2aα1 := ,p1,α0 := −4 2p +22aα−1 := − ,pα−2 := −1,β2 := 2,2aβ1 := ,p21aβ0 := 4 −λ − p2 − p − + 2 ,2 4pβ−1 := 0,β−2 := −2.Характеристический полином первого порядка по n−1 для разностного уравнения (2.27):α2 4α1 3α0 2α−1α−2 1+t (n) + t (n) + −2 +t (n) +t(n) + 1 +=0nnnnnимеет следующие корни:vvuui=2i=2u 1Xu 1Xt1,2 = 1 ± t−αi , t3,4 = −1 ± t−αi ,(2.28)n i=−2n i=−2гдеi=2Xαi = −8p .i=−2Поскольку условия для определения {bn }∞n=0 получаются из условий дляпервого набора – {an }∞n=0 с помощью замены a → −a, то и соответствующийхарактеристический полином также имеет корни (2.28). Заметим, что дваиз них обязательно попадут внутрь единичного круга: именно они отвечают∞правильным наборам {an }∞n=0 и {bn }n=0 .
Численные расчеты показывают, чторазложения (2.23)в случае m = 1/2, a = 0 и (2.25) в случае m = 1/2, a 6= 0весьма эффективны для решения спектральной задачи и поэтому возникает46желание применить метод степенных разложений в общей ситуации, когдаm 6= 1/2, a 6= 0. Однако здесь имеется естественное препятствие связанное стем, что функция y(t) = (1−t2 )2 /(1+t2 )2 не полином по t. В принципе, существует способ обойти это препятствие и ниже мы изложим его суть, не останавливаясь на детальном обосновании алгоритма и выписывании громоздкихформул.
Прежде всего, заметим что y(t) ∈ C ∞ ((−1; +1)), поэтому ее можноинтерполировать полиномом любой, сколь угодно большой степени. Очевидно, что распределение этих узлов в сетке не должно иметь принципиальногозначения. Возьмем в качестве переменной интерполяции t2 и по ней устроимравномерную сетку на отрезке [0, 1]. Тогда для интерполяционного полинома можно воспользоваться формулой Ньютона (интерполяция вперед), гдевсе коэффициенты определены через конечные разности [82, 83, 84]. Оценкаостаточного члена будет определять точность приближения и следовательностаршую степень полинома и N −количество узлов в сетке. Однако оказывается целесообразнее поступать несколько иначе. Коэффициенты q1 , . . . , qlинтерполяционного полиномаQ2l (t) = 1 + q1 t2 + .
. . + ql t2l , 2l < N − 1 ,будем разыскивать минимизируя сумму квадратов невязокNXyi − 1 −q1 t2i− ... −2l 2q l ti .i=1Условие минимума приведет к системе l линейных уравнений относительно lкоэффициентов. Оказывается, что эта система имеет единственное решение.Теперь заменим в уравнении последнее слагаемое в квадратных скобках на(m2 − 1/4)Q2l (t) и получим следующую краевую задачу:2 dd12 22eemk (t; R)+(1 − t ) 2 Gmk (t; R) + −2pt − t 1 − tG4dt dt12at122eemk (t; R) = 0 ,+ m −Q2l (t) G+ −λ − p − p − +22 (1 − t )4(2.29)emk (±1; R)| < ∞, −1 6 t 6 +1 .|G(2.30)emk (t; R) краевой задачи (2.29), (2.30) подойдетДля собственной функции Gанзац типа выражения (2.25), но конечно с новыми наборами коэффициe ∞ентов {ean }∞n=0 и {bn }n=0 .
Оба эти набора теперь будут определяться ужене пятичленными, а l + 2−членными рекуррентными соотношениями типаeиGemk (t; R) сводится к решениюПуанкаре-Перрона. Таким образом поиск λалгебраической частичной проблемы собственного значения. Численные рас47четы показывают, что если известны λ±1/2,k и G±1/2,k ,то нет даже необходимости решать эту частичную проблему заново. Достаточно принять λ±1/2,k исоответствующие наборы коэффициентов в качестве приближения и воспользоваться каким -либо методом уточнения отдельного собственного значенияи принадлежащего ему собственного вектора, например методом Дерведюэили какой-либо его модификацией [85].
Проведя несколько итераций достигаем требуемой точности. Естественно, что после этого встанет вопрос о том,eкак меняются λgmk и Gmk (t; R) с ростом N и l. Сошлемся опять на опыт численных расчетов. Оказывается, что при достаточно больших N начинаютвыполняться условия:|λmk − λgmk | → 0,emk (t; R)|| = sup |Gmk (t; R) − Gemk (t; R)| → 0 ,||Gmk (t; R) − G(2.31)[−1;1]то есть имеет место устойчивость данной процедуры. Величины точного собственного значения λmk и точной собственной функции Gmk (t; R) для проверки (2.31) были получены независимым эталонным способом (метод стрельбыв сочетании с методом половинного деления (см.[78]).По существу, идея решения краевой задачи является не чем иным каканалогом метода 1/N [86] или своеобразной теорией возмущений.
Несмотряна кажущуюся громоздкость этот алгоритм все же достаточно эффективен,по крайней мере, для первых десяти состояний.482.4.Краевая задача для квазиуглового уравненияРассмотрим краевую задачу для уравнения (1.24)2ddm22(1 − η 2 ) Ymq (η; R) + λ(η)+p(1−η)+bη−Ymq (η; R) = 0.mq2dηdη1−ηс граничными условиями (1.30)|Ymq (±1; R)| < ∞.Такая задача встречается не только в однолистном, но и в двулистном случае.Очевидно, что вся разница заключается только в обозначении собственнойфункции. Стандартное разложение Бабера и Хассе [47] для Ymq (η; R) выглядит следующим образом:Ymq (η; R) = e−ıp(1+η)∞Xmcs Ps+m(η) ,(2.32)mc0s Ps+m(η) .(2.33)s=0Ymq (η; R) = e−ıp(1−η)∞Xs=0Коэффициенты cs в связаны друг с другом трёхчленными рекуррентнымисоотношениямиρs cs+1 − κs cs + δs cs−1 = 0 , c−1 = 0 ,(2.34)где(s + 2m + 1)[b − 2ıp(s + m + 1)],ρs =2(s + m) + 3κs = (s + m)(s + m + 1) − λ ,s[b + 2ıp(s + m)]δs =.2(s + m) − 1(2.35)Для коэффициентов c0s выполняются такие же соотношения, что и (2.34), нос заменой b → −b в формулах (2.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
