Диссертация (1149904), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Представлены результаты численных расчетов, анализ которыхпозволяет сделать выводы о влиянии формы кольца на структуру спектраодночастичных состояний. Обсуждается возможность использования потенциальных ям конечной глубины и сплюснутой сфероидальной формы дляописания одночастичных состояний в квантовых кольцах. Показано, что дляисследования этих моделей можно использовать результаты, полученные впервой части при решении квантовой обобщенной задачи двух кулоновскихцентров.В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.Основные положения, выносимые на защиту:1.
Исследована новая точно решаемая потенциальная модель, в которойквантовая задача двух кулоновских центров рассматривается с мнимымпараметром межцентрового расстояния и комплексо-сопряженными зарядами. Описана специфики нового класса краевых задач.2. Предложены и теоретически обоснованны новые типы разложения в ряды для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси.3. Исследовано асимптотическое поведение собственных функций и термовквантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров при малых ибольших значениях межцентрового параметра с помощью квазиклассического приближения и теории возмущений.4.
Установлена структура энергетического спектра квантовой обобщеннойзадачи двух кулоновских центров.115. Рассмотрена новая точно решаемая потенциальная модель для дваждытяжелых барионов с линейно растущим потенциалом конфайнмента. Врамках этой модели были вычислены массы некоторых дважды тяжелыхбарионов и проведено сравнение, как с расчетами других авторов, так ис экспериментальными данными.6.
Рассмотрена новая модель квантового кольца, в виде потенциальной ямысфероидальной формы и бесконечной глубины. С помощью этой моделиудалось изучить влияние формы кольца на структуру его спектра.7. Предложен новый подход для моделирования одночастичных состоянийв квантовых кольцах с использованием сфероидальных координат.Степень достоверности и апробация результатовДостоверность полученных результатов обеспечивается согласованиемчисленных и аналитических расчетов, совпадением предельных случаев с результатами других авторов, количественным и качественным соответствиемс альтернативными подходами в широкой области изменения параметров.Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой механики и кафедры вычислительной физики, а также лаборатории физики сверхвысоких энергийфизического факультета СПбГУ и на международных конференциях:• Days on Diffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg,June 28–July 1 (2005) http://mph.phys.spbu.ru/dd05/index.html• Days on Diffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, May27–31 (2013)http://www.pdmi.ras.ru/ dd/download/DD13 program.pdf• XIth International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum,Saint Petersburg, September 8–12 (2014) http://onlinereg.ru/ConfXI• Days on Diffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, May25–29 (2015)http://www.pdmi.ras.ru/ dd/download/DD15 program.pdf• XIIth International Conference Quark Confinement and the Hadron Spectrum,Thessaloniki, Greece, August 29 – September 3 (2016)https://indico.cern.ch/event/353906/contributions/2239066/Вклад автора.
Все основные результаты диссертации получены авторомлично. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Идея12исследования квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров принадлежит Ю. Н. Демкому, что нашло отражение в названии работы [A10]. Встатьях [A1, A2] постановка задачи и обсуждение результатов осуществлялась при его непосредственном участии.
В статьях [A1, A2, A4, A10] авторомбыли произведены расчеты волновых функций и термов, а также анализ результатов. Вклад автора в статьи [A12], [A13] составляют идея постановкизадачи и формулировка моделей.ПубликацииОсновные результаты по теме диссертации изложены в следующихработах:A1. А. М. Пучков, А. В. Кожедуб, Квазиклассическое приближение вобобщённой задаче двух кулоновских центров, Вестн.
С. Петерб. ун-та,Физика-Химия, Сер. 4, вып. 1, 105–112 (2002)A2. А. М. Пучков, А. В. Кожедуб, Квантовая обобщённая задача двух кулоновских центров, Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып.3, 16–27 (2005)A3. А. М. Пучков, Квадратично интегрируемые решения кулоновского сфероидального уравнения на мнимой оси, Вестн. С. Петерб.
ун-та, ФизикаХимия, Сер. 4, вып. 2, 88–94 (2006)A4. А. М. Пучков, И. Б. Керницкий, Степенные разложения для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси,Вестн. С. Петерб. ун-та, Физика-Химия, Сер. 4, вып. 1, 116–124 (2008)A5. A. M. Puchkov, A. V. Kozedub and E. O. Bodnia, Generalized quantummechanical two-Coulomb-center problem (Demkov problem) Chinese Phys.B, 22, 090306 (2013) doi:10.1088/1674-1056/22/9/090306A6. A. M.
Puchkov, A. V. Kozhedub, Two potential quark models for doubleheavy baryons, AIP Conference Proceedings, 1701, 100014 (2016);doi: 10.1063/1.493872A7. A. M. Puchkov, V. A. Roudnev, A. V. Kozhedub, Influence of the shape ofa quantum ring on the structure of its energy spectrum, Proceedings of theInternational Conference DAYS on DIFFRACTION 2015, 103–106 (2015)doi:10.1109/DD.2015.735487313Часть IКвантовая обобщенная задача двухкулоновских центров14Глава 1. Постановка задачи1.1.ВведениеКогда у автора есть серьезные претензии на новизну полученных результатов, а изучаемый вопрос и методы исследования имеют длительную историю,необходимо прежде всего указать место этой диссертации в историческомплане.В классической небесной механике существует проблема трех тел, в которой изучается движение трех произвольных точечных масс, взаимно притягивающихся по закону Ньютона.
Решение этой проблемы состоит в том,чтобы описать предшествующие и последующие движения тел по их координатам и скоростям в данный момент времени. В прошлом многие физики,математики и астрономы безуспешно пытались найти решение неограниченной задачи трех тел в замкнутой форме. Известно, что такого решения простоне существует. Еще в конце 19-го века Г. Э. Брунс и А.
Пуанкаре доказали,что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через алгебраическиеили однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел. Темне менее, в некоторых случаях, ограниченная задача допускает точное решение. В частности, это справедливо по отношению к задаче двух неподвижныхцентров, когда изучается движение легкой, пассивно гравитирующей материальной точки, притягиваемой двумя тяжелыми, неподвижными точечнымимассами. Далее речь пойдет именно об этом частном случае проблемы трехтел.Начнем наш исторический экскурс с того, что воздадим должное математическому гению Исаака Ньютона и отметим громадное влияние на развитие науки его трактата «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» [29],опубликованного в 1687 году.
Задача двух неподвижных центров, как ограниченная задача трех тел, впервые была поставлена и исследована там напримере движения Земли и Луны вокруг Солнца. Очень важно отметить,что эта проблема содержит два малых параметра, которые ее делают нетривиальной: отношение массы Луны M$ к массе Земли M⊕M$≈ 0.0123 ≈ 1%M⊕и наклон лунной орбиты к орбите Земли ≈ 5◦ . Ньютон заявил, что проблемуочень трудно решить, Однако, ему удалось получить приближенное решение,которое согласуется с результатами наблюдений в пределах 8 %.Следующий значительный шаг в решении этой задачи принадлежит дру15гому гениальному математику – Леонарду Эйлеру. Одним из величайшихдостижений Эйлера стала разработка алгоритмического мышления.
В своихработах по небесной механике он впервые применил так называемый методразложения по степеням малого параметра. Другими словами, он заложилосновы теории возмущений, которая была окончательно сформулирована вработах Лапласа и Пуанкаре. Задачей двух неподвижных центров ЛеонардЭйлер стал заниматься с 1753 года. Результаты исследований он опубликовалв двух работах в 1764 и в 1765 году [30]. Эти работы затем использовал геттингенский астроном И.
Т. Майер при составлении лунных таблиц, которыебыли включены в морские альманахи и долгое время служили для определения долготы в открытом море [31]. Отметим также, что с идеями Л. Эйлераможно ознакомиться в его трактате «Новая теория движения Луны», который был переведен на русский язык академиком А. Н.
Крыловым [32].В пространственном случае решение задачи двух неподвижных центровбыло дано Ж. Л. Лагранжем и К. Якоби. Полное решение задачи сталовозможным лишь после исчерпывающего качественного анализа начатогоК. Л. Шарлье и завершенного работами Г. Бадаляна, Х. Талльквиста в плоском случае и В. М. Алексеева – в пространственном случае. В итоге появилась полная классификация всех возможных форм движения и генеалогияразличных классов орбит (см.
например [33, 34]).Замечательная особенность задачи двух неподвижных центров заключается в том, что соответствующее уравнение Гамильтона-Якоби допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах (ξ, η, ϕ), гдеξ ∈ [1; ∞), η ∈ [−1; +1], ϕ ∈ [0; 2π), а уравнения движения интегрируются вквадратурах. Решение задачи двух неподвижных центров может применяться при изучении движения малого тела солнечной системы в окрестности планеты. Орбиту пассивно гравитирующей материальной точки, определяемуюточным решением задачи двух неподвижных центров, можно рассматриватькак промежуточную или невозмущенную орбиту малого тела и вычислятьпоправки к ней по теории возмущений.В 1961 году Е.
П. Аксенов, Е. А. Гребенников и В. Г. Демин обратиливнимание на возможность использования результатов интегрирования классической задачи двух центров для изучения движения материальной точки внецентральном поле тяготения [35]. В работе [36] они предложили обобщенную задачу двух центров для построения теории движения искусственныхспутников Земли (ИСЗ), а затем выполнили подробное качественное изучение орбит этой задачи [37, 38, 39, 40]. Основная идея теперь состояла в том,что потенциал Земли («силовая функция» в небесной механике) может быть16представлен формулойGM⊕W =21 + iσ 1 − iσ+r1r2,(1.1)где G–гравитационная постоянная, i2 = −1, и R и σ–некоторые вещественныепостоянные,22RRr12 = x2 + y 2 + z − (σ + i) ,r22 = x2 + y 2 + z − (σ − i) .22Тогда уравнение Гамильтона-Якоби для ИСЗ тоже разделяется, но уже не ввытянутых, а в сплюснутых сфероидальных координатах.История квантовой задачи двух кулоновских центров начинается с докторской диссертации Вольфганга Паули, которую он защитил в 1921 годув Мюнхенском университете и опубликовал отдельной статьей в 1922 году[41].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
