Диссертация (1149904), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

У. Матрасулову удалось получить асимптотическую формулу для терма Eq (R), которая справедлива в пределе R → ∞. Для ее вывода был применен метод эталонного уравнения. Потом эта асимптотическаяформула использовалась в работе [13] для вычисления термов легкого кваркаEq (R) и расчета спектра масс дважды тяжелых барионов. Однако, несмотряна то, что результаты работы [13] удовлетворительно согласуются с другимирасчетами, имеется целый ряд замечаний по поводу обоснованности применения данной модели. Во-первых, потенциал конфайнмента на больших рассто-6яниях r должен расти линейно, а не квадратично.

Во-вторых, такие увеличенные в размерах (разбухшие) сферически-симметричные барионы никогдаэкспериментально не наблюдались. Скорее наоборот, в протон-протонных,протон-ядерных и ядро-ядерных столкновениях при высоких энергиях наблюдаются протяженные объекты - цветные струны [14, 15]. Таким образомвозникает задача найти новую потенциальную модель для дважды тяжелыхбарионов с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайнмента и допускающую разделение переменных в уравнении Шредингера ввытянутых сфероидальных координатах.Следующий тип потенциальных моделей, рассмотренных в диссертациибудет связан с квантовыми кольцами и квантовыми точками.

Это связано стем, что создание этих нанообъектов, а также формирование из них сложныхструктур, стало одним из самых перспективных направлений прикладныхисследований в области наноэлектроники. Известно, что на основе капельной эпитаксии были получены многочисленные концентрические нанокольца,кольца вокруг квантовой точки и другие, более сложные нанообъекты [16].Развиваются методы создания регулярных двумерных и трёхмерных кольцевых наноструктур на основе наносферической литографии [17] - [20].Однако, несмотря на явный прогресс в создании квантовых колец, в области их теоретического описания, даже в случае одночастичных состояний,исследователи сталкиваются с альтернативой: либо ограничиваться чрезмерно упрощёнными одномерными моделями [21] - [23], либо прибегать к весьмаресурсоёмким вычислительным методам для учета их трехмерной структуры [24], [25], [26].

Очевидно, что необходимо найти альтернативный подход,в котором, с одной стороны, будут рассматриваться модели, учитывающие(3D)−структуру квантовых колец, а с другой стороны – вычислительнаясложность соответствующих моделей должна минимизироваться за счёт полного разделения переменных. В работе J. Even и S. Loualiche [27] изучаласьмодель квантового кольца в виде бесконечно глубокой потенциальной ямы,ограниченной параболоидами вращения. Существенный недостаток этой модели состоит в том, что при фиксированном объеме и радиусе кольца, она недопускает варьирование других параметров, определяющих форму ямы и темсамым не позволяет проследить влияние формы квантового кольца на структуру его спектра. В настоящей диссертационной работе будут рассмотреныпотенциальные модели квантовых колец, допускающие разделение переменных в уравнении Шредингера в сплюснутых сфероидальных координатах илишенные всех указанных недостатков.7Цели и задачиОсновная цель диссертации заключается в изучении новых квантовыхмоделей, допускающих разделение переменных в уравнении Шредингера всфероидальных координатах.Основные задачи диссертационной работы обусловлены цельюисследования и заключаются в следующем:• Рассмотреть квантовый аналог обобщенной задачи двух неподвижныхцентров.

Разделить переменные в соответствующем уравнении Шредингера в сплюснутых сфероидальных координатах. Провести подробнуюклассификацию краевых задач и выяснить их специфику.• Построить численно устойчивые алгоритмы решения краевых задач.Выполнить численные расчеты и выяснить структуру энергетическогоспектра квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.• Рассмотреть новую потенциальную модель для дважды тяжелых барионов с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайнмента, допускающую разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах. Провести в рамках этой модели численные расчетыдля спектра масс некоторых частиц. Сравнить эти результаты с предсказаниями других моделей и с решеточными КХД расчетами.• Рассмотреть модель квантового кольца в в виде потенциальной ямысфероидальной формы и бесконечной глубины.

Провести численныерасчеты и выяснить структуру энергетического спектра этой модели.Научная новизна работы состоит в том, что:• Впервые квантовая задача двух кулоновских центров на расширенномпространстве (аналог римановой поверхности).• Впервые краевая задача для квазирадиального уравнения в сплюснутыхсфероидальных координатах при дополнительном условии квадратичной интегрируемости ставится на всей числовой оси.• Предложены и теоретически обоснованы новые типы разложения в рядыдля квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функцийна мнимой оси.• Впервые установлена структура энергетического спектра квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.8• Впервые предложена точно решаемая модель для дважды тяжелых барионов с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайнмента, в рамках которой были сделаны предсказания для масс некоторых дважды тяжелых барионов.• Впервые рассмотрена модель квантового кольца в в виде потенциальнойямы сфероидальной формы и бесконечной глубины с помощью которойудалось изучить влияние формы кольца на структуру его энергетического спектра.Теоретическая и практическая значимость работыТеоретическая значимость работы состоит в том, что в ней описан новый типкраевых задач и показан способ их решения.Практическая значимость работы заключается в том, что ее результатамиможно воспользоваться:1) для получения простых асимптотических формул, описывающих спектрмасс дважды тяжелых барионов, которые потом можно будет применить вразличных монте-карловских генераторах моделирующих процессы множественного рождения частиц при сверхвысоких энергиях на коллайдерах LHCи RHIC.2) для моделирования одночастичных состояний в квантовых кольцах различной формы, что необходимо при разработке новых нанотехнологий производства квантовых колец.Методология и методы исследования.В работе активно применяются методы исчисления конечных разностей.

Вчастности, для решения краевых задач используется представление собственных функций в виде рядов, коэффициенты которых связаны между собойтрех, четырех и пятичленными рекуррентными соотношениями. Для доказательства сходимости этих рядов используются теоремы Пуанкаре и Перрона.Альтернативный подход к решению краевых задач состоит в использованииметода стрельбы в сочетании с методом половинного деления.

Кроме того,для контроля численных расчетов применяются асимптотические методы:теория возмущений, метод эталонного уравнения и квазиклассическое приближение (метод ВКБ).Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения,семи глав, списка литературы и заключения. Главы собраны в две части пообщности тематики. Первая часть содержит четыре главы, посвященных рассмотрению квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.

Втораячасть содержит три главы, посвященных точно решаемым квантовым мо9делям, описывающим физические системы в сфероидальных координатах.Полный объем диссертации составляет 122 страницы, включая 35 рисункови 2 таблицы. Список литературы содержит 129 наименований.Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются основные задачи, научная новизна и практическая ценность работы, приводится краткое содержание отдельных частей.Первая часть диссертации посвящена квантовой обобщенной задачедвух кулоновских центров.

Классический аналог этой проблемы, известныйв небесной механике под названием обобщенной задачи двух неподвижныхцентров, появился в 1961 году и используется до сих пор для расчета траекторий искусственных спутников. Существенное отличие квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров от проблемы (Z1 eZ2 ), состоит в том,что особенности ее потенциала расположены не в точках, как в проблеме(Z1 eZ2 ), а на окружности. Таким образом, после разделения переменных вобобщенной задаче возникает богатый выбор граничных условий и, соответственно, разнообразие краевых задач. Первая глава посвящена описаниюсвойств потенциала, подробной классификации всех возможных типов граничных условий и постановке краевых задач. Во второй главе обсуждаетсярешение краевых задач, причем значительное место уделено ранее не исследованным краевым задачам для квазирадиального уравнения.

В них, особыеточки кулоновского сфероидального уравнения расположены сбоку от области изменения переменной, что создает проблему круга сходимости дляпредставления собственных функций в виде рядов. В диссертации предложен способ решения этой проблемы. Приводится несколько типов представления собственных функций в виде рядов и проводится анализ их сходимости.Третья глава посвящена применению асимптотических методов в квантовой обобщенной задаче двух кулоновских центров. Это можно рассматриватькак необходимый для контроля численных расчетов, альтернативный подходк решению задачи. В рамках квазиклассического приближения и теории возмущений найдены приближенные выражения для волновых функций и термов. В четвертой главе представлены результаты численных расчетов, наоснове которых делаются заключения о структуре энергетического спектраквантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.Вторая часть диссертации посвящена точно решаемым квантовым моделям, описывающем реальные физические системы и допускающим разделение переменных в уравнении Шредингера в сфероидальных координатах.В пятой главе сформулированы ограничения на потенциалы квантовых ям10конечной глубины и сфероидальной формы, которые допускают разделениепеременных в сфероидальных координатах.

Шестая глава посвящена потенциальным моделям дважды тяжелых барионов. В ней описана новая точно решаемая модель с правильным асимптотическим поведением потенциалаконфайнмента в рамках которой выполнены численные расчеты для спектра масс некоторых состояний. Проведено сравнение полученных результатов, как с расчетами других авторов, так и с экспериментальными данными.В седьмой главе рассмотрена точно решаемая модель квантового кольцав виде потенциальной ямы сфероидальной формы с бесконечно высокимистенками.

Характеристики

Список файлов диссертации