Диссертация (1149904)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиПучков Андрей МихайловичНОВЫЕ ТОЧНО РЕШАЕМЫЕКВАНТОВЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИВ СФЕРОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХСпециальность 01.04.02 – теоретическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучные руководители:доктор физико-математических наук,профессор ДЕМКОВ Ю. Н. ,доктор физико-математических наук,профессор ЛАБЗОВСКИЙ Л. Н.Санкт-Петербург2016ОглавлениеВведениеI4Квантовая обобщенная задача двух кулоновских центровГлава 1.
Постановка задачи14151.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. Потенциал и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3. Разделение переменных и постановка краевых задач . . . . . .
. 261.4. Полный набор коммутирующих операторов . . . . . . . . . . . . 31Глава 2. Решение краевых задач322.1. Краевая задача для квазирадиального уравнения на всей оси.Обобщенное разложение Яффе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Степенные разложения для сфероидальных собственныхфункций . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 412.3. Устранимые особые точки. Аналог метода 1/N . . . . . . . . . . 442.4. Краевая задача для квазиуглового уравнения . . . . . . . . . . . 49Глава 3. Асимптотическое поведение решений квантовойобобщеной задачи двух кулоновских центров513.1. Квазиклассическое приближение (метод ВКБ) . . . . . . . . . . 523.2. Теория возмущений при R → 0 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 583.3. Метод эталонного уравнения в случае близких точекповорота при R → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602Глава 4. Результаты численных расчетов(ξ)(ξ)63(η)(η)4.1. Спектр собственных значений λmk = λmk (p, a) и λmq = λmq (p, b).Собственные функции квазирадиального уравнения . . . .
. . . 644.2. Структура энергетического спектра . . . . . . . . . . . . . . . . 68IIТочно решаемые квантовые модели, описывающие физиче-ские системы в сфероидальных координатах87Глава 5. Общие методические замечания885.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2. Ограничения на потенциалы для квантовых ям конечнойглубины и сфероидальной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Глава 6. Потенциальные модели дваждытяжелых барионов91Глава 7. Модели квантовых колец997.1.
Описание модели квантового кольца в виде бесконечноглубокой потенциальной ямы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.2. Результаты численных расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.3. Модели квантовых колец в виде потенциальных ям конечнойглубины . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Заключение111Литература1133ВведениеАктуальность темы исследованияВ математическом описании физических явлений фундаментальную рольиграют точно решаемые модели. Они позволяют выделить суть явления изадают направление поиска методов анализа более сложных и более реалистических ситуаций.Квантовыми интегрируемыми моделями обычно называют квантовые гамильтоновы системы, у которых существует полный набор операторов, коммутирующих друг с другом и с гамильтонианом. Такие модели являютсяточно решаемыми в том смысле, что спектр гамильтониана может быть описан достаточно явно как для моделей с конечным, так и с бесконечным числом степеней свободы.
В 80-е годы двадцатого века Л.Д. Фаддеевым и егоучениками был создан квантовый метод обратной задачи, с помощью которого удалось построить и найти точные решения для большого количестваинтегрируемых моделей квантовой механики, квантовой теории поля и статистической физики [1]. Многие результаты для этих моделей были полученызадолго до создания квантового метода обратной задачи с помощью анзацаБете. Однако до сих пор, квантовые задачи допускающие решение с помощьюметода разделения переменных продолжают привлекать внимание теоретиков.
Особое место среди них занимают задачи с координатным разделениемпеременных, как в квантом, так и в классическом случае. Их известно сравнительно немного: они уникальны. Однако их продолжают открывать и изучать, несмотря на то, что квантовый аналог теоремы Лиувилля до сих порнеизвестен.Одной из таких замечательных задач является квантовая задача двух кулоновских центров – проблема (Z1 eZ2 ), которая состоит в определении волновых функций и термов электрона, движущегося в поле двух неподвижныхзарядов Z1 и Z2 , находящихся на расстоянии R друг от друга. В решении различных вопросов атомной физики, квантовой химии двухатомных молекул итеории столкновений она сыграла столь же фундаментальную роль, как задача об атоме водорода в проблеме электронной структуры сложных атомов.Еще в 30-е годы двадцатого века было показано, что уравнение Шредингератакой системы допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах, а одномерные собственные функции представимы в видерядов, коэффициенты которых связаны друг с другом трехчленными рекуррентными соотношениями [2].
В дальнейшем были разработаны алгоритмы,позволяющие рассчитывать термы с относительной точностью порядка 10−12 ,4а волновые функции ∼ 10−10 . Все это привело к тому, что стали рассматриваться всевозможные обобщения проблемы (Z1 eZ2 ) [3].Применение задачи двух кулоновских центров в теории рассеяния атомных столкновений основано на том, что из-за большой разницы в массахдвижение электронов и ядер можно рассматривать независимо. Иначе говоря, в рассмотрение вводятся E(R)− потенциальные кривые, или термыквазимолекулы, составленной из сталкивающихся атомов. Эти кривые являются аналитическими функциями межъядерного расстояния R, поэтому всетермы одинаковой симметрии есть различные значения одной многозначнойфункции.
Для того, чтобы перейти от одного значения этой функции к другому, достаточно обойти соответствующую точку ветвления на комплекснойплоскости R. При медленных столкновениях (v 1a.e.) основную роль играют такие точки ветвления вблизи вещественной оси. Сравнительно недавно,в восьмидесятые годы двадцатого века, в связи с потребностями физики термоядерного синтеза возникла необходимость исследования положения особыхточек термов задачи двух кулоновских центров в более широкой комплекснойплоскости межцентрового (межъядерного) расстояния R. Эта работа быланачата Е. А. Соловьевым [4] и затем продолжена с соавторами (подробностисм.
ниже). Основной результат этой деятельности состоит в том, что были обнаружены различные типы «скрытых» квазипересечений термов и полученыприближенные аналитические выражения, связывающие параметры квазипересечения с характеристиками квазимолекулы и её квантовыми числами.Эти приближенные выражения могут быть использованы при анализе оченьсложных ситуаций в расчетах неупругих процессов.Заметим, что в [3] и в [4] рассмотрение проводилось в вытянутых сфероидальных координатах, поскольку методика расчетов в этих работах былаоснована на использовании стандартных алгоритмов и аналитического продолжения с вещественной положительной полуоси R.Вообще говоря, сфероидальные координаты бывают двух типов: вытянутые и сплюснутые.
Хорошо известно, что уравнение Шредингера, в принципе,допускает разделение переменных и в том и в другом случае. Однако до сихпор при изучении квантовых интегрируемых систем предпочтение отдаетсявытянутым координатам. Вплоть до недавнего времени единственной работой, в которой использовалось разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах была известная статья Рейнуотера (Rainwater) [5],где удалось объяснить магнитные моменты ядер поведением неспаренногонуклона.В настоящей диссертационной работе рассматривается квантовая задачадвух кулоновских центров в случае мнимого параметра межцентрового расстояния - ıR и комплексно-сопряженных зарядов q1 + iq2 , q1 − iq2 , где R, q1 и5q2 – вещественные числа. Термин обобщённая в названии темы позаимствован из небесной механики и не имеет ничего общего с упоминаемыми выше обобщениями.
Благодаря высокой симметрии потенциала соответствующее уравнение Шредингера допускает разделение переменных в сплюснутыхсфероидальных координатах. Из-за того, что особенности потенциала сосредоточены на окружности, а не в точках как в проблеме (Z1 eZ2 ), появляетсябольшое разнообразие в выборе граничных условий и в постановке краевыхзадач. Специально подчеркнем еще раз, что квантовая обобщенная задачадвух кулоновских центров и в классическом пределе допускает разделениепеременных в сплюснутых сфероидальных координатах.Кроме мезоатомной физики и квантовой механики низких энергий, интерес к точно решаемым задачам с координатным разделением переменныхтрадиционно испытывает и физика элементарных частиц и физика высокихэнергий. До сих пор рассматриваются потенциальные модели мезонов и барионов, в рамках которых вычисляются спектры масс и магнитные моменты.Особое место среди них занимают потенциальные модели барионов, содержащих два тяжелых кварка.
Это связано стем, что массы тяжелых кварков mQопределяют новую энергетическую шкалу, превышающую масштаб сильныхвзаимодействий ΛQCD (в системе единиц ~ = c = 1) :MQ mq ,rQQ0 ΛQCD 1 ,ΛQCD MQ ,где mq −масса легкого кварка, а rQQ0 −расстояние между тяжелыми кварками. Таким образом, в теории появляется малый параметр, который можно использовать для применения теории возмущений [6]. Обычно, потенциальныемодели дважды тяжелых барионов формулируются в декартовых, сферических [7, 8, 9]. или гиперсферических [10, 11] координатах.
В работах [12, 13]рассматривалась модель с потенциалом двух кулоновских центров и сферически симметричным квадратичным потенциалом конфайнмента (потенциал гармонического осциллятора). Известно, что соответствующее уравнениеШредингера допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальныхкоординатах.В работе [12] Д.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
