Диссертация (1149904), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В этой работе, по существу, изучался всего лишь частный случай проблемы (Z1 eZ2 ), а именно – задача об уровнях молекулярного иона водорода(H2+ ), причем рассмотрение проводилось на основе старой боровской теории.В каноническом виде квантовая задача двух кулоновских центров была поставлена сразу после создания квантовой механики в 1926 году. Одним изпервых обратился к ее исследованию Вильсон (Wilson). В его работах 1928года [42, 43] было показано, что уравнение Шредингера, подобно уравнениюГамильтона–Якоби, допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах и введены квазирадиальные – Πmk (ξ; R) и квазиугловые – Ξmq (η; R) собственные функции, однако автор ошибочно полагал, чтоони всегда сводятся к полиномам. На это обратили внимание Тэллер (Teller)[44], Мак-Гри (McGrea) и Ньюинг (Newing) [45], но решить проблему разложения им так и не удалось.
Основной причиной всех затруднений послужилото, что Πmk (ξ; R) и Ξmq (η; R) относятся к спецфункциям из класса Гойна, следующего по уровню сложности за классом гипергеометрических функций.Первый удачный щаг в решении проблемы разложения был сделан лишьв 1933 году Георгом Яффе (G. Jaffe) [46]. В этой работе он выписал – следуя рекомендации В. Паули и Ф. Хунда точные условия для разложениясобственных функций и схему расчета термов молекулярного иона водорода(H2+ ). В 1935 году Бабер (Baber) и Хассе (Hasse) [47] обобщили результатыЯффе на произвольные заряды Z1 и Z2 , а также предложили новые типыразложений для собственных функций.
Поскольку в дальнейшем изложениидиссертации идеи Яффе будут играть принципиальную роль остановимся наних подробнее.17Краевая задача для Πmk (ξ; R) ставится следующим образом:2d 2dm(ξ − 1) Πmk (ξ; R) + λ + p2 (ξ 2 − 1) − aξ + 2Πmk (ξ; R) = 0 , (1.2)dξdξξ −1|Πmk (1; R)| < ∞,|Πmk (ξ; R)| −−−→ 0,ξ→∞ξ ∈ [1, ∞) .(1.3)Основная идея Яффе состояла в том, чтобы переставить особые точки последующей схеме:ξ 7→ t− 1 7→ ∞,+1 7→ 0,∞ 7→ +1 .с помощью замены переменной t = (ξ − 1)/(ξ + 1).
Тогда интервал на котором разыскиваются собственные функции преобразуется в единичный: ξ ∈[1; ∞) → t ∈ [0; 1), а регулярная особая точка -1 уйдет на бесконечность ипоэтому не будет влиять на сходимость разложения:s∞Xξ−1m/2,(1.4)Πmk (ξ, R) = e−pξ ξ 2 − 1(ξ + 1)σgsξ+1s=1где σ = a/2p−(m+1). Подстановка (1.4) в (1.2) показывает, что коэффициенты gs связаны друг с другом трёхчленными рекуррентными соотношениями:αs gs+1 − βs gs + γs gs−1 = 0 ,(1.5)αs = (s + 1)(s + m + 1) ,βs = 2s2 + (2s + m + 1)(2p − σ) − a − m(m + 1) + λ == 2s(s + 2p − σ) − (m + σ)(m + 1) − 2pσ + λ ,γs = (s − 1 − σ)(s − m − 1 − σ) .(1.6)гдеСобственные значения краевой задачи (1.2)-(1.3) находятся из условия обращения в нуль цепной дробиF (p, a, λ) = β0 −α0 γ1.
. . = 0.α1 γ2β1 −β2 −(1.7)Из соотношения 2 αs−1 γs 14pp −−−→ βs−1 βs s→∞ 4 1 − s + O s2следует, что цепная дробь сходится для всех p > 0. Отношение коэффициен18товrpgs+1p−−−→ 1 − 2+O,gs s→∞ssв свою очередь, указывает на сходимость разложения (1.4) во всей областиопределения t ∈ [0; 1) или ξ ∈ [1; ∞).К настоящему времени стали известны еще несколько типов разложениядля Πmk (ξ, R) и Ξmq (η, R): [48], [49, 50, 51, 52] и другие, но в практическихрасчетах все же наиболее часто используются разложения [46] и [47]. Справедливость этого утверждения следует хотя бы из того, что эти разложенияиногда в литературе упоминаются как стандартные.Здесь уместно подчеркнуть, что первые детальные расчеты термов и волновых функций в проблеме (Z1 eZ2 ) начались лишь спустя двадцать лет послеработ [46] и [47], то есть только с появлением первых компьютеров.
В этомпроявилась специфика этой задачи: несмотря на то, что одномерные спектральные задачи были сведены к алгебраическим типа (1.7), объем вычислений остался довольно значительным.Пионерской работой в этом направлении можно считать статью [53] Бейтсаи др.(Bates, Darling, Have, Stewart) опубликованную в 1953 году, где рассчитывались состояния молекулярного иона водорода – H2+ . Задачу (Z1 eZ2 ) приZ1 6= Z2 впервые рассмотрели Бейтс (Bates) и Карсон (Carson) в 1956 году[54].
В этой статье были приведены результаты расчетов для пяти низшихсостояний HHe++ (Z1 = 1, Z2 = 2). В работах наших отечественных ученыхЛ. И. Пономарева и Т. П. Пузыниной [55, 56, 57] (1968), [58] (1970) былапредложена усовершенствованная версия этого алгоритма, позволившая вычислить термы системы (Z1 eZ2 ) при Z1 = 1, Z2 = 3, 4, 5, 6, 7, 8. В дальнейшем,алгоритм вычисления термов и волновых функций задачи (Z1 eZ2 ) для произвольных Z1 и Z2 неоднократно усовершенствовался (см. например частоупоминаемую работу Н. Ф. Трусковой [59]).Л.
И. Пономарев и Т. П. Пузынина впервые обнаружили интересный эффект квазипересечения или псевдопересечения термов, который проявляетсяв том, что в некоторой малой окрестности R = R0 1, термы и константыразделения, соответствующие различным наборам квантовых чисел одновременно начинают сближаться. Во многих проблемах атомной физики, например, в задаче о несимметричной перезарядке типа pµ− + Z −→ Zµ− + p,именно эти квазипересечения определяют ход процессов [60].
Теоретическому рассмотрению этого явления, интерпретируемого как конфигурационноевзаимодействие термов была посвящена отдельная статья Л. И. Пономарева[61] (1968).Вообще говоря, исследование термов проблемы (Z1 eZ2 ) в комплекснойплоскости R оказало значительное влияние на развитие теории столкновений.19Выше уже отмечался этот факт, а теперь остановимся на этом более подробно. Из общей теории [74] известно, что неадиабатические переходы междудвумя термами E1 (R) и E2 (R) связаны с наличием у них общей комплекснойточки ветвления Rc , в окрестности которой разность ∆E(R) = E1 (R)−E2 (R)имеет вид:∆E(R) = const(R − Rc )1/2 .(1.8)Точки ветвления расположены в комплексной плоскости R парами Rc , Rc∗ ипри однократном обходе каждой такой точки термы переходят друг в друга.Иными словами эти термы представляют собой разные листы одной аналитической функции.
Связанная с точкой ветвления вероятность перехода междутермами E1 и E2 определяется параметром Мессиt(R)Z c(1.9)∆E(R(t))vdt .∆ = Im Re t(Rc )и равна2∆,(1.10)q = exp −vгде v−начальная скорость сталкивающихся частиц. Если v 1a.e., а переходы происходят на больших межъядерных расстояниях R = R0 1,то как правило, квазипересечения получаются узкими и четко выраженными. В этом случае параметр Месси удается выразить с помощью моделиЛандау-Зинера через характеристики термов на вещественной оси.
Однакоесли v ∼ 1a.e., то узкие квазипересения проходятся квазимолекулой диабатически и соответствующие сечения малы. Теперь основное внимание должнобыть уделено широким квазипересениям с параметром Месси ∆ ∼ 1a.e.. Дляпоиска таких квазипересечений и вычисления параметра Месси необходимпрямой численный расчет термов в комплексной плоскости R, поскольку этиквазипересечения могут быть сильно деформированы под влиянием ближайших термов.
Впервые такой расчет выполнил Е. А. Соловьев [4] в 1981 году.В качестве модели была выбрана проблема (Z1 eZ2 ), а термы получались врезультате аналитического продолжения с вещественной положительной полуоси R. В дальнейшем эта работа была продолжена совместно с С. Ю. Овчинниковым [62] и Т. П.
Гроздановым [63] (см. также [64]). Результаты исследований показали, что квантовая задача двух кулоновских центров позволяетне только обнаружить различные типы скрытых квазипересечений и понятьмеханизм их возникновения, но и получить приближенные выражения, связывающие параметры квазипересения с характеристиками квазимолекулы иеё квантовыми числами.20В заключении этого пункта сделаем некоторые замечания библиографического характера.
Спецфункции из класса Гойна или решения уравнения Гойнаактивно изучаются на протяжении более ста лет, с момента первой публикации статьи Карла Гойна (H. Heun) [65] в 1889 году. Результаты исследованийсобраны в целом ряде монографий. Укажем на некоторые из них. Первыйпионерский период нашел свое отражение в книге Стретта [66](1935)). Наследующий период заметное влияние оказало появление первых компьютеров. В замечательной монографии Йозефа Мейкснера (Meixner)и ФридрихаВильгельма Шафке (Schafke) [67, 68] были использованы точные методы дляполучения аналитических результатов, которые позволили в свое время развить схемы аппроксимации и получить численные результаты с умереннымиусилиями.
Вообще говоря, монография [67, 68] содержит самое полное и математически обоснованное изложение свойств сфероидальных функций и досих пор считается классической. Отдельные вопросы, связанные со сфероидальными функциями очень хорошо изложены в переводных книгах Морса иФешбаха [69](1958), К. Фламмера [70](1962), Бейтмена и Эрдейи [71] (1967).В монографии И. В. Комарова, Л. И. Пономарева и С. Ю. Славянова [2](1976) впервые последовательно определяются кулоновские сфероидальныефункции как решения квантовой задачи двух кулоновских центров и впервые подробно изложены алгоритмы их вычислений – вплоть до деталей реализации на компьютере. В книгу включен также краткий обзор физическихприложений и достаточно полный на тот момент список литературы по данной тематике.
Полная классификация уравнений класса Гойна, основаннаяна числе и s−рангах особых точек впервые была дана в сборнике «Дифференциальные уравнения Гойна» под ред. А. Ронво [72] (1995). В сравнительнонедавно вышедшей книге С. Ю. Славянова и Вольфганга Лая «Специальныефункции: Единая теория, основанная на анализе особенностей» [73] (2002)представлен подход к теории спецфункций из класса Гойна как к областизнаний, лежащей на пересечении математики, физики и компьютерных технологий.211.2.Потенциал и его свойстваПроизведем в потенциале двух кулоновских центров подстановкуR → iR, Z1 → q1 + iq2 , Z2 → q1 − iq2 , где q1 , q2 , R – вещественныепараметры, а i2 = −1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
