Диссертация (1149904), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда получим новый эрмитовский операторVb = sq1 + iq2q1 − iq2s+22 ,RRx2 + y 2 + z − ix2 + y 2 + z + i22(1.11)который будем называть потенциалом обобщенной задачи двух кулоновскихцентров. Поскольку q1 и q2 входят в выражение (1.11) линейно, то естественно представить его в виде суммыVb = Vb1 (x, y, z; q1 , R) + Vb2 (x, y, z; q2 , R).Заметим, что при этом каждое слагаемое будет обладать следующими типамисимметрии:• симметрией относительно поворотов вокруг оси z на произвольный угол,• симметрией (антисимметрией) относительно отражений в плоскости xy :(x, y, z) 7→ (x, y, −z),• симметрией (антисимметрией) относительно инверсии:(x, y, z) 7→ (−x, −y, −z),• скейлингомx, y, z, R, q1 , q2 7→ λx, λy, λz, λR, λq1 , λq2λ ∈ (R)\0.Третье свойство является просто следствием первых двух, а вот последнееуже менее тривиально.
Оно указывает на то, что в квантовой обобщеннойзадаче двух кулоновских центров имеется только два параметра: R и отношение q1 /q2 или q2 /q1 .Для того, чтобы сделать эти утверждения более наглядными, ниже помещены рисунки, на которых изображены карты эквипотенциальных поверхностей (на Рис. 1 для потенциала V1 , а на Рис. 2 для V2 ). Поскольку имеетместо осевая симметрия, то удобно использовать проекцию на оси ρ и z вцилиндрической системе координат (ρ, z, ϕ).Теперь обратим внимание на то, что выражение (1.11) определяет двузначную аналитическую функцию, особенности которой сосредоточены на220-2-4-6-1.5-1.5-0.5-0.5ρ0.5ρРис. 1 Карта эквипотенциальных поверхностей и линии уровня V1 при q1 = 1 , R = 1 .Ось z является осью симметрии V1 .23ρρРис.
2 Карта эквипотенциальных поверхностей и линии уровня V2 при q2 = 1 , R = 1 .Ось z является осью симметрии V2 .24z0zR/2yR/2R/2a)xzz0R/2yρ0R/2R/2xρ0b)pРис. 3 Связь разрезов в комплексной плоскости t : Re(t) = ρ , Im(t) = z , гдеρ = x2 + y 2 с перегородками в обычном пространстве.25окружности C : x2 + y 2 = R2 /4, z = 0, а не в точках z1,2 = ±R/2, как былов проблеме (Z1 eZ2 ). Таким образом, потенциал V уже не допускает простойэлектростатической интерпретации.Выход из этого затруднения состоит в следующем.
Представимp V какфункцию комплексного переменного t : Re t = ρ , Im t = z , где ρ = x2 + y 2q1 − ıq2q1 + ıq2+q.V =qt − ı R2t + ı R2(1.12)Тогда проводя разрезы на плоскости t способом a) или b), как показано наРис. 3, можно выделить в (1.12) регулярные ветви (листы).
В принципе, форма разреза может быть достаточно произвольной. Важно лишь то, что онохватывает точки ветвления t1,2 = ±ıR/2, или точки ветвления и бесконечно удаленную точку. Однако требование разделения переменных, как будетпоказано ниже, оставляет только способ a) или b).Другая возможность рассматривать (1.12) как функцию в обычном смыслеслова состоит в том, чтобы связать с V риманову поверхность.Проведение разрезов на комплексной t−плоскости эквивалентно тому, чтов обычном пространстве появляются следующие перегородки – это круг C1 :x2 + y 2 6 R2 /4, z = 0 – разрез проведенный способом a); внешность кругаC2 : x2 + y 2 >SR2 /4, z = 0 – разрез проведенный способом b) или ихобъединение C1 C2 , т. е. вся плоскость xy.Если расположить ветви (1.11) относительно верхней и нижней сторон перегородки симметрично: V+ = V− , то получится аналог потенциала простогослоя; когда ветви располагаются антисимметрично: V+ = −V− , то аналог потенциала двойного слоя.Теперь договоримся о терминологии: в дальнейшем спектральную задачу на расширенном пространстве будем называть двулистной, а в обычномпространстве с перегородкой – однолистной.1.3.Разделение переменных и постановка краевых задачВ работе [75] показано, что уравнение Шредингера∆Ψ + 2 (E − V ) Ψ = 0(1.13)с потенциалом (1.11) допускает разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах (ξ, η, ϕ).
Связь этих координат с декартовыми даетсяследующими соотношениями:Rp 2RRp 222x=(ξ + 1)(1 − η ) cos ϕ , y =(ξ + 1)(1 − η ) sin ϕ , z = ξη , (1.14)22226причем область изменения переменных D традиционно выбирается двумяальтернативными способами (см., например, [2]):a) ξ ∈ [0, ∞),η ∈ [−1, 1],ϕ ∈ [0, 2π);(1.15)ϕ ∈ [0, 2π) .(1.16)b) ξ ∈ (−∞, ∞), η ∈ [0, 1],Заметим, что случаи (1.15) и (1.16) относятся к однолистной задаче, так как(1.14) устанавливает взаимно однозначное отображение (биекцию)f : D → R3 .Если мы перейдем к рассмотрению двулистной задачи, то область изменения переменных D̃ следует выбрать так:c) ξ ∈ (−∞, ∞),η ∈ [−1, 1],ϕ ∈ [0, 2π) .(1.17)Тогда отображение f : D̃ → R3 будет однозначным, а обратноеf −1 : R3 → D̃ – двузначным.Известно [2], что потенциалы, допускающие разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах, должны представляются в форме:2 a(ξ) − b(η)c(ϕ)V =− 2+.2222Rξ +η(ξ + 1)(1 − η )Произведем замену переменных в (1.11) согласно (1.14) и вспомним, что потенциал обобщенной задачи двух кулоновских центров можно сконструировать различным образом.
Простой анализ показывает, что существуют всегодевять вариантов таких конструкций, допускающих разделение переменных,причем наиболее физически содержательными являются три из них:4(q1 ξ + q2 η),22R(ξ + η )(1.18)4(q1 ξ + q2 η · sign(η)),22R(ξ + η )(1.19)4(q1 ξ · sign(η) + q2 η),V =−R(ξ 2 + η 2 )(1.20)V =−V =−Вариант (1.18) относится к двулистной задаче с областью изменения переменных D̃, а также к однолистной с областью D в соответствии с (1.15) или(1.16). Когда область D выбирается способом (1.15), то в качестве непроницаемой перегородки должен использоваться круг C1 . Тогда V1 интерпретируется как аналог потенциала простого слоя, а V2 потенциала двойного слоя. Еслиобласть D выбирается способом (1.16), то перегородкой должна быть внешность круга C2 . Тогда V1 имеет смысл аналога потенциала двойного слоя, а27V2 – аналога потенциала простого слоя.
Варианты (1.19) и (1.20) являютсяпроизводными от (1.18) и относятся к однолистным задачам, когда V1 и V2являются аналогами потенциала простого слоя. В случае (1.19) область Dвыбирается способом (1.15), а в случае (1.20) – способом (1.16).Следует отметить, что если мы рассматриваем квантовую обобщенную задачу двух кулоновских центров в полупространстве, то перегородкой должнабыть плоскость xy. Область D выбирается следующим образом:d) ξ ∈ [0, ∞),η ∈ [0, 1],ϕ ∈ [0, 2π) ,при этом различия между (1.18), (1.19), (1.20) исчезают. Проследим разделение переменных и постановку краевых задач на примере (1.18), посколькуэтот вариант является основным.Представим волновую функцию Ψj , отвечающую терму Ej (R), в видеΨj = Ψkqm (ξ, η, ϕ; R) = Nkqm (R)Xmk (ξ; R)Ymq (η; R)eimϕ ,(1.21)где мультииндекс j = {kqm} обозначает набор квантовых чисел, из которыхk и q совпадают с числами нулей соответствующих функций по переменным ξи η, а число m принимает значения 0, ±1, ±2, .
. . . Нормировочная константаNkqm (R) определяется из условияZ(1.22)Ψ∗kqm (ξ, η, ϕ; R)Ψk0 q0 m0 (ξ, η, ϕ; R)dV = δkk0 δqq0 δmm0 ,V3где dV = R8 (ξ 2 + η 2 )dξdηdϕ – элемент объема в сплюснутых сфероидальныхкоординатах. После подстановки (1.18) и (1.21) в (1.13) получаем системуобыкновенных дифференциальных уравнений2d 2dm(ξ +1) Xmk (ξ; R)− λ + p2 (ξ 2 + 1) − aξ − 2Xmk (ξ; R) = 0 , (1.23)dξdξξ +12dde + p2 (1 − η 2 ) + bη − m(1 − η 2 ) Ymq (η; R)+ λYmq (η; R) = 0 . (1.24)2dηdη1−ηEj R 2Здесь = −(p > 0), a = 2q1 R, b = −2q2 R, причем p имеет смысл2(ξ)энергетического параметра, a и b – зарядовых параметров, а λ = λmk (p, a) иe = λ(η)λmq (p, b) являются константами разделения.Уравнения (1.23) и (1.24), дополненные граничными условиями, образуют краевые задачи, которые должны решаться совместно, и энергетическийp2j28спектр находится из уравнения(ξ)λmk (p, a) = λ(η)mq (p, b) .(1.25)Из общей теории дифференциальных уравнений второго порядка следует,(η)(ξ)что собственные значения λmk (p, a) и λmq (p, b) для соответствующих краевыхзадач обладают свойствами монотонности и невырожденности, поэтому еслирешение уравнения (1.25) существует, то оно единственно.Теперь обсудим постановку краевых задач.
С одной стороны, из самыхобщих требований, предъявляемых к волновой функции, следует, что(ξ)(η)(ϕ)3Ψj ∈ L2 R ⊂ L2 (R) ∪ L2 ([−1, 1]) ∪ L2 ([0, 2π)) .(1.26)С другой стороны, в область пространства где потенциал обращается в бесконечность, частица вообще не может проникнуть, то есть в этой областидолжно быть везде Ψj = 0. Непрерывность Ψj требует, чтобы на границеэтой области Ψj обращалось в нуль; производная от Ψj в таком случае испытывает, вообще говоря, скачёк [74]. Таким образом, в однолистной задаче скругом C1 в качестве перегородки для волновой функции имеем:Ψ+ |C1 = Ψ− |C1 = 0 .(1.27)Нормальная производная должна испытывать скачёк∂Ψ ∂Ψ −= g(η; q1 , q2 , R) ,∂n+ C1 ∂n− C1(1.28)где g(η; q1 , q2 , R) – некоторая гладкая функция от η и параметров q1 , q2 и R.Из условий (1.26) и (1.27) получаем граничные условия для квазирадиальнойфункцииXmk (0; R) = 0, |Xmk (ξ; R)| −−−→ 0 .(1.29)ξ→∞В квазиугловом уравнении (1.24) граничные точки являются одновременно иособыми, поэтому, чтобы удовлетворить условию (1.26), следует потребоватьограниченности в них самой функции:|Ymq (±1; R)| < ∞ .(1.30)Если (1.29) и (1.30) выполнены, то (1.27) также имеет место, а условие (1.28)выполняется автоматически.В однолистной задаче с перегородкой C2 на волновую функцию необходимо наложить условие:Ψ+ |C2 = Ψ− |C2 = 0 .(1.31)29Для нормальной производной получим∂Ψ ∂Ψ −= h(η; q1 , q2 , R) ,∂n+ C2 ∂n− C2где h(η; q1 , q2 , R) – некоторая гладкая функция от η и параметров q1 , q2 и R.Из (1.31) следуют граничные условия для квазирадиальной и квазиугловойфункций:|Xmk (ξ; R)| −−−−→ 0,ξ→±∞Ymq (0; R) = 0,|Ymq (+1; R)| < ∞ .(1.32)В двулистной задаче никакие перегородки не появляются, но есть окружность , на которой потенциал сингулярен, следовательно, должно выполняться условие:Ψ|C = Ψ(0, 0, ϕ; R) = 0 ,(1.33)находящееся в противоречии с представлением (1.21).
Действительно, еслисправедливо (1.21) и (1.33), то имеем альтернативу:1) Xmk (0; R) = 0, или Ymq (0; R) = 0;2) Xmk (0; R) = 0 и Ymq (0; R) = 0 одновременно,что, вообще говоря, не следует ни из каких физических соображений. Особенно остро это противоречие встает, когда мы рассматривается основноесостояние.Очевидно, что тогда ни 1), ни 2) не выполняется. Выход из этого положения состоит в выделении множителяΨj = N kqm (R)(ξ 2 + η 2 )X mk (ξ; R)Y mq (η; R)eimϕ .(1.34)Здесь верхнее подчеркивание означает, что имеем дело с одномерными функциями двулистной задачи, которые, хотя и удовлетворяют уравнениям (1.23)и (1.24), но по существу отличаются от соответствующих функций однолистной задачи.Граничные условия в двулистной задаче ставятся следующим образом:|X mk (ξ; R)| −−−−→ 0,ξ→±∞|Y mq (±1; R)| < ∞ ,(1.35)поскольку теперь граничные точки являются особыми.В заключение этого пункта заметим, что выделение множителя в (1.34)хотя и не меняет структуру уравнений (1.23) и (1.24), но может повлиять насходимость разложений ряда для одномерных функций.301.4.Полный набор коммутирующих операторовМетод разделения переменных непосредственно связан с отысканием полных наборов интегралов движения, точнее, полных наборов операторов симметрии, являющихся интегралами движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
