Диссертация (1149904), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Вместе с тем, известно [76],что если уравнение Шредингера или его классический аналог – уравнениеГамильтона–Якоби допускает полное разделение переменных в некоторой системе координат, то соответствующая группа симметрии имеет вид прямогопроизведения двумерных групп вращения: SO2 ⊗SO2 ⊗SO2 , по одной группеSO2 на каждую степень свободы. Следует подчеркнуть, что такая симметрияне сводится к чисто геометрической, так как SO2 описывает вращения не вконфигурационном, а в фазовом пространстве.Связь высокой симметрии гамильтониана с разделением переменных длязадачи (Z1 eZ2 ) впервые была установлена в работе [77].

Тогда же был построен полный набор попарно коммутирующих операторов, которые являются генераторами группы симметрии. Очевидно, что в квантовой обобщенной задаче двух кулоновских центров существует аналогичный набор. Онb и оператора проекции моментавключает в себя, помимо гамильтониана – Hbz = −i ∂ , оператор константы разделения Λ.b Явныйимпульса на ось z − L∂ϕb находим по следующему рецепту: уравнение (1.23) умножим справа навид Λ(1 − η 2 )Ymq (η; R), а уравнение (1.24) – на (ξ 2 + 1)Xmk (ξ; R), затем полученныевыражения складываем и разрешаем относительно λ. Для того чтобы изба∂виться от слагаемого с m2 , воспользуемся заменой m → −i ∂ϕи вспомним,что гамильтониан содержит слагаемое со второй производной по ϕ. В итогеполучим1∂∂2 ∂222 ∂bΛ = − 2(1 − η ) (ξ + 1) + (ξ + 1) (1 − η )+(ξ + η 2 )∂ξ∂ξ∂η∂η 2(ξ + 1) (1 − η 2 ) ∂ 222−+2qRξ(1−η)−2qRη(ξ+ 1) .

(1.36)+12(1 − η 2 ) (ξ 2 + 1) ∂ϕ2bсHb иLbz следует из самого способа построения.Коммутативность ΛВ заключении этой главы добавим, что разделение переменных в квантовой обобщенной задаче будет даже в том случае, если в качестве непроницаемой перегородки выбрать любую координатную поверхность ξ = const илиη = const . Такая постановка задачи, а также случаи с полунепроницаемойперегородкой в настоящей работе не рассматриваются.Основные результаты этой главы изложены в работах [75, 78, 79].31Глава 2. Решение краевых задачПрежде всего одно общее замечание.Если ввести комплексную независимуюпеременную z, таким образом: z = η + ıξ,то есть Re z = η, Im z = ξ, то становится очевидно, что вместо двух различных уравнений (1.23) и (1.24) мы имеемдело с одним кулоновским сфероидальным уравнением, которое рассматривается на разных интервалах. Краевая задача для квазиуглового уравнения ставится на вещественной оси для z ∈ [0, 1] илиz ∈ [−1, +1].

Краевая задача для квазирадиального уравнения ставится на мнимойоси или положительной мнимой полуоси. Рис. 4 Конфигурация области изменеВ этом случае особые точки z1,2 = ±1 на- нияходятся «сбоку» от интервала на котором переменной и особых точек дляуравнений (2.1) и (2.7)будут разыскиваться собственные функции.

На Рис. 4 проиллюстрирована возникшая ситуация: штриховкой обозначены области определения собственных функций в нашей задаче и для сравнения в аналогичной для проблемы (Z1 eZ2 ). Краевые задачи с такой конфигурацией особых точек при дополнительном условии квадратичной интегрируемости собственной функции ранее никогда не рассматривались (см. [67],[68], [70] или сравнительно недавно вышедшую [73]), поэтому начнем именнос этого случая.2.1.Краевая задача для квазирадиального уравнения на всей оси.Обобщенное разложение ЯффеРассмотрим однородную краевую задачу:2dmd 2(ξ + 1) Xmk (ξ; R) − λ + p2 (ξ 2 + 1) − aξ − 2Xmk (ξ; R) = 0 , (2.1)dξdξξ +1|Xmk (ξ; R)| −−−−→ 0,ξ→±∞ξ ∈ (−∞, ∞) .(2.2)Дополнительно потребуем выполнения условия Xmk (ξ; R) ∈ L2 (R) .

Здесьдля упрощения обозначений опущена черта над собственной функцией. Об32судим специфику этой задачи. Легко видеть, что (2.1), по существу, это кулоновское сфероидальное уравнение на мнимой оси z : ξ = Im z. Оно имеет триособые точки: ξ1 = +ı, ξ2 = −ı и ξ3 = ∞, причем ξ1 и ξ2 – регулярные, а ξ3– иррегулярная. Очевидно, что ни ξ1 , ни ξ2 не совпадают с границей областиопределения Xmk (ξ; R), а находятся «сбоку» от нее. В проблеме (Z1 eZ2 ) рассматривалась аналогичная краевая задача для квазирадиального уравнения(см., например [2, 46]).

Тогда кулоновское сфероидальное уравнение решалосьна луче z ∈ [+1; ∞), и для разложения собственной функции использовалосьстандартное преобразование Яффе. В краевой задаче (2.1), (2.2) конфигурация особых точек и области определения собственной функции создает проблему круга сходимости и потому использование преобразования Яффе дляпоиска разложения Xmk (ξ; R) невозможно.Нужно искать обобщенное преобразование, включающее в себя стандартное как частный случай. Прежде всего, приведем уравнение (2.1) к нормальной форме, чтобы сделать некоторые утверждения более наглядными.

Дляэтого воспользуемся подстановкойemk (ξ; R)XXmk (ξ; R) = p.2ξ +1Тогда краевая задача (2.1)–(2.2) примет вид:22d e(aξ − λ) (m − 1) e2X(ξ;R)+−p++ 2Xmk (ξ; R) = 0 ,mk222dξ(ξ + 1) (ξ + 1)emk (ξ; R)| −−−−→ 0,|Xξ→±∞ξ ∈ (−∞, ∞) .(2.3)(2.4)Теперь (2.3) можно интерпретировать как одномерное уравнение Шрединemk (ξ; R) в подбарьернойгера. Отсюда следует, что собственные функции Xобласти, в частности при ξ → ±∞, должны не просто стремиться к нулю, аэкспоненциально затухать. Учтем это поведение с помощью множителя√2emk (ξ; R) = e−p ξ +1 Fmk (ξ; R) .X(2.5)Для функции Fmk (ξ; R) получаем уравнениеpd2d2(ξ + 1) 2 Fmk (ξ; R) − 2pξ ξ + 1 Fmk (ξ; R)+dξdξ"#2p(m − 1)2+ −λ − p + aξ − pFmk (ξ; R) = 0 .+ 22(ξ+1)ξ +12(2.6)emk (ξ; R) при ξ → ±∞ определяетсяКонечно, асимптотическое поведение X33не только экспоненциальным множителем, так как квазипотенциал содержитлинейное по ξ слагаемое - aξ, которое нарушает симметрию уравнения (2.6)относительно ξ = 0.

Как показали детальные исследования, наличие этогослагаемого приводит к тому, что асимптотика Fmk (ξ; R) устроена следующимобразом:pFmk (ξ; R) ∼ (ξ + ξ 2 + 1)a/2p при ξ → +∞ ,pFmk (ξ; R) ∼ (ξ − ξ 2 + 1)a/2p при ξ → −∞ .Обратим внимание также на то, что выделение экспоненты испортило характер особых точек ξ1 и ξ2 . Если в уравнениях (2.1) и (2.3) они были регулярными, то уже в (2.6) стали ветвящимися.

Обращаться с такими точкамитрудно и неприятно. Выход из затруднения состоит в следующем: совершимпоследовательно преобразования ξ 7→ x 7→ t, где ξ = sh x, t = th (x/2). Тогдавсе наши «старые» особые точки перейдут на единичную окружность−ı 7→ −ı , +ı 7→ +ı , −∞ 7→ −1 , +∞ 7→ +1 ,и кроме того появится «новая» на бесконечности (см. Рис.

5). Иными словами,расплатой за сохранение регулярности станет увеличение количества особыхточек с трех до пяти (раньше −∞ и +∞ воспринималась как одна точка).Рис. 5 Конфигурация области изменения переменной t и особых точек для уравнения(2.7)Краевая задача (2.3)–(2.4) трансформируется в следующую:2221t(1 − t ) t(1 − t ) d2 2 d(1 − t ) 2 Fmk (t; R) + −2pt −−Fmk (t; R)+4dt2(1 + t2 ) dt(2.7)22 2(1 − t )2at(1 − t )2+ −λ − p2 − p++(m−1)Fmk (t; R) = 0 ,2222(1 + t ) (1 − t )(1 + t )34|Fmk (±1; R)| < ∞, −1 6 t 6 +1 .(2.8)Уравнение (2.7) имеет следующие пять особых точек:t1 = +ı , t2 = −ı , t3 = −1 ,t4 = +1 ,t5 = ∞ ,причем две из них, а именно t1 и t2 – регулярные с характеристическимипоказателями ρ1,2 = ±m + 1 . Три остальные t3 , t4 и t5 будут иррегулярными.Асимптотика Fmk (t; R) в окрестности конечных иррегулярных особых точекпринимает следующий вид:a/2pa/2pp1−t2ξ− ξ +1(в окрестности t3 = −1) ,−→1+ta/2pa/2pp1+t2ξ+ ξ +1(в окрестности t4 = +1) .−→1−tБазисные мономы и их свойстваПоследовательные замены ξ 7→ x 7→ t не только изменили характер особых точек, но еще и устранили проблему круга сходимости.

Теперь можнопопытаться представить собственную функцию в виде степенного ряда.Здесь нас ожидает новое испытание - это выбор базиса. Очевидно, что нароль базисных мономов нельзя брать степенные функции tn и классическиеортогональные полиномы от t на промежутке [−1, 1] (см. [71]), так как разложению обязательно будет мешать наличие, по крайней мере, какой-то одной из особых точек t1 или t2 . Необходимо заметить, что это утверждениесправедливо в общем случае произвольных значений параметров, но для такназываемых «устранимых» особых точек имеет место исключение (см. п. 5.3).Невыгодно использовать отдельно (t − ı)n или (t + ı)n , поскольку дажев случае a = 0 не получается представление собственной функции вещественным рядом.

Преодолеть это препятствие можно только в том случае,если базисные мономы будут содержать t1 и t2 одновременно: например, если(t − ı) и (t + ı) входят в них в виде отношения или произведения. Выберемn сначалаn в качестве базисных мономов дробно-линейные функцииt−ıt+ı,и перечислим их свойства.t+ıt−ı t − ı t + ı t − ı n t + ı n==1 ⇒ = = 1,1) t+ı t−ı t + ı t − ıt−ı2t2) arg= arctg+ πk, k ∈ Z.2t+ı1−t35Теперь воспользуемся формулой (1.626) на стр.64 [80]: 2 arctg t + π, t < −1;2tarctg=2 arctg t, |t| < 1;21−t2 arctg t − π, t > +1,и представим это свойство таким образом:t−ıarg= 2 arctg t + πk,t+ık ∈ Z.3) Из свойств 1) и 2) вытекает, в частности, что базисные мономы могутбыть представлены в видеnnt−ıt+ı= eı2n arctg t ,= e−ı2n arctg tt+ıt−ıОбратим также внимание и на то, что при чётном n = 2s наборы базисныхмономов((2s )∞2s )∞t−ıt+ıиt+ıt−ıs=1s=1представляют собой ортогональный базис на промежутке [−1, +1] с весомw(t) = 1/(1+t2 ) .

При a = 0 из этих мономов можно образовать вещественныйбазис из синусов и косинусов.Разложения cобственных функцийУчтем асимптотическое поведение собственной функции Fmk (t; R) в окрестности точек t3 = −1 и t4 = +1 с помощью множителей, указанных выше ивыпишим анзац для нее в следующем виде:1) на интервале t ∈ [0, 1) :a/2p "Xn−mn−m #∞1+t(1) t − ı(2) t + ıfn+ fn, (2.9)Fmk (t; R) = A1−tt+ıt−ın=02) на интервале t ∈ (−1, 0] :a/2p "Xn−mn−m #∞1−tt−ıt+ıFmk (t; R) = Agn(1)+ gn(2), (2.10)1+tt+ıt−ın=0Если воспользоваться свойством 3) для базисных мономов, то выражения(2.9) и (2.10) можно представить в эквивалентной форме через экспоненты.Оба разложения (2.9) и (2.10) должны быть гладко сшиты в нуле, а множитель A в них является нормировочной константой. В принципе, ее можно36положить равной единице, поскольку все нормировки одномерных собственных функций включаются в общую нормировку Nj (R) волновой функцииΨj (1.21).

Характеристики

Список файлов диссертации