Диссертация (1149904), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Затем, для решения (3.26) можно выписать асимптотический анзац в форме Черри:p0−1/2eXmk (x; R) = (u (x; p))Dν ( 2p u(x; p)) ,(3.27)где Dν −функция Вебера, убывающая на бесконечности в соответствии с (3.22).Замена переменных u(x; p) и параметр ν(µ; p) раскладываются в асимптотические ряды:u(x; p) =∞Xun (x; p)n=0pn,ν(µ; p) =∞Xνn (µ; p)n=0pn.В итоге, из рекуррентной процедуры, описанной в [113] получается разложение для квазирадиальной константы разделения:(ξ)λmk (p, a)(2k + 1)25 (2k + 1)32= − p − p(2k + 1) −+m − +−8816p(8m2 − 11)(2k + 1)a2−+ 2 + O(p−2 ) ,16p4p261(3.28)и совершенно аналогично для квазиугловой:23(2q+1)5(2q+1)2λ(η)+ m2 − −+mq (p, b) = − p + p(2q + 1) −8816p(8m2 − 11)(2q + 1)b2+− 2 + O(p−2 ) ,16p4p(3.29)Сравнивая значения параметров при соответствующих степенях p в условии(η)(ξ)λmk (p, a) = λmq (p, b), находим выражения для уровней энергии22/3 (q12 + q22 )1/3 (k − q)21/3 (q12 + q22 )2/3−2++O(R).Ekqm (R) = −2/32/31/34/36(k + q + 1) R(k + q + 1) R(3.30)Обратим внимание на то, что формула (3.30) полностью совпадает с квазиклассической асимптотикой (3.11), хотя разложения (3.28) и (3.29) отличаются от своих квазиклассических аналогов (3.9) и (3.10).Основные результаты этой главы изложены в работах [75], [79].62Глава 4.
Результаты численных расчетовНапомним, что дискретный спектр проблемы (Z1 eZ2 ) состоит из бесконечной совокупности термов Ej , каждый из которых довольно сложно зависятот начальных параметров задачи Z1 , Z2 и R. Обычно, когда хотят проанализировать структуру энергетического спектра поступают следующим образом:сначала выделяют асимптотические области, где известны простые формулыописывающие Ej , а затем используя эти значения в качестве затравочныхпроводят численные расчеты. При этом, конечно, очень важно ограничитьсякаким-то разумным количеством термов, то есть, как говориться, необходимонайти представительную совокупность.Для достижения цели нашей работы будет использована точно такая жеметодика.
Однако из-за того, что в квантовой обобщенной задаче двух кулоновских центров появляется большое разнообразие в выборе граничныхусловий и соответственно в постановке краевых задач, то и поиски представительной совокупности термов будут значительно усложняться. Начнем сдвулистной задачи. Для классификации термов будем использовать помимоj = {kqm} также сферические квантовые числа водородоподобного атомаi = {N LM } в уровни которого переходит спектр при R → 0 (см.
материалв предыдущей главе). Напомним, что эти два набора связаны друг с другомсоотношениямиN = k + q + m + 1,L = q + m,M = m.Для идентификации термов на рисунках будем использовать традиционнуюспектроскопическую символику, когда числамL = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .и M = 0, 1, 2, 3, . . .сопоставляются буквенные рядыL = s, p, d, f, g, h, .
. .и M = σ, π, δ, φ, . . .Краевые задачи, которые образуют уравнения (1.23) и (1.24), дополненныеграничными условиями (1.35) решались численно с помощью методов интегрированной среды Barsic 895, а также системы компьютерной алгебрыMaple. Особое внимание было уделено решению квазирадиальной задачи с использованием разложений собственных функций в ряды (2.9)–(2.10), (2.18),(2.19) и (2.25). Результаты этих вычислений сравнивались с результатамидвух других независимых программ, где применялся метод стрельбы с методом половинного деления и квазиклассическое приближение, соответственно.634.1.(ξ)(ξ)(η)(η)Спектр собственных значений λmk = λmk (p, a) и λmq = λmq (p, b).Собственные функции квазирадиального уравнения(ξ)(ξ)На Рис.
8 представлено несколько кривых λmk = λmk (p, a) c разными kпри фиксированном m = 0. Очевидно, что с ростом величины k эти кривыеλ5003.5 3.55 3.6 3.65 3.7 3.75 3.8 3.85 3.9 3.95 4-8-9-10-11-12-13-14-15400300200m=0, k=0m=0, k=1m=0, k=2m=0.5, k=0m=0.5, k=1m=0.5, k=2m=1, k=0100012345678910 p-100-200(ξ)(ξ)Рис. 8 Константы разделения λmk = λmk (p, a) для q1 = 1, R = 10. Сплошными линиямипоказаны кривые с m = 0, k = 0, 1, 2.
Точками обозначены кривые с m = 0.5, k = 0, 1, 2.Сверху на вставке показано взаимное расположение кривых с m = 0.5 и с m = 0, m = 1.(ξ)монотонно опускаются вниз. Отдельными точками на Рис. 8 обозначены λmk ,cоответствующие случаю m = 0.5. В представленном масштабе они практически сливаются с кривыми при m = 0, поэтому сверху имеется вставка,на которой показан участок спектра c фиксированным k = 0 и разнымиm = 0, 0.5, 1. Обратим внимание на то, что кривая с m = 0.5 расположена ближе к кривой с m = 0, чем к кривой с m = 1.
Таким образом, вслучае устранимых особых точек (m = 0.5), подробно описанном в главе 5,мы имеем эффективное приближение для ситуации, когда m = 0. В принципе, это утверждение справедливо как для констант разделения, так и длясобственных функций.На Рис. 9 представлено типичное поведение констант разделения при фиксированных параметрах a, b и j = {kqm} из которого видно что уравнение(1.25) действительно имеет единственное решение p∗j = p∗kqm (a, b) = p0 .64λ100(ξ)λ mk (p,a)(η)50λ mq (p,b)p002468p10-50-100-150-200(ξ)(ξ)(η)(η)Рис.
9 Константы разделения для системы q1 = 1, q2 = 3 λmk = λmk (p, a) и λmq = λmq (p, b)для системы q1 = 1, q2 = 3 при R = 10, k = 3, q = 1, m = 0.На Рис. 10 и Рис. 11 представлены графики квазирадиальных собственныхфункций однолистной - Xmk (ξ; R) и, соответственно двухлистной - X mk (ξ; R)задачи при различных значениях параметра R. Обратим внимание на то, чтос ростом R область, на которой обе собственные функции существенно отличны от нуля начинает уменьшаться. Более того, волновая функция X mk (ξ; R)становится все более симметричной, поскольку система ведет себя подобноангармоническому осциллятору, положение равновесия которого, определяемое величинойax = ξ − 2 → 0 при R → ∞ ,2pкак это следует из формулы (3.30).
Любопытно отметить, что графики дляXmk (ξ; R) и X mk (ξ; R), представленные в работе [78] заметно отличаются отграфиков на Рис. 10 и Рис. 11. Дело в том, что в статье [78] графики собственных функций строились при одном и том же значении параметра p, аздесь приводятся графики, отвечающие значениям p? из которых вычисляются энергии термов Ej . Разумеется, величины Ej и p? при прочих равныхпараметрах - разные, поэтому и совпадения с результатами работы [78] здесьбыть не должно.651,21а0,80,60,40,2-400-2000020040060080010001200-0,21400ξ-0,4-0,6-0,8Xmk(ξ; R)Xmk(ξ; R)-11,21б0,80,60,40,2-40-200020406080-0,2100120140ξ-0,4-0,6-0,8-1Рис. 10 Квазирадиальные собственные функции для однолистной - Xmk (ξ; R) (линии) идвухлистной - X mk (ξ; R) (точки) задачи для случая q1 = 1, k = 2, m = 2. а) R = 0.1 , б)R = 1.661,21а0,80,60,40,2-40-202468-0,2ξ-0,4-0,6-0,8Xmk(ξ; R)Xmk(ξ; R)-11,21б0,80,60,40,2-1-0,8-0,6-0,4-0,2000,20,4-0,20,60,811,2ξ-0,4-0,6-0,8-1Рис.
11 Квазирадиальные собственные функции для однолистной - Xmk (ξ; R) (линии) идвухлистной - X mk (ξ; R) (точки) задачи для случая q1 = 1, k = 2, m = 2. R = 10 , б)R = 100 .674.2.Структура энергетического спектраПрежде всего сделаем несколько общих замечаний о симметрии решенийнашей задачи, которая появляется, если один из зарядов - q1 или q2 обращается в нуль. Как отмечалось выше, каждый из потенциалов V1 или V2 обладаетсимметрией относительно отражения в плоскости z = 0, но их сумма, вообщеговоря, теряет это свойство.
Если один из зарядов обращается в нуль, то исоответствующий потенциал обращается в нуль и в нашей задаче появляетсядополнительная симметрия.Пусть q1 = 0, тогда наша система является аналогом конечного диполя.Уравнение (1.23) становится сфероидальным, а его решения – собственныефункции будут обладать четностью, поэтому в нашей задаче возникает дополнительная классификация решений по квантовому числу w = (−1)k , которое является собственным значением w−оператораbотражения координатчастицы в плоскости z = 0 :wXb mk (ξ; R) = wX mk (ξ; R) = X mk (−ξ; R) .(4.1)Аналогично, если q2 = 0. то дополнительным квантовым числом будетw = (−1)q , а оператор отражения в плоскости z = 0 будет иметь вид:wYb mq (η; R) = wY mq (η; R) = Y mq (−η; R) .(4.2)Трёхмерные решения, кроме того, допускают классификацию по собственbным значениям оператора инверсии с координат частицы – I:b j (r; R) = IΨj (r; R) = Ψj (−r; R) .IΨ(4.3)Если q2 = 0, то инверсия r → −r эквивалентна заменам η → −η, ϕ → ϕ + π.Тогда I = weımπ = (−1)l , подобно тому, как это было в проблеме (Z1 eZ2 ).Следовательно, все волновые функции можно разбить на два класса: c I = 1(четные решения) и с I = −1 (нечетные решения).
Очевидно, что четностьрешений будет определяться только четностью l.Сделаем еще одно замечание. Поскольку разделенные одномерные уравнения и содержат азимутальное квантовое число m только в виде m2 , тоестественно предположить, что величина Ej (R) не должна зависеть от знакаm, то есть должно иметь место своеобразное вырождение – аналог обычногоΛ−удвоения [74].Дополнительная симметрия, описанная выше, должна проявляться не только на собственных функциях, но и на структуре энергетического спектра.Таким образом, каждый из упомянутых случаев требует отдельного рассмотрения.68Перейдем к описанию картины термов. Напомним, что зависимостьEj = Ej (R) получается в результате численного решения уравненияp∗j (2q1 R, −2q2 R)Rp=−2Ej ,2(4.4)В программе выполняющей вычисления была предусмотрена возможностьпеременного шага по R для того, чтобы детально проследить характерноеповедение термов вблизи точек экстремума.В результате вычислительных экспериментов с различными сочетаниямиq1 и q2 для q1 = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
