Диссертация (1149904), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . , 20; q2 = 1, . . . , 20, было установлено, что при R > 20все термы начинают монотонно стремиться к нулю, то есть выделяется асимптотическая область. Квазиклассика (метод ВКБ) начинает эффективно работать уже с N ∼ 3. Таким образом, представительная совокупность образуетсяиз первых десяти термов при R ∈ [0; 20]. В общей сложности было расчитанооколо 4000 кривых.
В нашей задаче есть «скейлинг», поэтому все полученныерезультаты легко распространяются на весьма широкую область измененияq1 , q2 и R.На Рис. 12 представлены термы системы q1 = 0, q2 = 1. Это аналог конечного диполя. Очевидно, что термы выходят в сплошной спектр и начинаютсгущаться у его границы. Заметим, что точно такое же поведение имеют термы конечного диполя в задаче (Z1 eZ2 ) [2].На Рис. 13 представлены термы системы q1 = 1, q2 = 0. В этом случаевсе связанные состояния начинаются с R = 0. Кроме того, терм основногосостояния представляется монотонно растущей функцией.
Любопытно отметить, что и в более общей ситуации, когда q1 > q2 это утверждение остаетсясправедливым. Пограничный случай q1 = 1, q2 = 1 представлен на Рис. 14.Вообще говоря, картина термов существенно отличается если q1 < q2и когда q1 > q2 . Особенно наглядным это утверждение становится когдавыбираются две системы отличающиеся перестановкой q1 ↔ q2 , напримерq1 = 2, q2 = 3 на Рис. 15 и q1 = 3, q2 = 2 на Рис. 16. В случае q1 < q2 всетермы системы имеют локальные минимумы при разных R. Такую ситуацию можно наблюдать для q1 = 1, q2 = 3 на Рис. 17, Рис. 18, Рис.
19, дляq1 = 1, q2 = 5 на Рис. 20, для q1 = 1, q2 = 7 на Рис. 22 и для q1 = 1, q2 = 9на Рис. 23. В случае q1 > q2 часть термов системы монотонно возрастает,остальные имеют локальные минимумы при разных R.Можно сделать эти утверждения более наглядными, если положить q1 = 1,а q2 непрерывной переменной. Тогда можно построить энергетические поверхности Ekqm = Ekqm (q2 /q1 , R).
Для основного и трех возбужденных состоянийтакие поверхности и карты их уровней представлены на Рис. 24 – Рис. 27.69Очевидно, что при q2 > q1 все представленные поверхности имеют четковыраженный «овраг», глубина которого увеличивается с ростом q2 .Любопытно отметить, что карты уровней на Рис. 24 – Рис. 27 можно отобразить одну на другую с помощью масштабирования или скейлинга (растяжением и сжатием по обоим осям).
Другими словами, существует диффеоморфизмлюбых двух карт уровней из представленных Рис. 24 – Рис. 27.В качестве рабочей гипотезы можно предположить, что в задаче (Z1 eZ2 ) свещественным R также имеет место диффеоморфизм между любыми двумякартами уровней энергетических поверхностей, причем этот диффеоморфизмреализуется с помощью простых зависимостей. Поскольку проблема (Z1 eZ2 )играет фундаментальную роль в теории атомных столкновений, то проверкаэтой гипотезы могла бы оказаться очень важной для решения самых разнообразных прикладных задач.На Рис. 17 кроме первых десяти термов двулистной задачи на отдельнойвставке помещены первые четыре терма однолистной и двулистной задачи.Очевидно, что термы однолистной задачи повторяют форму двулистной, нопри этом они несколько приподняты.
Такое поведение спектра однолистнойзадачи является следствием того, что ее фазовый объем меньше фазовогообъема двулистной задачи.Вообще говоря, на основании проведенных численных расчетов можносформулировать правило заполнения спектра: среди всей совокупности термов с фиксированным значением величины k + q + m ниже всех расположен(принимает наименьшее значение) терм, соответствующий наибольшему значению азимутального квантового числа m. Это правило частично подтверждается асимптотическими формулами (3.19) и (3.30) и Рис. 21, где показанокак вырождается основное состояние.Особого рассмотрения требует вопрос о квазипересечениях термов. Такоеявление неоднократно обсуждалось для задачи (Z1 eZ2 ) [2, 61]. Известно, чтопричина их появления заключается в специфическом обменном взаимодействии, которое возникает при некоторых значениях параметров в гамильтониане (классический аналог – параметрический резонанс). Если перейти вкомплекснную плоскость R, то в некоторой окрестности точки квазипересечения Rc обнаружится точка ветвления терма – R0 .
В малой окрестности R0энергетическая поверхность имеет вид штопора. При однократном обходе R0термы E1 (R) и E2 (R) переходят друг в друга, то есть являются разными листами одной аналитической функции. В работах Е. А. Соловьева [4, 62, 63]были обнаружены точки ветвления вблизи мнимой оси R, поэтому можноожидать появления квазипересечений в спектре нашей задачи.Основные результаты этой главы изложены в работах [78, 79].70Рис. 12 Термы двулистной задачи для системы q1 = 0, q2 = 1 (аналог конечного диполя).Первые десять термов двулистной задачи при N = 1, N = 2, N = 3. Пунктирной линиейобозначена граница сплошного спектра.71Рис.
13 Термы двулистной задачи для системы q1 = 1, q2 = 0. Первые десять термовдвулистной задачи при N = 1, N = 2, N = 3. Пунктирной линией обозначена границасплошного спектра.72Рис. 14 Термы двулистной задачи для системы q1 = 1, q2 = 1. Первые десять термовдвулистной задачи при N = 1, N = 2, N = 3.
Пунктирной линией обозначена границасплошного спектра.73Рис. 15 Термы двулистной задачи для системы q1 = 2, q2 = 3. Первые десять термовдвулистной задачи при N = 1, N = 2, N = 3. Пунктирной линией обозначена границасплошного спектра.74Рис. 16 Термы двулистной задачи для системы q1 = 3, q2 = 2. Первые десять термовдвулистной задачи при N = 1, N = 2, N = 3. Пунктирной линией обозначена границасплошного спектра.
Обратим внимание на то, что на рисунке термы 3pπ и 3dσ практическине различимы.75Рис. 17 Термы системы q1 = 1, q2 = 3. Первые десять термов двулистной задачи приN = 1, N = 2, N = 3. На вставке для сравнения приведены термы однолистной (точки) идвулистной (линии) задачи. Пунктирной линией обозначена граница сплошного спектра.76Рис. 18 Термы двулистной задачи для системы q1 = 1, q2 = 3 при N = 4. Пунктирнойлинией обозначена граница сплошного спектра.77Рис. 19 Термы системы q1 = 1, q2 = 3 при N = 1, N = 2 изображены сплошными линиями. Квазиклассическое приближение представлено пунктиром. Отдельными точками(спецсимволы) изображена асимптотика терма Ej (R) при R → ∞, вычисленная по формуле (3.30).78Рис.
20 Термы двулистной задачи для системы q1 = 1, q2 = 5. Первые десять термовдвулистной задачи при N = 1, N = 2, N = 3. Пунктирной линией обозначена границасплошного спектра.79Рис. 21 Термы двулистной задачи для системы q1 = 1, q2 = 5 с k = 0, q = 0 и различными m : 1sσ(m = 0), 2pπ(m = 1), 3dδ(m = 2), 4f φ(m = 3). Очевидно, что при R → ∞происходит вырождение терма основного состояния - 1sσ. Пунктирной линией обозначенаграница сплошного спектра.80Рис.
22 Термы двулистной задачи для системы q1 = 1, q2 = 7. Первые десять термовдвулистной задачи при N = 1, N = 2, N = 3. Пунктирной линией обозначена границасплошного спектра.81Рис. 23 Термы двулистной задачи для системы q1 = 1, q2 = 9. Первые десять термовдвулистной задачи при N = 1, N = 2, N = 3. Пунктирной линией обозначена границасплошного спектра.82Рис. 24 Поверхность терма основного состояния 1sσ двулистной задачи в координатахq2 /q1 и R изображена на верхнем рисунке.
На нижнем рисунке представлена карта уровнейтерма.83Рис. 25 Поверхность терма 2pπ двулистной задачи в координатах q2 /q1 и R изображенана верхнем рисунке. На нижнем рисунке представлена карта уровней этого терма.84Рис. 26 Поверхность терма 2pσ двулистной задачи в координатах q2 /q1 и R изображенана верхнем рисунке. На нижнем рисунке представлена карта уровней этого терма.85Рис. 27 Поверхность терма 2sσ двулистной задачи в координатах q2 /q1 и R изображенана верхнем рисунке. На нижнем рисунке представлена карта уровней этого терма.86Часть IIТочно решаемые квантовые модели,описывающие физические системы всфероидальных координатах87Глава 5. Общие методические замечания5.1.ВведениеВ настоящее время, в связи с прогрессом в миниатюризации электроникии разработкой различных нанотехнологий все больше внимания стало уделяться изучению и моделированию свойств низкоразмерных систем, такихкак квантовые точки, квантовые проволоки и квантовые кольца.
Как ужеотмечалось в первой части, особый интерес проявляется к точно решаемыммоделям, поскольку они позволяют глубже проникнуть в суть изучаемыхобъектов. Любопытно отметить, что даже появилась идея создавать алгоритмы качественного «управления» квантовыми системами, основу которыхсоставляют точно решаемые задачи [115, 116]. Например, предполагается, чтоудастся строить с их помощью нанообъекты с заранее заданным спектром,двигать отдельные уровни энергии, рождать и уничтожать их, менять локализацию связанных состояний.Кроме мезоатомной физики и квантовой механики низких энергий, интерес к точно решаемым задачам традиционно испытывает и физика элементарных частиц и физика высоких энергий. До сих пор рассматриваютсяпотенциальные модели мезонов и барионов, в рамках которых вычисляютсяспектры масс и магнитные моменты.В предыдущей части уже было замечено, что задачи с координатным разделением переменных среди прочих интегрируемых систем занимают особоеместо, поскольку они уникальны.
В свою очередь, среди них выделяются такие, которые допускают разделение переменных в сфероидальных координатах - вытянутых и сплюснутых [2, 69]. Заметим, что до сих пор при изученииквантовых интегрируемых систем предпочтение отдается вытянутым координатам. Об этом свидетельствует простой подсчет: вытянутые сфероидальныекоординаты использовались в сотнях работ, а сплюснутые только в единичных (см.
например [2]). Такую ситуацию отчасти можно объяснить спецификой краевых задач в сплюснутых координатах. Эта специфика связана сконфигурацией особых точек квазирадиального уравнения и области на которой разыскиваются собственные функции. Вплоть до настоящего моментане был известен последовательный способ решения таких задач.
Даже в известной работе Рейнуотера (Rainwater) [5], где удалось объяснить магнитныемоменты ядер поведением неспаренного нуклона, эта специфика искусственно устранялась. Предполагалось что нуклон находится в потенциальной ямесплюснутой формы и бесконечной глубины, то есть его волновая функцияопределялась в ограниченном пространстве.885.2.Ограничения на потенциалы для квантовых ям конечнойглубины и сфероидальной формыВытянутые сфероидальные координаты (ξ, η, ϕ) связаны с декартовымиследующим образом:Rp 2Rp 2R2x=(ξ − 1)(1 − η ) cos ϕ , y =(ξ − 1)(1 − η 2 ) sin ϕ , z = ξη ,222причем область изменения переменных определяется так:ξ ∈ [1; ∞) , η ∈ [−1; +1] , ϕ ∈ [0; 2π).Уравнение Шредингера разделяется в вытянутых сфероидальных координатах, если потенциал можно представить в форме [2]:)(2 ec(ϕ)a(ξ) + eb(η).(5.1)V =− 2+ 2Rξ 2 − η2(ξ − 1)(1 − η 2 )Сплюснутые сфероидальные координаты (ξ, η, ϕ) связаны с декартовыми следующими соотношениями:Rp 2Rp 2R2x=(ξ + 1)(1 − η ) cos ϕ , y =(ξ + 1)(1 − η 2 ) sin ϕ , z = ξη ,222область изменения переменных традиционно выбирается двумя альтернативными способами (1.14) и (1.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
