Диссертация (1149904), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При этом в качестве начального приближения можно пренебречь зависимостью эффективной массы электронаот координат, то есть предположить, что эффективная масса равна некойусредненной константе. Рассмотрим сначала модель симметричного квантового кольца с прямоугольной ямой сплюснутой сфероидальной формы (5.6).После разделения переменных в уравнении Шредингера в сплюснутых сфероидальных координатах, выбранных способом (1.15) получим две связанныемежду собой краевые задачи.
Одна из них для квазирадиального уравнения,вторая для квазиуглового. Каждая из этих задач состоит из двух частей,соответственно для внутренней и внешней области кольца.Рассмотрим сначала краевую задачу для квазирадиального уравнения:2d 2d (1)m(1)(ξ + 1) Xmk (ξ; R) − λ − p2 (ξ 2 + 1) − U0 ξ 2 − 2Xmk (ξ; R) = 0 ,dξdξξ +1(1)(1)|Xmk (0; R)| = C1 , |Xmk (ξ0 ; R)| = C2 , 0 6 ξ 6 ξ0 ,(7.13)2d 2md (2)(2)(ξ + 1) Xmk (ξ; R) − λ − p2 (ξ 2 + 1) − 2Xmk (ξ; R) = 0 ,dξdξξ +1(2)(2)|Xmk (ξ0 ; R)| = C2 , |Xmk (ξ; R)| −−−→ 0 ,ξ→∞(7.14)ξ0 6 ξ < ∞|E|j R2где C1 и C2 - это константы, а = −– энергетический параметр. На2границе, в точке ξ = ξ0 собственные функции должны быть гладко сшиты, тоесть должно выполняться равенство для самих функций и их производных:(1)(2)0(1)0(2)Xmk (ξ0 ; R) = Xmk (ξ0 ; R) , Xmk (ξ; R)= Xmk (ξ; R).p2jξ=ξ0ξ=ξ0Вся совокупность решений краевой задачи (7.13) – (7.14) представляет собоймножество Xmk (ξ; R) четных и нечетных собственных функций.
Таким образом, для поиска решений можно использовать разложения в ряды (2.18)и (2.19), полученные в первой части. В принципе, поскольку 0 6 ξ < ∞, топри a = 0 можно использовать (2.9), то есть обобщенное разложение Яффедля положительной полуоси. Кроме того, для контроля расчетов можно при108менить сочетание разложения (2.23) в случае вырожденных особых точек саналогом метода 1/N −разложеня.Совершенно аналогично рассматривается краевая задача для квазиуглового уравнения:2dmd(1)(1)e + p2 (1 − η 2 ) + U0 η 2 −(1 − η 2 ) Ymq(η; R) + λY(η; R) = 0 ,mqdηdη1 − η2(1)(1)Ymq(+η0 ; R) = ±Ymq(−η0 ; R) = C3 , −η0 6 η 6 +η0 ,(7.15)2d (2)d(2)e + p2 (1 − η 2 ) − m(1 − η 2 ) Ymq(η; R) + λYmq (η; R) = 0 ,2dηdη1−η(7.16)(2)(2)Ymq(+η0 ; R) = ±Ymq(−η0 ; R) = C3 , |Ymq (±1; R)| < ∞ , |η| ∈ [0, ∞) ,где C3 −это константа. Кроме того, решения должны быть гладко сшиты награнице кольца:(1)(2)0(1)0(2)Ymq(±η0 ; R) = Ymq(±η0 ; R) , Ymq(±η0 ; R) = Ymq(±η0 ; R) .Для решения краевых задач (7.15) – (7.16) можно использовать стандартное разложение Бабера-Хассе [47] или степенные разложения, описанные вмонографии [2].
Спектр энергий находится из условия равенства константразделенияemq (p) .λmk (p) = λОбратим внимание на то, что в потенциальной яме конечной глубины можетбыть конечное число связанных состояний или вообще ни одного, если ямамелкая [74].В принципе, описанный подход позволяет рассматривать и более сложныеконструкции, например систему из двух колец, изображенную на Рис. 34 иРис. 35. Вообще говоря, прямоугольная яма - это простейший потенциал срезким краем. Для учета влияния краевых эффектов следует перейти к болеесложным зависимостям. Например, это может быть потенциал типа ВудсаСаксона:U0 η 2U0 ξ 2 , b(η) = −a(ξ) =ξ − ξ0η − η01 + exp1 + expδδ(7.17)Если δ ξ0 и δ η0 , то влияние краевых эффектов невелико и можноиспользовать теорию возмущений.Основные результаты этой главы изложены в работе [129].1092.0η= 1ξ= 3η = 0.81.5η = 0.8ξ= 21.0η = 0.4η = 0.4ξ= 1z, a.u.0.5η= 0η= 00.0− 0.5η = -0.4η = -0.4− 1.0η = -0.8η = -0.8− 1.5η = -1− 2.0−2−1012x, a.u.Рис.
34 Поверхности ξ = const, η = const сплюснутых сфероидальных координат впроекции на (x, z)-плоскость с осью z в качестве оси симметрии. Жирной линией показанаграница системы, состоящей из двух квантовых колец.Uа01Uб-0,8 -0,42-1ξ-U00 0,4 0,8+1 η-U0Рис. 35 Профиль потенциала U (ξ, η), который наблюдается при движении по кривой:a) η = const , 0.4 6| η |6 0.8 , б) ξ = const , 1 6 ξ 6 2.110ЗаключениеВ данной работе получены следующие результаты:1. Исследована квантовая обобщенная задача двух кулоновских центров.Это новая точно решаемая потенциальная модель, в которой уравнениеШредингера разделяется в сплюснутых сфероидальных координатах.2.
Описана специфика нового класса краевых задач, в которых кулоновскоесфероидальное уравнение рассматривается на мнимой оси. Предложеныи теоретически обоснованны новые типы разложения в виде рядов длясобственных функций – решений этих краевых задач.3. Исследовано асимптотическое поведение собственных функций и термовквантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров при малых ибольших значениях межцентрового параметра с помощью квазиклассического приближения и теории возмущений.4.
Установлена структура энергетического спектра квантовой обобщеннойзадачи двух кулоновских центров.5. Рассмотрена новая точно решаемая потенциальная модель для дваждытяжелых барионов с линейно растущим потенциалом конфайнмента. Врамках этой модели были вычислены массы некоторых дважды тяжелыхбарионов и проведено сравнение, как с расчетами других авторов, так ис экспериментальными данными.6. Рассмотрена новая модель квантового кольца в виде потенциальной ямысфероидальной формы и бесконечной глубины. С помощью этой моделиудалось изучить влияние формы кольца на структуру его спектра.7. Предложен новый подход для моделирования одночастичных состоянийв квантовых кольцах с использованием сфероидальных координат.Дальнейшее развитие потенциальны моделей, рассмотренных в настоящейработе можно проводить по разным направлениям.
Модель дважды тяжелого бариона требует тонкой настройки параметров по современным экспериментальным данным и результатам решеточных КХД расчетов. Кроме того,можно попытаться описывать в ее рамках дважды тяжелые барионы с тяжелыми кварками разных ароматов. Для модели квантового кольца надоиспользовать потенциальную яму конечной глубины: сначала прямоугольную, а потом со сглаженным краем. Эффективную массу частицы при этомсначала полагаем константой, а потом зависящей от координат.111БлагодарностиАвтор выражает огромную благодарность своим научным руководителямЮрию Николаевичу Демкову и Леонтию Нахимовичу Лабзовскому за поддержку, терпение и понимание на протяжении всего долгого периода выполнения настоящей диссертационной работы. Глубочайшая признательность иблагодарность выражается своему безвременно ушедшему из жизни учителюИгорю Владимировичу Комарову за тот багаж знаний, без которого никогдане состоялась бы эта работа.
Особую благодарность хотелось бы выразитьСергею Юрьевичу Славянову, поскольку на развитии его идей основана большая часть диссертации.Благодарю своих друзей и соавторов – Алексея Владимировича Кожедубаи Владимира Александровича Руднева за многолетнее плодотворное сотрудничество и полезные дискуссии.Автор крайне признателен всем сотрудникам лаборатории физики сверхвысоких энергий, особенно Григорию Александровичу Феофилову, Владимиру Викторовичу Вечернину и Владимиру Николаевичу Коваленко за поддержку и помощь в написании диссертации. Кроме того, автор благодаритсотрудников отдела теоретической физики НИИ физики имени В.
А. Фока, преподавателей Физического факультета СПбГУ за переданные знания имноголетнее сотрудничество.112Литература1. Л. Д. Фаддеев, Новая жизнь полной интегрируемости, УФН, 183, № 5,487 – 495 (2013)2. И. В. Комаров, Л. И. Пономарeв, С. Ю.
Славянов, Сфероидальные икулоновские сфероидальные функции (Наука, Москва, 1976)3. K. Helfrich, H. Hartmann, Generalized quantum mechanical two-centreproblems, I, General theory and results for some two-centre Coulombproblems, Theoret. Chim. Acta, (Berlin) 16, 263–277 (1970)4. Е. А. Соловьев, Ионизация водородоподобного атома медленными ионами, ЖЭТФ, 81, 1681–1692 (1981)5. J. Rainwater, Nuclear energy level argument for a spheroidal nuclear model,Phys. Rev., 79, 432–434 (1950)6.
А. В. Бережной, А. К. Лиходед, Барионы с двумя тяжелыми кварками,Ядерная физика, 79, № 2, 151–156, (2016)7. S. Fleck, J. M. Richard, Baryons with Double Charm, Prog. Theor. Phys. 82,760–774, (1989)8. J. M. Richard, The nonrelativistic three-body problem for baryons, Phys.Rep., № 212, 1–76, (1992)9. A. Majethiya, B. Patel and P. C. Vinodkumar, Quark-diquark modeldescription for double charm baryons, Chinese. Phys. C, 34, 1399–1402, (2010)10. M.
M. Gianninia, E. Santopinto, A. Vassallo, Hypercentral constituent quarkmodel and isospin dependence, Eur. Phys. J. A, 12, 447–452, (2001)11. T. Yoshida, E. Hiyama, A. Hosaka, M. Oka, K. Sadato, Spectrum of heavybaryons in the quark model, Phys. Rev. D, 92, 114029 (2015),(Published 28 December 2015)12. Д. У. Матрасулов, Волновые функции и энергетические уровни уравнения Шредингера с потенциалом, являющимся суммой потенциала двухкулоновских центров и потенциала гармонического осциллятора, ТМФ,117, 3, 364—369 (1998)13. D. U.
Matrasulov, M. M. Musakhanov, T. Morii, Spectra of doubly heavyquark baryons, Phys. Rev. C, 61, 045204 (2000)11314. M. A. Braun, R. S. Kolevatov, C. Pajares, V. V. Vechernin, Correlationsbetween multiplicities and average transverse momentum in the percolatingcolour strings approach, Eur. Phys.
J. C, 32, 535–546 (2004)15. M. A. Braun, J. Dias de Deus, A. S. Hirsch, C. Pajares, R. P. Scharenberg,B. K. Srivastava, De-Confinement and Clustering of Color Sources in NuclearCollisions, Physics Reports, 599, 1–50 (2015) arXiv:1501.01524 [nucl-th]16. Axel Lorke, Jorge M. Garcia, Ralf Blossey, Richard J. Luyken, PierreM. Petroff, Self-Organized InGaAs Quantum Rings – Fabrication andSpectroscopy, Advances in Solid State Physics, 43, 125–138, (2003)17. Jiang Wu, Zhiming M. Wang, Kyland Holmes, Euclydes Marega Jr., ZhihuaZhou, Handong Li, Yuriy I.
Mazur, Gregory J. Salamo, Laterally alignedquantum rings: From one-dimensional chains to two-dimensional arrays,Applied Physics Letters, 100, 203117, (2012) ( doi: 10.1063/1.4719519 )18. M. Winzer, M. Kleiber, N. Dix, R. Wiesendanger, Fabrication of nano-dotand nano-ring-arrays by nanosphere lithography, Appl. Phys. A., 63, 617—619, (1996)19. Hiroshi Yabu, Bottom-Up Approach to Creating Three-Dimensional NanoringArrays Composed of Au Nanoparticles, Langmuir, 29 (4), 1005—1009, (2013)( doi: 10.1021/la305028t )20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
