Диссертация (1149904), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Перейдем к системе единиц ~ = 1 , me = 1 и выберем вкачестве переменных сплюснутые сфероидальные координаты (ξ, η, ϕ) (1.14).Потребуем, чтобы бесконечная яма, представляющая квантовое кольцо,была ограничена в пространстве координатной поверхностью ξ = ξ0 вместес η = η0 . Тогда уравнение (7.2) будет допускать разделение переменных. НаРис.
29, представлен один вариант такого выбора: ξ0 = 2 , η0 = 0, 8 .Объединение ξ = 0 и η = 0 представляет собой горизонтальную подложку, над которой располагается кольцо. Для большей наглядности на Рис. 30наше квантовое кольцо представлено в изометрической проекции с вырезом.Разумеется, можно рассматривать и более сложные конструкции, образованные пересечением большего числа поверхностей, не вступая в противоречиес требованием разделения переменных, но в данной модели мы ограничимсясамым простым случаем.
Обратим внимание на то, что область изменения переменных традиционно выбирается двумя альтернативными способами. Нашей модели соответствует способ (1.15):ξ ∈ [0, ∞), η ∈ [−1, 1],ϕ ∈ [0, 2π) .Таким образом, мы зафиксировали потенциал(0 , 0 6 ξ 6 ξ0 ; 0 6 η 6 η0 ,V =∞ , ξ0 < ξ < ∞ ; −1 6 η < 0 ,100η0 < η 6 1 .(7.3)Рис. 29 Поверхности ξ = const, η = const сплюснутых сфероидальных координат впроекции на (x, z)-плоскость с осью z в качестве оси симметрии. Жирной линией показанаграница квантового кольца.Рис. 30 Изометрическая проекция квантового кольца. Сегмент удален, чтобы продемонстрировать поперечное сечение кольца.101Представим волновую функцию Ψj , отвечающую терму Ej , в видеΨj = Ψkqm (ξ, η, ϕ; R) = Nkqm (R)Xmk (ξ; R)Ymq (η; R)eimϕ ,(7.4)где мультииндекс j = {kqm} обозначает набор квантовых чисел, из которыхk и q совпадают с числами нулей соответствующих функций по переменнымξ и η, а число m принимает значения 0, ±1, ±2, .
. . . Заметим, что m в нашейзадаче, имеет смысл магнитного квантового числа. Нормировочная константаNkqm (R) определяется из соотношенияZΨ∗kqm (ξ, η, ϕ; R)Ψk0 q0 m0 (ξ, η, ϕ; R)dV = δkk0 δqq0 δmm0 ,(7.5)VR3 28 (ξгде dV =+ η 2 )dξdηdϕ – элемент объема в сплюснутых сфероидальных координатах. Подстановкой (7.4) в (7.2) получаем систему обыкновенныхдифференциальных уравнений2dmd 2(ξ + 1) Xmk (ξ; R) − λ − p2 (ξ 2 + 1) − 2Xmk (ξ; R) = 0 , (7.6)dξdξξ +12dde − p2 (1 − η 2 ) − m(1 − η 2 ) Ymq (η; R) + λYmq (η; R) = 0 .(7.7)2dηdη1−ηEj R 22Здесь pj =, причем p – энергетический параметр, а λ2(η)e = λmq (p) являются константами разделения.
Уравнения (7.6) иλ(ξ)= λmk (p) и(7.7), дополненные граничными условиями, образуют краевые задачи, которые должнырешаться совместно, а энергетический спектр находится из уравнения(ξ)λmk (p) = λ(η)mq (p) .(7.8)Поскольку в область пространства, где V = ∞ , частица вообще проникнутьне может, необходимо положить на границе этой области Ψj = 0 , откудаследуетXmk (0; R) = Xmk (ξ0 ; R) = 0 ,Ymq (0; R) = Ymq (η0 ; R) = 0 .(7.9)Заметим, что в работе J. Even и S. Loualiche [27] также изучались моделиквантовых колец в виде бесконечно глубокой потенциальной ямы. Спецификаэтих моделей состоит в следующем. Во-первых, граница ямы образуется параболоидами вращения, и соответственно, уравнение Шредингера разделяетсяв параболических координатах.
Во-вторых, при фиксированном объеме и радиусе кольца, модели J. Even и S. Loualiche не допускает варьирование других102параметров, определяющих форму ямы и тем самым не позволяет проследитьвлияние формы на структуру спектра. Кроме того, собственные функции итермы электрона в кольце на плоской подложке получаются с помощью искусственного приема: решается спектральная задача для симметричной ямывдвое большего объема, а потом из всей совокупности собственных функцийвыбираются только антисимметричные.
В следующем разделе мы покажем,что наша модель лишена указанных недостатков.7.2.Результаты численных расчетовОбъем пространства внутри кольца (7.3), где локализованы электронныесостояния будет равенπRV =43Zξ0 Zη00πR322ξ0 η 0 ξ0 + η 0 .(ξ + η )dξdη =1222(7.10)0Очевидно, что в это соотношение переменные ξ0 и η0 входят симметрично.Однако, области изменения и координатные поверхности у ξ и η разные (см.Рис. 29). Таким образом, если в (7.10) зафиксировать объем и радиус кольца,то получится уравнение, определяющее зависимость ξ0 = f (η0 ).
Другимисловами, наша модель, в отличии от [27] позволяет изучить влияние формыкольца на структуру спектра.Сделаем еще одно общее замечание о структуре спектра и форме кольца.С одной стороны, спектр энергий находится из условия (7.8), а параметрp2j ∼ Ej R2 , поэтому должен иметь место скейлингEj0 →1Ej ,2αR0 → αR .С другой стороны, из (7.10) следует, что V ∼ R3 . Таким образом, в нашеймодели можно ввести безразмерный параметр:V 1/3σ=,Rкоторый можно использовать для характеристики формы кольца. Продемонстрируем это утверждение для различных значений η0 и σ на Рис.
31.Очевидно, что выделяется несколько типов формы. При малых значениях η0и больших значениях σ поверхность кольца доминирует гиперболоид внутрикольца с почти цилиндрической части эллипсоида вне ринга. Когда η0 → 1при малых σ мы видим обратную картину: основная часть границы формируется эллипсоидом снаружи с почти цилиндрическим участком гиперболоида103Рис. 31 Форма колец для различных значений параметров η0 и σ.104внутри кольца. Для больших σ кольцо выглядит как эллипсоид с отверстием.Если оба параметра формы малы, то кольцо выглядит как одномерная структура. Покажем с помощью численных расчетов, что связь формы квантовогокольца и спектра существенная и нетривиальная.
Для этого вычислим уровни энергии, отвечающие значениям m от 0 до 30 для трёх параметров моделиη0 = 0.1 , 0.5 и 0.95 для основного состояния и нескольких возбуждений поквазирадиальному k и квазиугловому q квантовым числам.Как известно, спектр энергий одночастичных состояний в одномерномкольце должен иметь квадратичное поведение по магнитному квантовомучислу, то есть E ∝ m2 [128]. В системе единиц, где ~ 6= 1 , me 6= 1, уровниэнергии электрона в одномерном кольце описываются формулой:~2 m2Em =.22me R(7.11)Сравнение спектра энергий нашей модели со спектром одномерного кольцаможно будет провести, если аппроксимировать зависимость энергии состояния с фиксированными квантовыми числами k и q формулой:E = Ekq0 + αkq mβkq .(7.12)Таким образом, сравнивая отклонения величины βkq от 2 в формуле (7.11)можно судить о близости структуры спектра к одномерной модели.
Для состояний (kq) = (00) , (01) , (02) , (10) , (20) параметризация спектров (7.12)приведена в таблице 2. Результаты расчетов указывают на существеннуюразницу между поведением спектров квантовых колец различной формы.Действительно, для сильно сплюснутых колец при (η0 = 0.1) наблюдаетсяповедение (βkq ≈ 2), близкое к модели одномерного квантового кольца. Дляколец, форма которых близка к эллипсоидальной (η0 = 0.95), напротив, отклонение от параболического поведения очень существенно βkq ≈ 1.6 < 2.Зависимость энергии Ekqm от параметра m при фиксированных значенияхV = 1/2, R = 1 и η0 = 0.95 представлена на Рис.
32. Любопытно отметить,что в нашей модели квантового кольца тоже выполняется правило расположения термов: из всей совокупности термов с фиксированным значениемвеличины k + q = const, наименьшее значение принимает терм, соответствующий наибольшему значению q.Теперь посмотрим на поведение термов Ej = Ej (η0 ) при непрерывномизменении η0 от 0.1 до 1, если зафиксировано значение радиуса кольца R = 1и значение параметра σ = 0.5. На Рис.
33 представлены кривые для основногосостояния и первых 11 возбужденных.105Таблица 2 Параметризация Ekqm = Ekq0 + αkq mβkq спектра для колец различной формыпри V = 1/2 и R = 1.kqη0 = 0.1η0 = 0.5η0 = 0.9500200.9 + 0.16 m1.98547.9 + 0.66 m1.88126.1 + 2.46 m1.65601700.8 + 0.14 m1.996127.8 + 0.50 m1.95656.7 + 3.33 m1.601021491.0 + 0.14 m1.998242.8 + 0.46 m1.97198.9 + 3.85 m1.58710262.4 + 0.19 m1.976100.2 + 0.79 m1.88270.8 + 3.99 m1.57720323.6 + 0.21 m1.971170.9 + 0.79 m1.912137.0 + 5.31 m1.5381000Numerical valueParametrization800Ekqmk=0 , q=2600k=2 , q=0k=1 , q=0400k=0 , q=1200k=0, q=00051015m202530Рис. 32 Зависимость энергии Ekqm от параметра m при V = 1/2, R = 1 и η0 = 0.95.Отдельныи точками представлены результаты численного расчета, сплошными линиямифиты из таблицы 2.10650004500q=2400035003000Eq=125002000 q=015001000500000,20,40,60,8η0Рис. 33 Зависимость энергии Ekq0 = Ekq0 (η0 ) от параметра η0 для основного и первых11 возбужденных состояний при σ = 0.5, R = 1.Заметим, что при η0 → 0, кольцо стремиться стать плоским, и термы начинают вырождаться по квантовому числу q, поскольку одна из степенейсвободы начинает исчезать.
Кроме того, обратим внимание, что функцииEj = Ej (η0 ) не являются монотонными. Некоторые термы при малых, ноконечных η0 имеют минимумы. В окрестности такого минимума Ej (η0 ) практически постоянна, то есть малые изменения формы не влияют на энергиюопределенного состояния. Это обстоятельство надо принимать в расчет, когда организуется массовое производство квантовых колец для изготовленияразличных наноэлектронных приборов и устройств с высокой стабильностьюи малым разбросом рабочих характеристик. При массовом производстве добиться идеальной формы у всех колец невозможно. Однако, при разработкенанотехнологии их производства надо стремиться выбрать такую форму, когда у рабочих термов имеются общие минимумы.Любопытно отметить, что ранее такие особенности в спектре квантовыхколец никогда не наблюдались.1077.3.Модели квантовых колец в виде потенциальных ям конечнойглубиныОчевидно, что потенциальная яма с бесконечно высокими стенками - этоочень идеализированная модель для квантового кольца, поэтому на следующем этапе необходимо перейти к рассмотрению потенциальных ям сфероидальной формы и конечной глубины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
