Диссертация (1149901), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

В этом случае величинане ограничена ирасходится при любом значении N.Рассмотрим, как влияет на погрешность определения ФР аппроксимация второйпроизводной зондового тока конечным рядом. Как уже говорилось, суть зондового методаопределения ФР заключается в измерении второй производной зондового тока по потенциалузонда относительно плазмы приразличных ориентациях зонда в необходимом диапазонепотенциала зонда относительно плазмы.

В результате по этим измерениям находятсякоэффициентов Лежандрапервых(формула (2.33)). Затем, с помощью соотношения (2.35),вычисляются соответствующие коэффициенты ЛежандраФР. При этом представлениев виде конечного ряда приводит к погрешностям в определении коэффициентов, а значит, и. Это очевидно, поскольку в равенстве (2.33) с суммой в правойчасти до максимальноговторой производнойслева стоит точное экспериментально найденное значение, которое является суммой бесконечного числа членов, и, такимобразом, само равенство cявляется приближенным и удовлетворяется скоэффициентамиотличными отпри разложении вбесконечный ряд Лежандра.

То есть, с учетом вышесказанного и, принимая во вниманиеуравнение (2.35), можно записать:- систематические ошибки (зависящие от числа членовкоэффициентов, соответственно. С учетом (2.38) имеем:) в определении44Соотношения (2.44), (2.44a) можно рассматривать, как системывеличинуравнений для оценкии нахождения коэффициентовОпределители этих систем при любых значениях, соответственно.отличны от нуля и поэтому существуетненулевое решение. По этой же причине, посколькупри любыхто.Отметим, что величины- это погрешности представления второйпроизводной зондового тока и ФР, соответственно, в виде конечного ряда по полиномамЛежандра с коэффициентами, соответственно, которые определяются по точнымформулам (2.37), (2.38).Введем величиныгде:находятся из соотношений (2.43), (2.44а), соответственно.Используясоотношения(2.35),(2.43),получаемсвязьмеждувеличинами:где- экспериментально определенная ФР;уравнений (2.44), (2.44а), соответственно, аопределения ФР зависит не только от числа членов ряданаходятся из системыТаким образом, погрешность, но и от выбора угловпоскольку этот выбор определяет матрицу систем (2.44), (2.44а).

Приуравнений (2.46) принимает вид:,третье из45Таким образом, несмотря на то, что величинаприне имеет систематических ошибок, ФР определяется даже при этих углах с систематической ошибкой. Эта ошибкасостоит из двух слагаемых, первое из которых обусловлено неточностью определениякоэффициентов разложения, второе - погрешностью описания величиныпри разложении в конечный ряд по полиномам Лежандра.В принципе, возможен альтернативный способ решения поставленной задачи. А именно,можно, используяизмерений зондового тока, аппроксимировать зависимость от углапри разных значениях потенциаласплайнами (например, третьего порядка) и затемвычислять произвольное (необходимое для точного описания результатов интерполяции)количество коэффициентов Лежандра для второй производной, используя полученные гладкиекривые.

В качестве аналога остатка ряда по полиномам Лежандрадля величиныздесь будет играть роль ошибка интерполяции сплайнамипроводятся при равноотстоящих значениях углов. Если измеренияс постоянным шагом, то, какизвестно, для абсолютной ошибки интерполяции кубическими сплайнами верна оценка [91]:где- четвертая производная величинывторой производной токапо углу. При интерполяциикубическими сплайнами по результатамизмерений иприемлемой (для конкретной задачи) относительной ошибке этой интерполяции,можно найти любое число.Поскольку при возрастаниито можно, увеличивая числокоэффициентов Лежандрауменьшается остаток, а значит, ии ошибка,, добиться того, чтобы выполнялось неравенство:Описанная процедура будет иметь смысл при выполнении,при котором с учетом (2.48) имеем:Если же выполняется обратное неравенство, то применение числа членов разложениявторой производнойне приведет к уменьшению ошибки определения ФР.

Иными46словами, измеряяпризначениях угла , можно найти ФРИ в виде разложения пополиномам Лежандра.При высокой степени анизотропии ФР, когда число ориентаций зонда слишком мало дляописания второй производной зондового токаи ФР в виде конечного ряда пополиномам Лежандра, применение сплайнов для вычисления членов этого ряда с большим, чемчисло ориентаций зонда номером, существенно снижает ошибку определения ФР.Наконец, обсудим часто встречающийся в практике экспериментальных плазменныхисследований случай, так называемой, зеркальной симметрии. Сначала предположим, что вплазме отсутствует какой-либо тип симметрии.

Тогда предлагается представить ФРвиде разложения по присоединенным функциям Лежандра 1-го родагде- сферические функции. Здесь[69] :- комплексные величины, которые подлежатопределению из измерений зависимости второй производной зондового токапотенциала зондагдевотпри различных его ориентациях:- азимутальный угол скорости заряженной частицы в выбранной лабораторной системекоординат XYZ;- полярный и азимутальный углы, соответственно, внешней нормали кпроводящей поверхности к зонду в этой системе координат. При этом коэффициенты рядов вформулах (2.49) и (2.50) связаны интегральным уравнением, аналогичным (2.35):Таким образом, при отсутствии симметрии процесс определения ФР сводится кследующему.

Ограничиваясь во внешней суммесоотношения (2.50)членами, при N2ориентациях зонда производится измерение зависимости второй производной зондового тока отпотенциала зонда. Используя эти данные, из системы N2 линейных алгебраических уравненийнаходим такое же количество коэффициентоввычисляем N2 коэффициентови с помощью соотношения (2.51). Это дает нам ФР(то есть, тоже содержащим во внешней суммечленов).в виде ряда (2.49) до47Рассмотрим теперь плазму газового разряда, которая обладает тем свойством, что в нейсуществует плоскость, относительно которой свойства плазмы обладают симметрией. Будемназывать такую симметрию зеркальной. Тогда, выбирая систему координат XYZ так, чтоплоскость ZX совпадает с плоскостью симметрии, получим, что ФР четна по азимутальномууглу.

Такая ситуация реализуется на практике весьма часто, например, когда зондовыеизмерения выполняются в цилиндрическом разряде во внеосевой (в том числе, и пристеночной)области. В этом случае соотношение (2.49) приобретает вид:Аналогично преобразуется и выражение (2.50) дляслучае зеркальной симметрии в плазме коэффициентыпри представлении ФР в виде конечного ряда, содержащимопределить всего. Нетрудно видеть, что вдействительны и, таким образом,функций Лежандра, необходимокоэффициентов.Таким образом, в зеркально-симметричной плазме удается значительно уменьшитьколичество необходимых ориентаций плоского зонда для определения ФР заряженных частиц сзаданной систематической ошибкой.Для иллюстрации вышеприведенных соотношений проведены расчеты для модельнойФР, которая определена формулами (3.1), (3.17), (3.31) Гл.

3.2.2.3 Обсуждение полученных результатовНа рис. 2.15 и 2.16 для примера приведены зависимостив диапазонепри различныхвеличинаопределению параметраот параметра, соответственно. Видно, что с увеличением,растет. Рассмотрим причины такого поведения. Согласно(см. выше), при его росте уменьшается электрическое поле.Соответственно, ФРИ становится более изотропной.

С другой стороны, вполне очевидно, чтопри фиксированных параметрахувеличение энергии ионаприводит к ростуанизотропии углового распределения ионов по скоростям, поскольку за счет поля поток ионов впространстве скоростей направлен от меньших энергий к большим. Отсюда как раз и следует,что при увеличении поля (уменьшении параметра) будет расти величина.48Увеличение числа членов ряда N по полиномам Лежандра, аппроксимирующего точнуюФРИ,позволяет описать все большую анизотропию углового распределения ионов и,соответственно, появляется возможность адекватного восстановлению ФРИ во все большемдиапазоне энергий ионов, что и означает рост величиныпри увеличении N.Наконец, при увеличении температуры атомов (при сохранении постоянным параметра) максимум ФРИ ионов смещается в сторону больших энергий [71, 73].

Соответственно, в этуже сторону смещается диапазон энергий, где распределение ионов по направлениям движенияизотропно (как отмечалась в [71, 73] в результате перезарядки ионы рождаются с изотропнымраспределением и далее за счет ускорения в поле на длине пробега их угловое распределениеприобретает анизотропию). При смещении области изотропии в сторону больших энергий, дляприобретения ФРИ анизотропии данной величины необходима, очевидно, большая энергия,полученная за счет поля. Но это и означает увеличениепри росте температуры.Отметим, что мы не приводим формулы дляи, по следующимпричинам.max(0,N), эВ0,80,712340,60,50,40,30,20,10,20,40,6Рис.

2.15. Зависимость величиныдля различных ; температура атомовот параметра в диапазоне значений от 0.2 до 0.7;1;2;3;4;.49max(0,N), эВ0,400,351230,300,250,200,150,100,050,20,40,6Рис. 2.16. Зависимость величиныот параметрадля различныхРасчетыдают,в диапазоне значений от 0.2 до 0.7;.что.соответствии с вышесказанным, припоказывают оценки, прииВэта величина будет еще больше. Каки энергиях ионов более 2 - 3 эВ ФРИ настолько мала, что ееопределение методом одностороннего плоского зонда затруднительно [71, 73]. Таким образом,можно заключить, что в рассматриваемом случае анизотропии ФРИ из-за электрического полядля полного ее восстановления придостаточно трех - четырех членов ряда (взависимости от диапазона энергий) по полиномам Лежандра.Что касается диапазона, то такое значение этого параметра соответствуетвесьма высокой величине электрического поля (например, для случая Ar+ в Ar, а для Hg+ в Hg При дальнейшем уменьшении параметра-) и ФРИ имеет высокую степень анизотропии.количество членов ряда по полиномам Лежандра,необходимое для описания ФРИ в значимом диапазоне энергий ионов, становится слишкомвелико для реализации метода измерения ФРИ с помощью плоского одностороннего зонда, астановится слабо меняющейся функцией параметров.

Характеристики

Список файлов диссертации