Диссертация (1149901), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В пределеусловия, при которых угловая зависимость ФРИ представима в виде ряда по полнойортогональной системе функций перестают соблюдаться. В данной работе мы ограничилисьчислом, поскольку большие значенияэтого параметра сложно реализуемы в50эксперименте при определении ФРИ, случай женами также не рассматривался,поскольку в этой ситуации, очевидно,.Отметим, что для случаев, рассмотренных в [71, 73], расчеты по формулам,приведенным в Приложении 2.2, дают согласующиеся с экспериментом результаты. Так, дляслучая Hg+ в Hg при, получаемсоответствует данным [71]; дляв, что полностьюприполучаем, что также согласуется с экспериментальными данными [72], где получено совпадениеточной и восстановленной ФРИ припорядка 20% приимеем(см.
рис. 6б цитируемой работы) и расхождениядля(см. рис. 6в [72]); длявпри, что не противоречит данным [72], где дляполучено расхождение порядка 7 - 8% (напомним, что мы считали максимально допустимымрасхождение в 10%).Отметим, что, как следует из формулы (2.46а), ФР определяется даже присистематической ошибкой. Основная физическая причина этогоссостоит в том, что винтегральный член в соотношении (1) дают вклад частицы, двигающиеся не по нормали кповерхности зонда (то есть, не под угламиоднозначной связи между величинамик выделенному направлению), поэтому нети.
Исключение составляет случай,когда интегральный член в формуле (1) пренебрежимо мал, например, в ситуации, когда ФРимеет узкое по энергиям распределение.Далее, если это не оговорено особо, расчеты проводились для модельной ФР (МФР),определенной соотношениями (3.1), (3.17), (3.31) Гл. 3.На рис. 2.17 сравниваются относительные ошибкипредставления ФР ввиде конечного ряда по полиномам Лежандра для МФР и различного числа членов ряда N принулевом углеи различной анизотропии ФР.51RN/f678910123451001010,10,011E-31E-405101520NРис. 2.17. Зависимость относительной ошибки при аппроксимации ФРИконечнымрядом по полиномам Лежандра, рассчитанная для модельной ФР (определена формулами (3.1), (3.17),(3.31) Гл.
3) для различного числа членов ряда N прии различной анизотропии ФР;; 1 - 5 - расчет по точной формуле (2.39); 6 - 10 - оценка сверху по формуле (2.41); 1,6, 2, 7 3, 8 4, 9 5, 10 -Расчет проводился по точной формуле (2.39) и по формуле для оценки сверху (2.41). Каки следовало ожидать, при увеличении анизотропии число членов, необходимое для адекватногопредставления ФР в виде конечного ряда растет. При этом видно, что при малой анизотропииоценка сверху близка к точному значению относительной ошибки, в то время, как при сильнойанизотропии она существенно завышает необходимое количество членов.
Так, если точныйрасчет для случая, когдадает необходимое число членов, то оценка сверху дает.На рис. 2.18 сравнивается относительная ошибка при описании ФР в виде конечногоряда cчленами по полиномам Лежандра и использование сплайнов третьего порядка дляинтерполяции ФР поточкам.52RN/f1234510001001067891010,10,011E-31E-41E-51E-6102030NРис. 2.18. Сравнение зависимости относительной ошибки при аппроксимации ФРконечным рядом по полиномам Лежандра, рассчитанной для модельной ФР (определена формулами(3.1), (3.17), (3.31) Гл.3) для различного числа членов ряда N прии полученной с применениемсплайнами по N точкам при различной анизотропии ФР;; 1 - 5 - расчет поточной формуле (2.39); 6 - 10 - расчет по формуле (2.46); 1, 6 , 2, 7 3, 8 4, 95, 10 -С учетом того, что экспериментальная ошибка зондового метода составляет величинупорядка 5 - 10%, при интерпретации расчетов на рис. 2.18 необходимо ориентироваться именнона относительную ошибку такой величины.
Видно, что при небольшой анизотропии методсплайнов дает большую точность. Затем при увеличении параметраи увеличениинеобходимого количества членов ряда по полиномам Лежандра ошибка представления ФР ввиде конечного ряда убывает быстрее и при сильно анизотропных ФР она при одинаковомзначении количества членов ряда и точек, по которым производится интерполяция сплайнами,существенно ниже ошибки интерполяции. Вместе с тем отметим ситуацию, которая частовозникает в эксперименте.
Предположим, что при определении сильно анизотропной ФРэкспериментальная установка не позволяет провести измерения при достаточно большомколичестве ориентаций зонда. Как будет видно в дальнейшем, в такой ситуациипредпочтительнее использовать сплайновую интерполяцию, поскольку она дает возможностьвычислять произвольное число коэффициентов Лежандра. Кроме того, следует иметь ввиду, что53относительная ошибка представления в виде конечного ряда вычислялась нами точно, аформула (2.46) - это оценка сверху.На рис. 2.19, 2.20 приведены результаты расчетов угловой зависимости величиныв виде конечного ряда по 14-ти полиномам Лежандра, коэффициенты которогонайдены из рассчитанных по МФР при 14-ти разных углахс наложенной ошибкой в 5% и10%, соответственно.Здесь же даны расчетные данные дляинтерполяции по этим же значениямэтой величины с применением сплайновойно в виде ряда по 25-ти полиномам Лежандра.На рис.
2.21, 2.22 - приведены аналогичные данные для отклонения расчетовна рис.2.19 и 2.20, соответственно, от точного значения второй производной зондового тока.I''(), произв. ед.1231,00,50,0-0,5050100150200градРис. 2.19. Угловая зависимость второй производной зондового токав единицах коэффициентаA (формула (2.35)), рассчитанная по модельной ФР (см. формулы (3.17), (3.31), (3.32) Гл. 3) прис наложенной случайной ошибкой величиной 5%; 1 - точныйрасчетпо формулам (2.32); 2 - применение сплайнов для аппроксимациипо 14точкам (моделируют измерение при 14-ти ориентациях зонда) и разложение в ряд по 25-ти полиномамЛежандра; 3 - вычислениев виде ряда по 14-ти полиномам Лежандра, коэффициенты которогонаходятся традиционным способом [60].54I''(), произв.
ед.1231,00,50,0-0,5050100150200градРис. 2.20. То же, что на рис. 2.19, но наложенная случайная ошибка составляет 10%.I''(), произв. ед.RN(), произв. ед.0,151230,1010,050,000-0,05-0,10050100150, градРис. 2.21. Разница между точной величинойи вторыми производными зондового тока,вычисленными в виде ряда по 14 полиномам Лежандра и в виде ряда по 25 полиномам Лежандра синтерполяцией сплайнами по 14 точкам для условий рис. 2.19; 1 - результат применения сплайнов (ось Y- слева); 2 - расчет в виде ряда по 14 полиномам Лежандра (ось Y - слева); 3 , рассчитанная поформуле (2.32) (ось Y - справа).55I''(), произв. ед.RN(), произв.
ед.1230,1510,100,050,000-0,05-0,10050100150200, градРис. 2.22. То же, что на рис. 2.21, но для условий рис. 2.20; 1 - результат применения сплайнов (ось Y слева); 2 - расчет в виде ряда по 14 полиномам Лежандра (ось Y - слева); 3 формуле (2.32) (ось Y - справа)., рассчитанная поВидно, что это отклонение для представления в виде конечного ряда по 14 существеннопревышает случайную ошибку, в то время, как отличия результатов применения сплайновойинтерполяции в виде ряда по 25-ти полиномам Лежандра от точных значений,напротив, не превосходят ее (рис. 2.19 и 2.20).
Это, как отмечалось, вызвано тем, что в данномслучае 14 членов ряда по полиномам Лежандра недостаточно для описания второй производнойтока, формируемой сильно анизотропной ФР при.На рис. 2.23-2.25 сравниваются зависимости от потенциала зонда 14-ти коэффициентовряда по полиномам Лежандра, полученные из значений второй производнойусловий рис. 2.20 двумя исследуемыми способами.для56Dk14(eU),произв.
ед.1234567891011121314150,10,0-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0,60,00,51,01,52,0eU, эВРис. 2.23. Зависимость коэффициентов(при) разложения второй производной зондовоготокапо полиномам Лежандра от потенциала зонда, рассчитанных для модельной ФР (см. формулы(3.17), (3.31), (3.32) Гл. 3) прис наложенной случайной ошибкой величиной 10%;кривые 1 - 5 - точный расчет по модельной ФР для, соответственно; 6 - 10 - нахождениекоэффициентов из значений второй производной при 14-ти ориентациях зонда (традиционный способ [60])для, соответственно; 11 - 15 - нахождение этих же коэффициентов разложением в ряд пополиномам Лежандра результатов интерполяции сплайнамипо 14-ти точкам при разнойориентации зонда для, соответственно.Dk14(eU),произв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
