Диссертация (1149898), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Потенциал дляположительного натяжения браны изображен на иллюстрации 3.2.Для этого случае также существует два набора решений непрерывного(m)спектра. Первый набор строится из решений gbс разными знаками b по разныестороны тонкой браны.ϕ(m) =g (m),0 , τ > 0bg (m),0 , τ < 0−b,m2 = M 2 (4 + k 2 ),ϕ(m) |y=0 = −(k 2 + 1),(ϕ(m) )′ |y=0+ = (ϕ(m) )′ |y=0− =k2 + 1,b(3.63)В результате получается решение четное относительно отражение по τ (по y).Второй набор решений непрерывного спектра строится сшиванием решений, обращающихся в ноль (3.57) с разными знаками b по разные стороны тон-57Рис.

3.2. Потенциал в ϕ канале при положительном натяжении браны b = + 21 . Жирная линияв τ = 0 обозначает δ-образную ямукой браны.ϕ̃(m) =f (m),0 , τ > 0bf (m),0 , τ < 0−b,m2 = M 2 (4 + k 2 ),ϕ̃(m) |y=0 = 0,(ϕ̃(m) )′ |y=0+ = (ϕ̃(m) )′ |y=0−(3.64)В результате получается решение нечетное относительно отражение по τ (поy).Нуль-мода может быть построена как симметричное решение с разнымизнаками b по разные стороны браны,ωb ,τ >0(0),ϕ =−ω−b , τ < 0ϕ(0) |y=0 =Φ′ (0),b(ϕ(0) )′ |y=0+ = −(ϕ(0) )′ |y=0− = −1,,3b2(3.65)За счет симметризации оно удовлетворяет условиям сшивания (3.47).

Заметим,58что оно существует даже в том случае, если регулярная часть потенциала больше нуля во всем пространстве. Происходит это за счет условия сшивания (3.47),которое, как уже было сказано, может быть интерпретировано как δ-образнаяяма, которая оказывается глубокойв точности настолько, насколько это нужнодля существования нуль-моды.Возможное тяжелое локализованное состояние√( 3M )ϕbкак симметричноерешение не удовлетворяет условиям сшивания (3.47), а как антисимметричное[ √ ]( 3M )имеет разрыв ϕb= 2/b.

Хотя не существует локализованного состояния±√с массой 3M возможно построить массивное локализованное состояние изрешений непрерывного спектра с мнимым значением k. Такое симметричноесостояние записывается в виде,√f (mh ),0 ,1 + 4a2−1+bϕ(mh ) =,, kh = ik̃h = i2a(m),0h−f−b√−1+1 + 4a2 + 6a222mh = M2a2(m ),0fb he−k̃h τ1=2coshτ 3 tanh τ − tanh3 τ + 3b[·k̃h2 (122+ 2 cosh τ ) + sinh τ + 3k̃h sinh τ cosh τ(3.66)](3.67)В пределе b → 0 нуль-мода становится сингулярной. При этом соответствующее действие неинтегрируемым, следовательно это состояние не дает вкладв интеграл по путям для рассматриваемой модели.

Массивное локализованноесостояние в этом пределе совпадает с граничным состояние непрерывного спектра g (0) с массой m2h → 4M 2 . Таким образом, модель с дефектом в виде тонкойбраны с положительным натяжением в пределе нулевого натяжения совпадаетс моделью без дефекта.С другой стороны, в пределе очень больших b потенциал (3.46) совпадаетс потенциалом в модели без гравитации,Qb Q†b → −∂τ2 + 4 −6cosh2 τ(3.68)59в то время как условия сшивания (3.47) становятся тривиальными. Нуль-модаи массивное локализованное состояние в этом пределе совпадают с соответствующими состояниями в модели без гравитации, рассмотренными в разделе 3.1.bϕ(0) =→1= Φ′ ,2cosh τbϕ(mh ) →sinh τ,cosh2 τm2h → 3M(3.69)Само собой предел больших b проблематичен, поскольку мы с самого начала считали малым λb ∼ κM .

Рассмотрим теперь предел нулевой гравитацииκ → 0, при котором натяжение браны λb остается большим в сравнении с κM .Тогда уравнение (3.46) за пределами браны, совместно с условиями сшиванияна бране (3.47) может быть записано как,(−∂τ2)1 ∂ 2V4λ2b4λb+ 2 2+ 2 2−δ(τ ) ϕ(m) = m2 e2λb |τ |/M β ϕ(m)2M β ∂ΦM βMβ(3.70)И в пределе нулевого натяжения λb → 0 оно совпадает как с соответствующимуравнением в модели без гравитации, так и с пределом больших b,()1−∂τ2 + 2 2 ∂ 2 V ϕ(m) = m2 ϕ(m) ,M β(3.71)причем условия сшивания становятся тривиальными (δ-функция уходит из потенциала).3.3.4. Спектр при отрицательном натяжени тонкой браныМожно также рассмотреть случай малого отрицательного натяжения тонкой браны, моделирующей дефект.

Заметим, что при этом мы выбираем b > − 23для того, чтобы сохранить геометрию типа Анти-де Ситтера на больших τ . Вэтом случае мы получаем два сингулярных барьера в ±τb , гдеtanh3 τb − 3 tanh τb − 3b = 0(3.72), которые образуют в окрестности браны потенциальную яму с бесконечнымистенками и делят объемлющее пространство-время на три независимые друг отдруга области.

Условие сшивания (3.47) в этом случае играет роль δ-образного60барьера. Потенциал изображен на иллюстрации 3.3. Спектр за пределами ямы,образованной барьерами, является непрерывным. Решения записываются как,Aa f (m) + Bb g (m) , τ > τbbb(m),ϕ> =(3.73)0,τ < τb0,τ > −τb(m),ϕ< =(3.74)A−b f (m) + B−b g (m) , τ < −τb−b−bгде коэффициенты равны,k sin kτb cosh τb + sinh τb cos kτb,cosh5 τbk cos kτb cosh τb − sinkτb sinh τbBb =cosh5 τb(3.75)Ab =(3.76)Внутри потенциальной ямы, образованной сингулярными барьерами, существует дискретный спектр состояний, которые обращаются в ноль в τ = ±τbи остаются равными нулю за пределами ямы.

Есть два набора этих решений,(m)которые строятся сшиванием решений непрерывного спектра fb(m)вый (четный по τ ) набор составлен из решений gb(m)и gb . Пер-с разными знаками b поразные стороны браны,ϕ(m)(m),0g b , 0 < τ < τb(m),0= g−b, −τb < τ < 0 ,0,|τ | > τbm2 = M 2 (4 + k 2 ),ϕ(m) |y=0 = −(k 2 + 1),(m) ′(ϕ(m) ′) |y=0+ = −(ϕ) |y=0−k2 + 1=,b(3.77)Условие на k записывается как,tan kτb = − tanh τb(3.78)61Рис. 3.3. Потенциал в ϕ канале при отрицательном натяжении браны b = − 1,999. Жирная3линия в τ = 0 обозначает δ-образный барьери, следовательно, спектр масс записывается как,arctan(tanh τb )+ πn,τbm2n = M 2 (4 + kn2 )kn = −n ∈ Z,(3.79)Второй (нечетный по τ ) набор решений, составленных из непрерывногоспектра, строится сшиванием решений (3.57), обращающихся в ноль в τ = 0 ис разными знаками b по разные стороны от браны,f (m),0 , τ > 0bϕ̃(m) =, m2 = M 2 (4 + k 2 ),f (m),0 , τ < 0−bϕ̃(m) |y=0 = 0,(ϕ̃(m) )′ |y=0+ = (ϕ̃(m) )′ |y=0− .(3.80)Условие на k > 0 записывается как,tan kτb(1 + k 2 ) tanh3 τb − 3k 2 tanh τb()= k−3k 2 − (1 + k 2 ) 3 tanh2 τb − tanh4 τb3 tanh τb − tanh2 τb 1≃· (kτb ),tanh4 τb − 3 tanh2 τb − 3 τb(3.81)62Для очень малых τb оно может быть записано как tan τb k = τb k.

Как иследовало ожидать для b → 0 эти состояния становятся очень тяжелыми иотщепляются. Это условие на k удовлетворяется также двумя решениями смнимыми k = i, 2i, которые допустимы, поскольку решение имеет компактныйноситель по построению. Однако они оказываются тривиальными ϕ = 0.Решения для нулевой массы ωb не подходит, поскольку является сингулярным при τ = ±τb . С другой стороны другое решение для нулевой массы ω̃b иего первая производная ω̃b′ обращается там в ноль, и, таким образом, могло быобразовывать нормируемую нуль-моду внутри ямы. Это решение, однако, неудовлетворяет условиям сшивания (3.47).3.4. Спектр флуктуций в канале χ и скалярное состояниетипа Хиггса3.4.1.

χ канал в фазе с ⟨H⟩ = 0Рассмотрим теперь флуктуации в χ-канал в фазе с ⟨H⟩ = 0,()∂ 2V2′ 2′′−∂y ++ 4(ρ ) − 2ρ − 2λb δ(y) χm = e2ρ m2 χ(m) ,2∂H(3.82)В этой фазе как нетривиальная часть массового оператора (3.36)не даетвклад в потенциал χ канала, и он остается регулярным за пределами тонкойбраны. Для минимальной модели с четверным взаимодействием, введенной вразделе 2.1.2, этот потенциал в пределе выключенной гравитации κ → 0 ималого натяжения тонкой браны λb = κβM b записывается как,V(y) = −2∆H + 2Φ20 − 2ρ= (M − 2∆H ) + M22()2,1−cosh2 M y(3.83)причем δ-функция в этом пределе уходит из потенциала, поскольку условиесшивания (3.42) становится тривиальным.

Таким образом, в этом пределе по-63тенциал в χ канале совпадает с соответствующим потенциалом в модели безгравитации, описанным в разделе 3.1.Единственным локализованным состоянием является,χ̂ → χ0 ≃ 1/ cosh(M y),m20λb )= M − 2∆H + O κ,.M2((3.84)Таким образом, в фазе с ненарушенной τ -симметрией при(2∆H < M + O κ, λb /M ),2(3.85)легчайшая скалярная флуктуация в χ канале обладает положительной массойи система оказывается стабильной. В критической точке, 2∆H = M 2 + O(κ),легчайшая скалярная флуктуация не обладает массой. Для M 2 < 2∆H ≤ 2M 2локализованное состояние χ0 , как и следовало ожидать, представляет собойтахион, таким образом, сигнализируя о нестабильности фазы с ненарушеннойτ -симметрией.

Взамен, истинному минимому соответствует решение (2.29), нарушающее τ -симметрию [17].Рассмотрим теперь поправку к массе этого состояния в критической точкес учетом результатов, полученных в разделе 2.3. Уравнения за пределами бранына поправки по κ и λb /M соответственно,(∂τ2+1−2Φ20 )χ1,0,0(∂τ2 + 1 − 2Φ20 )χ0,1,0[( 1 )]1,022′′=(−1 + 2Φ0 ) + (−∆H + 2Φ1,0,0 ) − 2ρ1,0 χ0β 2 1,0,0(3.86)−(m2 )1,0,0 χ0 ,[( 1 )]2(−1 + 2Φ20 ) + (−∆0,1=H + 2Φ0,1,0 ) χ02β 0,1,0(3.87)−(m2 )0,1,0 χ0 ,причем,[∂y χ1,0,0 ]± = 0,[∂y χ0,1,0 ]± = −4(3.88)Нормированные решения действительно соответствуют нулевым поправ-64кам к массе (m2 )1,0,0 = (m2 )0,1,0 = 0 и записываются как,]381 1 [ 140χχ1,0,0 =−ln(2 cosh τ ) ++ C1,0,0 ,(3.89)9 cosh τ cosh2 τ331 1 [χ0,1,0 |y>0 =− 5τ + 2 ln 2 · ln(1 − tanh τ ) − ln2 (1 + tanh τ )( 1 3 cosh τ )] 51−2Li2 (1 − tanh τ ) + 4 tanh τ − 4 +23 cosh τ + sinh τ)4((3.90)+ ln 2 · cosh τ − ln(1 + tanh τ ) · sinh τ ,3причем χ0,1,0 (−y) = χ0,1,0 (y).Таким образом, мы приходим к выводу, что полученные в разделе 2.3 поправки сохраняют картину критического перехода, рассмотренную в пределенулевой гравитации в [17].3.4.2.

Характеристики

Список файлов диссертации