Диссертация (1149898), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Флуктуации в фазе с ⟨H⟩ ̸= 0В фазе с нарушенной τ -симметрией, когда ⟨H⟩ ̸= 0, смешивающие члены не обращаются в ноль и спектр скалярных состояний приходится изучатьсредствами теории возмущений вблизи от критической точки. Далее мы будемрассматривать только предел малых натяжений браны, считая λb = κM b.

Нульмода в χ канале в этой фазе приобретает массу и ненулевую компоненту ϕ. Всвязи с этим, будем использовать следующее разложение,∞( )k∑(m)n µχ =κχn,k ,Mϕ(m)=n,k∞∑n,k2m =M2( µ )k+1κϕn,k ,Mn∞∑n,k( µ )kκ(m2 )n,k ,Mn(3.91)Заметим, что выбор переменных (3.31) продиктован в том числе и желанием обеспечить хорошее разложение в теории возмущений. Для примера,использованные в [1] калибровочно-инвариантные переменные,ϕ cos θ + χ sin θ,χ cos θ − ϕ sin θ,H′θ = arctan ′Φ(3.92)65в теории возмущений по отклонению от критической точки µ/M обладают плохой асимптотикой, поскольку( µ2 )( µ2 )H′τ= ′ +O≃e +Osin θ = √ΦM2M2(Φ′ )2 + (H ′ )2H′(3.93)Спектральные уравнения (3.38) в итерированной форме принимают следующий вид,−Qb Q†b ϕ0,k + (m2 )0,k ϕ0,0 = F0,k ,(3.94)−Q̃Q̃† χ0,k+1 + (m2 )0,k+1 χ0,0 = H0,k(3.95)где Qb и Q̃ определяются таким же образом как и в разделе 3.3, в то время как[()′ ]k′k−l∑2(ρ)1,1F0,k =4Φ0 H0 − (−1)k−l ′ k−l+1 Φ′0 H0′χl(ρ1,0 )l=0[()′ ]k−1′k−l+1∑2(ρ)1,1+− 2 + 6Φ20 + 2H02 + (−1)k−l ′ k−l+2 Φ20ϕ0,l(ρ1,0 )−l=0k−1 ∑k−l∑(m2 )0,l ϕ0,r ,l=0 r=0H0,k+1 =k∑[+−(4Φ0 H0 −l=0k∑[2(ρ′1,1 )k−l ′ ′k−l(−1)ΦH(ρ′1,0 )k−l+1 0 0)′ ]ϕl(− 2 + 2Φ20 + 6H02 −l=0k k−l+1∑∑l=1(3.96)2(ρ′1,1 )k−l+1 2k−l(−1)H(ρ′1,0 )k−l+2 0(m2 )0,l ϕ0,r .)′ ]χ0,l(3.97)r=0Решеия получаются интегрированием этих уравнений,∫τϕ0,k (τ ) = ω(τ ) dτ ′0χ0,kdτ ′′−∞)ω(τ ) F0,k (τ ) − (m2 )0,k ϕ0,0 (τ ′′ ) ,∫τ∫τ ′1dτ ′ cosh2 τ ′ dτ ′′=cosh τ′′(1ωb2 (τ ′ )∫τ ′(′′(3.98)0)1′′2′′H(τ)−(m)χ(τ),0,k0,k 0,0cosh τ ′′(3.99)66где ωb =Φ′0ρ′1,0убывающее на бесконечности решение для нулевой массы в ϕканале.

Масса получается интегрированием уравнения для соответствующегопорядка поля χ, считая, что оно нормируемо,∫+∞χ0,0 H0,k dτ(m2 )0,k = −∞.∫+∞ 2χdτ−∞ 0,0(3.100)Используя итерированные уравнения (3.94),(3.95) и условия сшивания(3.41),(3.42) мы получаем следующие поправки к профилям ϕ и χ,ϕ0,0 (τ ) = ϵ(τ )ϕ̃b (|τ |), χ0,0 = h̃(|τ |),b≥0tanh2 τ − 2 ln cosh τ − 3bτ(),ϕ̃b =cosh2 τ · 3b + 3 tanh2 τ − tanh3 τχ̃b(3.101)b≥0χC0,1tanh τ=+cosh τ 2 cosh τ (2 cosh2 τ + 1) + 6b cosh2 τ[()2· 4 cosh τ ln(2 cosh τ ) + 2 ln 2 + 3 +()]2+b cosh τ · 6τ + (3 + 6 ln 2) coth τ(3.102)(3.103)χгде C0,1зависит от нормировки χ(m) .

Для того, чтобы удержать нормировку по-стоянной, следующий порядок разложения χ0,1 должен быть ортогонален главному χ0,0 . В случае без тонкой браны - дефекта b = 0 эта константа может бытьнайдена аналитически,χ C0,1 =b=0( (( 2 ))2 )1√ Li2√ − Li2 √2 31 −( 33+1 )√()(3) − 131−+ ln 21 + √ ln √23(3) + 1≈ −1.322(3.104)В ведущем порядке разложения масса легкого скалярного состояния независит от неотрицательного натяжения тонкой браны-дефекта b ≥ 0 и оказывается такой же, как и в модели [17] без гравитации,∫+∞χ0,0 H0,1 dτ(m2 )0,1 = −∞= 2,∫+∞ 2b≥0χdτ−∞ 0,0(3.105)67В случае же отрицального натяжения тонкой браны-дефекта b < 0 в потенциале ϕ канала и смешивающих членах содержатся сингулярности в точкахτ = ±τb .

Главный порядок ϕ тогда сшивается из решений за пределами потенциальной ямы, образованной сингулярными барьерами, и внутри нееϕ0,0 b<0где()(ϕ)= ϵ(τ ) ϕ̃b (|τ |) + C0,0 ωb (|τ |))C̃ (ϕ) ϵ(τ )ω̃b (|τ |) , |τ | < τb0,0+0,|τ | > τb∫τω̃b = ωb dτ ′(3.106)1(3.107)ωb2 (τ ′ )а константы выбраны таким образом, чтобы вычесть сингулярности в τ = ±τbи чтобы решение ϕ0,0 = 0 удовлетворяло условиям сшивания на бране,τ =0(ϕ)C0,0 = 3bτb + 2 ln cosh τb − tanh2 τb ,(ϕ) ωb (0)(ϕ)C̃0,0 = −C0,0ω̃b (0).(3.108)Заметим, что в то время как возможно выбрать константы интегрированиятаким образом, чтобы в точках ±τb не было сингулярностей, невозможно приэтом обратить в ноль решение в этих точках ϕ0,0 = 0. На первый взгляд мо±τbжет показаться, что такое решение не удовлетворяет условию интегрируемостидействия (3.34), но поскольку это решение спектрального уравнения, сингулярности в потенциале и членах смешивания компенсируют друг друга и соответствующее действие оказывается интегрируемым.Главный порядок массы при отрицательногм натяжении браны оказывается зависящим от b довольно нетривиальным способом,68p(τb )b<0q(τb )p(τ ) = 8 ln c(τ ) · s(2τ )c2 (τ ) · (s(2τ ) + 2τ (c(2τ ) + 2))(1− s(2τ ) · (2c(τ ) − s(τ )) · −3s(τ ) + 3s(3τ )2)(+8c(τ ) + 4c(3τ ) + τ 7s(2τ ) − 2s(4τ ))−s(6τ ) + 9c(2τ ) + 15 + 4τ 2 (3c(2τ ) + 5) −()−32 (ln c(τ ))2 + τ 2 · c6 (τ )(m2)0,1=(3.109)(3.110)q(τ ) = −s(τ )c(τ )(5c2 (τ ) · (c(2τ ) + 2) − 3)+3τ (3c2 (τ ) + 1)(3.111)где s(τ ) = sinh τ ,c(τ ) = cosh τ .

Для b −→ 0 есть гладкий предел к массе в случаебез дефекта (m2 )0,1 −→ 2. В пределе дефекта, полностью компенсирующегогеометрию Анти-де-Ситтера на бесконечности b −→ − 23 ,(m2 )0,1 −→14 1616+ (ln 2)2 +ln 2 ≈ 6.5555555(3.112)Высшие порядки разложений могут быть сосчитаны аналитически в случае b = 0. Следующий за главным порядок разложения ϕ выглядит как,1ϕ0,1 = −(2 ln 2 + 1)ϵ(τ )ω̃0 −b=03s(2τ )(1 + 2c2 (τ ))2[()· 9 − 8c6 (τ ) + 7c4 (τ ) − 4c2 (τ ) − 4c8 (τ ) + 6 c2 (τ ) − 2c4 (τ ) + 1 ln 2+2 ln c(τ ) · (6c2 (τ ) · (1 + 2c2 (τ )) ln 2 + 14c4 (τ ) + 4c8 (τ ) + 6c6 (τ ) + 15c2 (τ ))+τ s(2τ )(−8c4 (τ ) − 4c6 (τ ) + 2 + c2 (τ )) + 3c2 (τ ) · (1 + 2c2 (τ ))τ 2()]χc2 (τ ) − 2c4 (τ ) + 1 + 2c2 (τ ) · (1 + 2c2 (τ )) ln c(τ )+6C0,1,(3.113)69где ϵ(τ ) знаковая функция и∫τω̃0 = ω0(11· 2 sinh τ cosh4 τdτ 2 ′ =2ω0 (τ )6 sinh τ (2 cosh τ + 1))2+3 sinh τ cosh τ − 3τ cosh τ − 2 sinh τ (3.114)′Хотя решение ϕ0,1 является непрерывно дифференцируемым, его вторая производная претерпевает скачок в τ = 0 и ведет себя вблизи этой точки как∼ ±( 32 ln 2 + 31 )τ 2 .

Этот скачок компенсирован в уравнении членами, в которыхэто решение ϕ0,1 умножается на расходимость в потенциале ∼ const/τ 2 .Следующий за главным порядок разложения массы оказывается равным√√32+ 146(m )0,2 = −128 3arctanhb=034π2+ ln 2 · (1 + ln 2) −(3.115)≈ +0.4817,39в то время как аналогичный результат (3.16) для модели без гравитации в разделе 3.1.1 был равенG(m2 )N0,2 = −130442≈ −1.0756.121275(3.116)Таким образом, мы еще раз обнаруживаем нетривиальное различие в спектре масс скалярных флуктуаций в модели без гравитации и модели с гравитацией в пределе нулевой константы гравитационного взаимодействия.3.5.

Выводы к третьей главеВо третьей главе был всесторонне изучен вопрос о спектре скалярныхфлуктуаций в модели с двумя скалярными полями, взаимодействующими с гравитацией. Для этого были введены калибровочно инвариантные переменные, изкоторых остаются только две независимые ϕ и χ. В массовом операторе для этихфлуктуаций обнаружены сингулярные вклады, которые остаются нетривиальными в пределе нулевой гравитации и нулевого натяжения тонкой браны. При70нулевом вакуумном среднем второго поля H два канала отщепляются друг отдруга и спектр может быть исследован отдельно.Спектр скалярных флуктуаций подробно исследован для минимальной модели.

В фазе с ненарушенной τ -симметрией сингулярная добавка дает вкладтолько в массовый оператор для ϕ-канала. Потенциал с учетом этой поправки оказывается точно решаемым. Без дефекта он оказывается сингулярным идопускает только нелокализованные решения непрерывного спектра по обе стороны от браны. Если включен дефект с малым положительным натяжением, вспектре присутствуют как нуль-мода, так и тяжелое локализованное состояние.Особенно интересен случай тонкой браны-дефекта с малым отрицательным натяжением. При этом сингулярные барьеры делят пространство на триобласти, не взаимодействующие друг с другом в рассмотренном приближении.В центральной области обнаруживается дискретный спектр идеально локализованных состояний.

Этот новый механизм локализации определенно заслуживает более глубокого рассмотрения в будущем с возможным применением клокализации других полей.В массовый оператор χ-канала в этой фазе не появляется никаких сингулярных добавок и он сводится в пределе нулевой гравитации и натяжениятонкой браны к массовому оператору модели без гравитации. В этом канале вкритической точке существует нуль-мода, которая остается таковой с учетомпоправок по гравитации и натяжению браны. Показано, что выше критическойточки фаза с нулевым вакуумным средним H оказывается нестабильна и система переходит в фазу с нарушенной τ -симметрией.

Нуль-мода приобретаетмассу, которая посчитана для различных значений натяжения тонкой браны потеории возмущений. Любопытно, что в случае без дефекта и положительногонатяжения тонкой браны-дефекта в главном порядке она оказывается такой жекак в теории без гравитации.71Глава 4Фермионный сектор4.1. Локализация массивных фермионов на доменнойстенкеВ предыдущих главах мы рассмотрели формирование браны как доменной стенки, порожденной минимально взаимодействующими с гравитацией скалярными полями с самодействием. Пользуясь полученными результатами, мыможем поставить вопрос о том, как реализовать реалистичную с точки зренияфеноменологии локализованной на ней модель материи.Основными компонентами Стандартной Модели элементарных частиц являются фермионные поля лептонов и кварков и взаимодействующие с нимикалибровочные поля.

На низких энергиях интересующая нас часть фермионного сектора может быть записана в виде,[114]gLSM ⊃ − √ ψR† σ µ Wµ+ V̂ ψL + ψR† M̂ ψL + ψR† ĝhψ + h.c.2(4.1)Где V̂ - матрица смешивания – Кабиббо-Кобаяши-Маскавы (CKM) для кварков или аналогичная матрица Понтекорво-Маки-Накагавы-Сакаты (PMNS) длялептонов, M̂ - массовая матрица, а ĝ - матрица констант Юкавы взаимодействия фермионов с бозоном Хиггса h. Известный факт, обеспечивающий единственный источник CP -нарушения в Стандартной Модели, состоит в том, чтомассовая матрица M̂ и матрица смешивания V̂ не диагонализуются одновременно.

С другой стороны стандартный механизм Хиггса обеспечивает одновременную диагонализацию M̂ и ĝ. Существуют расширения, допускающиеCP -нарушение в секторе Хиггса. [9]С точки зрения механизма локализации может потребоваться рассмотретьпо отдельности происхождение необязательно диагональной массовой матрицы72M̂ и матрицы смешивания V̂ . Последняя требует изучения механизма локализации калибровочных полей. Мы не будем рассматривать в данной работе этупроблему, отсылая читателя к литературе, приведенной в разделе 1.5. Вместоэтого будут представлены механизмы локализации фермионов с определеннойкомплекснозначной массовой матрицей. Ранее эта проблема рассматривалась вработах [43, 51, 111] и в качестве решения предлагалость локализовывать разные киральные компоненты в разных точках объемлющего пространства.

Однако для одного дополнительного измерения получается нереалистичная массовая матрица и приходится использовать два дополнительных измерения. В нашей работе мы рассматриваем CP -нарушающую модификацию взаимодействиямассообразующего поля. Как будет показано ниже, это вводит дополнительныеисточники нарушения сохранения CP четности в низкоэнергетической эффективной теории. В данной главе мы большей частью пренебрегаем гравитациейи предполагаем, что объемлющее пространство-время плоское.Начнем с разъяснения, как захватить фермионную материю на доменнойстенке – «толстой бране» с помощью механизма разработанного в [120]. Волновая функция фермиона в этом случае подчиняется уравнению Дирака,[ iγα ∂ α − Φ(X) ]ψ(X) = 0 ,γα = (γµ , −iγ5 ) ,{γα , γβ } = 2ηαβ ,(4.2)где γα являются 4-мерными матрицами Дирака в киральном представлении.

Характеристики

Список файлов диссертации