Диссертация (1149898), страница 8
Текст из файла (страница 8)
После разрешения связи условия сшивания записываются дляфункций профиля скалярных флуктуаций следующим образом,)[]2Z Φ′ |y=0 ( ′ (m)′ (m) (m)Φϕ +H χ∂y ϕ= −y=0±3M∗3 ρ′ |0+−4ρ′ |0+ ϕ(m) ,)[]2Z H ′ |y=0 ( ′ (m)′ (m) (m)Φϕ +H χ∂y χ= −±y=03M∗3 ρ′ |0+−4ρ′ |0+ χ(m)(3.41)(3.42)Для определения предела выключенной гравитации удобно параметризовать взаимодействие с помощью некоторого безразмерного параметра κ такимже образом, как это было сделано для минимальной модели Z =3κM∗3M2 ,гдеM - характерный масштаб самодействия скалярных полей.
Если в модели неттонкой браны-дефекта, т.е. λb = 0, в пределе выключенной гравитации κ → 0спектральное уравнение (3.38) в сравнении с уравнениями модели без гравитации (3.3) приобретает нетривиальные поправки поскольку ′ 2′ ′2κ (Φ ) Φ H M̂N P −→ − 2 ∂y ′ ̸= 0,Mρ Φ′ H ′ (H ′ )2(3.43)Аналогично, условия сшивания (3.41),(3.42) остаются нетривиальными из-замножителя κ/ρ′ .
Как мы увидим в следующем разделе, для новых уравненийсущественным образом меняется спектр скалярных флуктуаций.51Однако, если ввести достаточно большое положительное натяжение браныλb ≫ κM , эти сингулярные эффекты в пределе слабой гравитации полностьюуходят как из спектрального уравнения за пределами браны, так и в условияхсшивания. Таким образом, возможно организовать гладкий предел в моделибез гравитации, удерживая натяжение браны большим в сравнении с κM . Интересно сравнить результаты для этого предела с результатами для пределаслабой гравитации κ → 0 также при малом натяжении браны λb ≃ κM , когдарассмотренные вклады остаются нетривиальными.Найденный результат можно обобщить на случай многих полей,(−∂y2′′′ 2)+ ∂ V + M̂N P − 2ρ + 4(ρ ) ϕ(m) = e2ρ m2 ϕ(m) ,2(3.44)где ϕ(m) - столбец из флуктуаций для разных полей, а[][]1 ′ ′2Z′M̂N P =(−∂y + 4ρ ) ′ Φi Φjij3M∗3ρ(3.45)Можно было бы задаться вопросом, влияют ли эти вклады на стабильностьмногополевой конфигурации найденной в разделе 2.2.2.
При проверке с той жетестовой функцией, что и в разделе 3.1.2 по крайней мере для β =13численныйрасчет дает отрицательное значение.3.3. Спектр флуктуаций в канале ϕ в фазе c ⟨H⟩ = 03.3.1. Уравнение и условие сшиванияКогда ⟨H⟩ = 0 уравнения движения (2.12) требуют ∂ 2 V /∂Φ∂H = 0 идве скалярные моды расщепляются. В этом случае уравнение на ϕ(m) (3.38)может быть записано с использованием уравнений (2.10)-(2.12) в следующейфакторизованной форме,(−∂y + P) (∂y + P) ϕ(m) = e2ρ m2 ϕ(m) ,где P =ρ′′ρ′−Φ′′Φ′+ 2ρ′ .(3.46)52Это уравнение за пределами тонкой браны должно быть дополнено условиями сшивания,[]2Z (Φ′ |y=0 )2 (m)(m)∂y ϕ=−ϕ |y=0±3M∗3 ρ′ |0+−4ρ′ |0+ ϕ(m) .(3.47)Эти условия сшивания можно интерпретировать также как вклад в потенциалδ-функции(−)Z (Φ′ |y=0 )2′+ 2ρ |0+ δ(y).3M∗3 ρ′ |0+(3.48)Рассмотрим теперь модель с четверным взамодействием, описанную в разделе 2.1.2.
Если считать λb = κM b в пределе нулевой гравитации κ → 0 решения в ϕ канале могут быть получены точно. Уравнение (3.46) в этом пределепринимает вид,Qb Q†b ϕ(m) =Qb = −∂τ +Q†b = ∂τ +m2 (m),M2 ϕρ̃′′1′ρ̃1 +bρ̃′′1ρ̃′1 +bΦ′′Φ′ ,−−Φ′′Φ′ ,(3.49)(3.50)(3.51)где τ = M βy и ρ = κρ̃1 + κbτ + O(κ2 ).Вообще говоря, этот потенциал может иметь сингулярности в точках, вкоторых ρ˜′1 + b обращается в ноль.
Решения могут быть найдены в областях,где потенциал является регулярным и затем сшиты в сингулярных точках и натонкой бране. Мы можем использовать факторизацию соответствующего оператора для построения потенциала-суперпартнера [20–22, 54, 98, 136], которыйоказывается не зависящим от b,Q†b Qb = −∂τ2 + 4 −2.cosh2 τ(3.52)Решения с ненулевыми массами m2 ̸= 0 могут быть построены из решенийдля потенциала-суперпартнера,(m)ϕ(m)= Qb ϕ̌,Q†b Qb ϕ̌(m)m2 (m)= 2 ϕ̌M(3.53)53Этот потенциал-суперпартнер является хорошо известным точно решаемым потенциалом и также допускает другую факторизацию, которая связываетего решения с решениями для постоянного потенциала,Q̃ = −∂τ + tanh τ,Q̃ = ∂τ + tanh τQ†b Qb = Q̃Q̃† + 3,Q̃† Q̃ = 1(3.54)(3.55)Таким образом, мы можем построить решения из непрерывного спектраиз решений для постоянного потенциала,(m)fb= Qb Q̃ sin kτ ,(m)gb= Qb Q̃ sin kτ cos kτ ,m2 = M 2 (4 + k 2 )(3.56)В дальнейшем удобно также использовать их линейную комбинацию, обращающуюся в ноль в y = 0,(m),0fb= b(1 + k 2 )f (m) − kg (m) ,(m),0 ′(fb) |y=0 = −k(k 2 + 1)(k 2 + 4)b.(3.57)При поиске локализованных состояний для полноты требуется рассмотреть все решения, не ограничиваясь требованием нормируемости, которое будетобеспечиваться адекватной сшивкой в сингулярных точках и на тонкой бране.В частности необходимо рассмотреть и найденные выше решения непрерывногоспектра, имеющие мнимый параметр k, что соответствует массе меньшей, чем2M .
Без сшивания возможно построить решение, убывающее на бесконечностис одной стороны от тонкой браны, которое, однако, экспоненциально растет сдругой стороны. При соответствующем сшивании возможно построить нормируемые решения, но только при определенных значениях k.Для потенциала-суперпартнера Q†b Qb также существует два решения сm2 = 3M 2 , которые не могут быть получены из решений для постоянного по-54тенциала. Для потенциала в ϕ канале они дают следующие два решения,√( 3M )ϕb√( 3M )ϕ̃b1,coshτ(= Qb sinh τ += Qbx ).cosh τ(3.58)(3.59)Первое убывает на бесконечности, в то время как второе на бесконечности экспоненциально возрастает.Кроме решений, построенных из решений для потенциала-суперпартнера,также существуют решения с нулевой массой.
Они могут быть записаны в следующем модельно-независимом виде,Φ′ωb = ′ ,ρ∫τω̃b = ωb dτ ′1ωb2 (τ ′ )(3.60)Заметим, что ωb убывает на бесконечности, но может иметь сингулярности вточках, в которых ρ′ обращается в ноль, в то время как ω̃b , наоборот, обращаетсяв ноль одновременно с ρ′ , но асимптотически экспоненциально возрастает. Ссоответствующими условиями сшивания оба решения могут дать вклад в спектрфлуктуаций в ϕ канале.3.3.2. Спектр в отсутствие дефектаВ случае отсутствия дефекта потенциал содержит сингулярный барьер ∼2τ2 ,который не допускает появления локализованных состояний [23]. Заметим,что наличие этого сингулярного барьера может быть замечено уже в исходномуравнении (3.46) и не связано с рассматриваемым пределом κ → 0.
Потенциалв этом случае изображен на иллюстрации 3.1.Существует два набора решений непрерывного спектра, которые соответствуют частицам, живущим по разные стороны браны.0,g (m) , τ > 0τ >00(m)(m),, ϕ< =ϕ> =(m)0,g0 , τ < 0τ <0(3.61)55Рис. 3.1. Потенциал в ϕ канале в отсутствие дефектагде,(m)g03k 2 − (4 + k 2 ) tanh2 τ=cos kτ3 − tanh2 τ3k(1 + tanh2 τ )+sin kτ ,tanh τ (3 − tanh2 τ )(3.62)(m)Масса этих состояний равнеа m2 = M 2 (4 + k 2 ).
И решение g0(m)и его первая(m)производная обращаются в ноль в τ = 0. Таким образом, ϕ> и ϕ< не имеютпроблем с интегрируемостью, связанных с сингулярным барьером.Что касается локализованных состояний, как из ω0 и ω̃0 , так и изи√( 3M )ϕ̃0√( 3M )ϕ0оказывается невозможным построить решения, которые были бы нор-мируемы. Также не существует нормируемого состояния построенного из решений непрерывного спектра с мнимым k. Таким образом в отсутствие дефектане существует каких-либо локализованных состояний, включая (нормируемую)нуль-моду Гольдстоуна, связанную со спонтанным нарушением трансляционнойсимметрии.Причина состоит в том, что соответствующие флуктуации браны могутбыть полностью компенсированы калибровочным преобразованием (3.30) и недают вклад в инвариантную часть спектра.
Можно сказать, что с учетом грави-56тации, индуцированной браной, последняя становится более жесткой, посколькудля нее допускаются только тяжелые флуктуации. Разумеется, сами калибровочные преобразования (3.30) оставляют инвариантной только квадратичноедействие, поэтому следу Гольдстоуновской моды могут все равно влиять навершины взаимодействия между гравитацией и скалярными полями высшихпорядков.3.3.3.
Спектр при положительном натяжении тонкой браныВ случае, если моделирующая дефект тонкая брана обладает положительным натяжением, как было указано в разделе 2.3, нули первой производнойметрического фактора ρ′ (а вместе с ней и сингулярные барьеры в потенциале(3.46)) смещаются в область, которая отрезается при сшивании. Таким образомза пределами тонкой браны потенциал оказывается регулярен. Условия сшивания (3.47) могут быть интерпретировано как δ-образная яма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
