Диссертация (1149898), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Фоновые решения для метрикиищутся в гауссовой формеds2 = e−2ρ(y) ηµν dxµ dxν − dy 2 .(2.9)Для такой метрики за пределами тонкой браны, y ̸= 0, уравения записываются как,ρ′′ =Z(Φ′2 + H ′2 ),33M∗2ZV (Φ, H) = ρ′′ − 4(ρ′ )2 ,33M∗∂V∂VΦ′′ − 4ρ′ Φ′ =, H ′′ − 4ρ′ H ′ =.∂Φ∂H(2.10)(2.11)(2.12)Можно доказать [18], что только три из этих уравнений независимы.Эти уравнения в балке должны быть дополнены условиями сшивания Из-27раеля на тонкой бране [85], которые для нашего анзаца принимают вид,[ρ′ ]± = 2λb ,[Φ′ ]± = 0,[Φ′′ ]± = 8λb Φ′ (0),[H ′ ]± = 0.(2.13)(2.14)Согласованность этих условий с уравнениями движения обеспечивается компенсирующим членом Гиббонса-Хокинга-Йорка [72, 137] в действии.Мы будем рассматривать потенциалы аналитические по скалярным полями ограниченные снизу, которые обладают дискретной симметрией относительно отражений Φ −→ − Φ и H −→ − H и имеют малое число минимумов дляне ненулевых вакуумных ожиданий скалярных полей.
Для таких потенциаловсуществуют фоновые решения в виде постоянных {Φ, H} = {Φmin , Hmin }, которые совместны с уравнениями Эйнштейна при условии, что вакуумная энергияравнеZ⟨V (Φ, H)⟩ = ZV ({Φmin , Hmin })≡ −Λc M∗3 > 0,(2.15)т.е. при отрицательной пятимерной космологической константе Λc . В этом случае получается классическая геометрия типа Анти-де-Ситтера.2.1.2. Минимальная модельМодель приведенная в предыдущем разделе будет рассматриваться на примере модели [17, 23] с минимальным потенциалом ограниченным снизу и допускающим решения в виде кинка, которые соединяют два минимума потенциала.Этот потенциал содержит четверное самодействие с O(2)-симметрией, котораяявно нарушена массовыми члены с неправильным знаком для обоих скалярныхполей.
Лагранжиан скалярной материи тогда выглядит следующим образом,Lmat3κM∗3 (∂A Φ∂ A Φ + ∂A H∂ A H=22M)2 2222 2+2M Φ + 2∆H H − (Φ + H ) − V0 + M∗3 Λc ,(2.16)28Где нормализационный коэффициент выбран равным Z = 3κM∗3 /M 2 для упрощения уравнений движения и разложений в теории возмущений. Чтобы связатьновую константу κ с пределом слабой гравитации, мы считаем, что κ ∼ M 3 /M∗3- малый параметр κ ≪ 1, который характеризует взаимодействие гравитационного поля и полей материи. Положим M 2 > ∆H , тогда абсолютный минимумсоответствует Φmin = ±M, Hmin = 0, а сдвиг потенциальной энергии долженбыть принят равным V0 = M 4 для корректного определения пятимерной константы связи Λc .Классические уравнения движения за пределами браны (2.12) для этоймодели записываются в гауссовых координатах как,Φ′′ = −2M 2 Φ + 4ρ′ Φ′ + 2Φ(Φ2 + H 2 ),(2.17)H ′′ = −2∆H H + 4ρ′ H ′ + 2H(Φ2 + H 2 ),)κ ( ′ 2′′′ 2ρ =(Φ ) + (H ) ,M23κ { ′2′2Λc = −6ρ +(Φ̃) + (H̃ ′ )2 +22M}2 2222 242M Φ̃ + 2∆H H̃ − (Φ̃ + H̃ ) − M .(2.18)(2.19)(2.20)Полезно также рассмотреть обобщение этой модели на случай несколькихскалярных полей,( ∑ )2]∑3κM∗3 [ ∑A22=∂A Φn ∂ Φn +2∆n Φn −Φn − V0 +2M 2nnnNLmatN+M∗3 Λc ,(2.21)где ∆1 = M 2 .
Эта модель обладает мягко нарушенной O(N ) симметрией. Уравнения для решений с гауссовым анзацем неоднородных по y и ненарушающихчетырехмерную Пуанкаре-инвариантность записываются аналогично модели сдвумя полямиκ ∑ ′ 2(Φn ) ,= −2∆k Φk + 4ρ+ 2Φkρ = 2Mnn{ N}N()()∑∑23κΛc = −6ρ′2 +(Φ̃n )′2 + 2∆n Φ̃2 −Φ̃2n − M 422MnnΦ′′k′Φ′kN∑NΦ2n ,′′(2.22)(2.23)292.2. Решения в пределе выключенных гравитации идефекта2.2.1.
Модель с двумя полямиУравнения (2.17),(2.18) содержат члены разного порядка по малому параметру κ и могут быть решены по теории возмущений, если положить|ρ′ (y)||ρ′′ (y)|= O(κ) =,MM2λb= O(κ),M(2.24)что в соответствии (2.20) означает Λc = O(κ). При этом уравнения в ведущемпорядке по κ не зависят как от метрического фактора ρ(y), так и от натяжениятонкой браны λb ≪ M .В зависимости от соотношения между квадратичными константами связиM 2 и ∆H существует два типа решений неоднородных по y [17] Для нулевойгравитации и натяжения тонкой браны первое решение доминирует, когда ∆H ≤M 2 /2,Φ = ±M tanh (M y) + O (κM, λb ) ,H(y) = 0.(2.25)В ведущем порядке κ ∼ λb оно порождает конформный фактор следующего вида,{}2κ12ρ1 (y) =ln cosh (M y) + tanh (M y)34( 2)+λb |y| + O κ , κλb /M, λ2b /M 2 ,(2.26)Который выбран как четная функция по y для сохранения так называемойτ -симметрии [17], которая будет подробно рассмотрена в разделе 4.1.
Для скалярных полей симметрия сводится к отражению по обоим полям с одновременным отражением пятой координаты y,Φ(y) → −Φ(−y),H(y) → −H(−y).Очевидно эти отражения оставляют бозонное действие (2.16) инвариантным исохраняются как симметрия кинка (2.25). В присутствии гравитации индуци-30рованной фоновой материей τ -симметрия выживает для четных конформныхфакторов.Как будет показано в третьей главе, для спектра флуктуаций метрики искалярных полей существенную роль играет производная конформного фактора [1]. А именно, нули ρ′ (y) порождают сингулярные барьеры ∼ 1/(ρ′ (y))2 вмассовом операторе флуктуаций скалярной моды.
Рассмотрим раличные варианты для профиля (2.26). Без дефекта λb = 0 очевидно ρ′ (0) = 0 и возникаетсингулярный барьер на гиперповерхности y = 0 [1, 23]. Если же постоянная λbположительна, то функция |ρ′ (y)| нигде не обращается в ноль соответственно|ρ′ (0)| = λb .
Отсутствие сингулярного барьера открывает возможность локализовать скалярную нуль-моду, как это будет показано в разделе 3.3.С другой стороны можно рассмотреть случай отрицательного натяжениябраны λb < 0. Для того, чтобы сохранить асимптотическую геометрию типаАнти-де-Ситтера, следует сохранить положительной ее кривизну22k = κM + λb > 0 ⇒ |λb |/M < κ.33При этом метрический фактор()1ρ′1 (y) = κM tanh M y − tanh3 M y − |λb |ϵ(y),3(2.27)(2.28)где ϵ(y) знаковая функция, обладает двумя нулями, расположенными симметрично относительно y = 0. Эти нули порождают два сингулярных барьера,которые разбивают пятое измерение на три области с практически независимыми состояниями.
В области между этими барьерами обнаруживается бесконечная башня локализованных скалярных состояний, которая будет рассмотренав разделе 3.3.4.Второй кинк возникает только если M 2 /2 ≤ ∆H ≤ M 2 (в пределе нулевыхгравитации и натяжения тонкой браны), т.е.
2∆H = M 2 + µ2 , µ2 < M 2 [17],µΦ0 (y) = ±M tanh (βM y) , H0 (y) = ± cosh(βMy) ,√µ2β = 1− M2,(2.29)31Это решение нарушает τ -симметрию. Конформный фактор в ведущем порядкепо κ, λb принимает следующий вид,{})1 2κ (22ρ1 (y) =3 − β ln cosh (βM y) + β tanh (βM y)32)(+ λb |y| + O κ2 , κλb /M, λ2b /M 2 ,(2.30)который также симметричен относительно y → −y.Можно проверить, что асимптотическая кривизна Анти-де-Ситтера k,определенная в пределе y ≫ 1/M при ρ(y) ∼ ky, несколько отличается дляфаз с ненарушенной и нарушенной τ -симметрией,2kunbroken = κM + λb vs.3√(2 )2µ2µkbroken = κM 1 +1−+ λb ,32M 2M2kbroken < kunbroken .(2.31)Поскольку потенциал скалярных полей инвариантен относительно отраженийΦ(y) −→ −Φ(y) и H(y) −→ −H(y), для любого решения в виде кинка существует решение с противоположным знаком в асимптотике на больших y.
Далеевыберем для определенности положительный знак Φ(y), H(y) на y → +∞.Как будет показано в разделе 4.1 второе решение с ненулевым вакуумнымсредним поля H порождает массы фермионов, в то время как первое решение сH(y) = 0 оставляет фермионы безмассовыми. По этой причине именно второерешение представляет интерес для построения реалистичных моделей.
В фермионном лагранжиане [1, 17] второе решение нарушает τ симметрию. Такимобразом существует две фазы с различными вакуумными средними скалярныхполей, разделенные критической точкой. Как будет показано во третьей главе, при ∆H < M 2 /2 первый кинк обеспечивает локальный минимум, однакодля M 2 /2 < ∆H < M 2 он соответствует седловой точке, в то время как второйкинк с ненулевым вакуумным средним H гарантирует локальную стабильность.Когда учитываются поправки гравитации и натяжения тонкой браны точка фазового перехода сдвигается относительно ∆H = M 2 /2 (см.
раздел 3.4.1).322.2.2. Решения модели с произвольным количеством полейРассмотрим теперь решения для минимальной модели N полями в пределевыключенной гравитации κ → 0 и дефекта λb ≃ κM . Уравнения (2.22)-(2.23) вэтом пределе могут быть записаны как,− Φ′′k + 2UΦk = 2∆k Φk ,U=∑Φ2k ,(2.32)kВ такой записи решения Φk можно рассматривать как решения одномерногоуравнения Шредингера для потенциала U соответствующие различным энергетическим уровням ∆k . В то время как поля Φk , убывающие на бесконечности, могут являться локализованными состояниями для этого потенциала, длялокализации в частности фермионных полей нам необходимо наличие кинка,который стремится на бесконечности по разные стороны браны к разным минимумам Φ1 → ±M .
Для потенциала U → M 2 это решение можно организоватькак граничное состояние непрерывного спектра с ∆1 = M 2 .Если у нас есть N полей, но в фоновом решении ненулевым вакуумнымсредним обладают только M полей, остальные не входят не только в уравнения(2.32) для других полей, но и их флуктуации отщепляются как в модели безгравитации (см.раздел 2.2.2), так и в модели с гравитацией в пределе выключенной гравитации (см. раздел 3.2).
Таким образом, в этом случае сектор с Mполями можно рассматривать в первом приближении как модель, в которойесть только M полей.Рассмотрим следующую, хорошо известную в суперсимметричной квантовой механике [20–22, 54, 98, 136] цепочку потенциалов,Qn Q†n=−∂y2n(n + 1)β 2,+n β −cosh2 βy2 2Qn = −∂y + nβ tanh βy(2.33)Потенциалы с разными n связаны как суперпартнеры,Qn Q†n + (2n + 1)β 2 = Q†n+1 Qn+1 ,(2.34)33и за счет этой суперсимметрии спектр потенциала с n + 1 может быть построениз спектра потенциала с n,Qn Q†n ψE= EψE ,ψ̃E = Qn+1 ψE ,Qn+1 Q†n+1 ψ̃E()2= E + (2n + 1)β ψ̃E (2.35)единственным исключением является нуль-мода,ψ̃0 = e−Qn+1 ψ̃0 = 0,∫dy(n+1)β tanh βy=1n+1coshβy(2.36)Поскольку для n = 0 потенциал оказывается постоянным, Q0 Q†0 = −∂y2 , спектрпотенциала Qn Q†n оказывается состоящим из непрерывного спектра и n локализованных состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
