Диссертация (1149898), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Модель с несколькими полямиОбобщение минимальной модели, упомянутое в разделе 2.1.2, представляет определенный интерес для моделей локализации фермионов с нарушениемсохранения CP четности (см. раздел 4.3). Однако как мы покажем в этом разделе решения, полученные в 2.2.2 к сожалению оказываются нестабильными.Для нестабильности полевой конфигурации достаточно, чтобы для какой()(test)(test)либо пробной функции Φ(y) = Φk (y) выполнялось,+∞∫()T(test)Φ(y) M̂Φ(test) (y)dy < 0,(3.17)−∞где M̂ =−∂y2+∂ V2. Выполнение этого неравенства означает, что мас-Φk =Φk (y)совый оператор флуктуаций не является положительно определенным. Для нашей модели с четверным потенциалом и мягким нарушением O(N )-симметриилегко обобщается полученная в [17] формула (3.4).Для решений, найденных в разделе 2.2.2, такая пробная функция находится легко,TΦ3 (y)Φ3 (y)+∞∫  0  0  M̂  dy = − 4 (4β 2 − 1)(−24 + 55β 2 ),77 0  0 −∞ 00(3.18)44причем этот результат оказывается меньше нуля для любых 0 < β ≤ 13 .

Какбудет показано ниже в разделе 3.2 эта конфигурация остается нестабильнойдаже с учетом нетривиальных вкладов.3.2. Калибровочно-инвариантные скалярные флуктуацииРассмотрим теперь флуктуации в модели минимально взаимодействующейс гравитацией. Флуктуации метрики hAB (X) и скалярных полей ϕ (X) и χ (X)относительно фоновых решений определяются следующим образом.gAB (X) dxA dxB = e−2ρ(y) ηµν dxµ dxν − dy 2+e−2ρ(y) hAB (X) dxA dxB ;(3.19)Φ (X) = Φ (y) + ϕ (X) ; H (X) = H (y) + χ (X) .(3.20)Поскольку четырехмерная симметрия относительно преобразований Пуанкаре не нарушена, мы выделяем соответствующую четырехмерную часть метрики hµν и вводим следующие обозначения для гравивекторов h5µ ≡ vµ и гравискаляров e−2ρ h55 ≡ S.Используя формулы, приведенные в [23, 47] мы получаем лагранжиан,квадратичный по флуктуациям следующего вида,L(2) = Lh + Lϕ,χ + LS + LV ,(3.21)где√|g|Lh ≡1 3 −2ρ { 111 αν β1− M∗ eh+hh,α h,α− hαβ,ν hαβ,ν − hαβh+,α,α ν,β,β2 (4224)}1(3.22)+ e−2ρ h′µν h′µν − h′2 ,445[√Z −2ρ|g|Lϕ,χ ≡eϕ,µ ϕ,µ + χ,µ χ,µ − e−2ρ2(  Tϕ̌ )]ϕ̌2  ′2′ 2∂ Vϕ + (χ ) +χ̌χ̌Z+ e−4ρ h′ (Φ′ ϕ + H ′ χ),2(3.23)(√)(1(,µ3 −ρ−4ρ2(e−3ρ)′ h′−h|g|LS ≡− Ze V S + S M∗3 e−2ρ hµν,µν,µ + M∗ e4))( −4ρ ′)′′−4ρ′ ′′ ′+2Z e (Φ ϕ + H χ) − 4Ze (Φ ϕ + H χ ) ,(3.24)√()′11 [|g|LV ≡ − M∗3 e−4ρ vµν v µν + v µ − M∗3 e−4ρ h,νµν − h,µ82() ]′+2Ze−4ρ (Φ′ ϕ,µ + H ′ χ,µ ) + M∗3 e−ρ e−3ρ S,µ ,(3.25)где vµν = vµ,ν − vν,µ , h = hµν η µν .Значительного упрощения можно достичь, если выделить продольные ипоперечные компоненты полей hµν и vµ , которые с точки зрения четырехмернойтеории ведут себя как компоненты с различными спинами [35, 75],hµν = bµν + Fµ,ν + Fν,µ + E,µν + ηµν ψ,vµ = vµ⊥ + ∂µ η,(3.26)причем bµν и Fµ подчиняются следующему условию,,µ⊥,µb,µµν = b = 0 = Fµ = vµ .(3.27)После выделения продольных и поперечных компонент степени свободы сразличными четырехмерными спинами отщепляются друг от друга,46√|g|L(2)()}1 3 −2ρ {µν,σ−2ρ′′ µνµνbµν,σ b−e(b )µν (b ) + fµν f= M∗ e8}3 3 −2ρ {,µ,µ−2ρ′ 2−2ρ ′ ′+ M∗ e−ψ,µ ψ + ψ,µ S + 2e (ψ ) − 4e ρ ψ S4 T {[ϕ̌ϕ̌Z+ e−2ρ ϕ,µ ϕ,µ + χ,µ χ,µ − e−2ρ (ϕ′ )2 + (χ′ )2 +   ∂ 2 V  2χ̌χ̌1+ V (Φ, H)S 2 − 4ψ ′ (Φ′ ϕ + H ′ χ)2(∂V )}∂V′ ′′ ′−S −Φ ϕ − H χ +ϕ+χ∂Φ∂H()3 3 −4ρ2Z′′′′′+ M∗ e(E − 2η) −ρ S + ψ +(Φ ϕ + H χ) ,(3.28)43M∗3где fµ ≡ Fµ′ − vµ⊥ ,fµν ≡ fµ,ν − fν,µ .Тем не менее, остаются избыточные степени свободы, поскольку действие(2.3) инвариантно относительно диффеоморфизмов.

Инфинитезимальные диффеоморфизмы соответствуют производной Ли вдоль произвольного векторногополя ζ̃ A (X), определяющего координатные преобразования X → X = X +ζ̃ (X).Если дефект в виде тонкой браны включен в нашей модели, мы рассматриваем его как частично нарушающий калибровочную симметрию относительно инфинитезимальных диффеоморфизмов. В частности для сохранения положения браны в y = 0 следует ограничить допустимые диффеоморфизмыζ̃5 |y=0 = 0.Переопределим векторную ζ̃µ = e−2ρ ζµ и скалярную части инфинитезимальных преобразований ζ̃5 = ζ5 , а также выделим продольную и поперечнуюкомпоненты в первой,ζµ = ζµ⊥ + ∂µ C,∂ µ ζµ⊥ = 0.(3.29)Тогда диффеоморфизмы соответствуют следующим инфинитезимальным ка-47либровочным преобразованиям действия квадратичного по флуктуациям,η → η − e2ρ ζ5 − C ′ ,E → E − 2C,ψ → ψ + 2ρ′ ζ5 ,S → S − 2ζ5′ ,ϕ → ϕ + Φ′ ζ5 ,χ → χ + H ′ ζ5 .(3.30)Дальнейший анализ спектра скалярных флуктуаций удобно проводить вследующих калибровочно-инвариантных переменных:e2ρη̌ = E − 2η + ′ ψ;ρH′χ̌ = χ + ′ ψ;2ρ′Φ′ϕ̌ = ϕ + ′ ψ;2ρ1ρ′′Š = S − ′ ψ ′ + ′ 2 ψ.ρ(ρ )(3.31)Важно заметить, что эти переменные могут претерпевать скачки, в противоположность исходным неинвариантным переменным.

Однако поскольку онипроисходят из ненулевых значений поля ψ и ψ ′ допустимые скачки в различныхпеременных оказываются зависимыми друг от друга и, таким образом, могутбыть ограничены.С одной стороны, если дефект отсутствует λb = 0 обращение в ноль производной метрического фактора ρ′ означает, что возможны сингулярности вη̌, ϕ̌, χ̌ ∼1yи Š ∼1y2 .Однако такие сингулярности оказываются запрещенытребованием интегрируемости действия.С другой стороны, в случае ненулевого натяжения тонкой браны λb возможные скачки в других степенях свобоны приводят к δ-образной сингулярности в Š, что снова приводит к неинтегрируемости действия. Таким образом,допустимыми являются только скачки в Š.Скалярная часть лагранжиана квадратичного по флуктуациям принимаетв калибровочно-инвариантных переменных следующий вид:48{√1|g|L(2),scal = Ze−2ρ ϕ̌,µ ϕ̌,µ + χ̌,µ χ̌,µ −2 T [ϕ̌ϕ̌−e−2ρ (ϕ̌′ )2 + (χ̌′ )2 +   ∂ 2 V  χ̌χ̌]}()1∂V∂V+ V (Φ, H)Š 2 + Š Φ′ ϕ̌′ + H ′ χ̌′ −ϕ̌ −χ̌2∂Φ∂H)3 3 −4ρ ( ′2Z′′(Φ ϕ̌ + H χ̌) ,+ M∗ e η̌ −ρ Š +43M∗3(3.32)где ∂ 2 V - матрица вторых производных потенциала по фоновым решениям.Из последней строчки следует, что поле η̌ служит калибровочно-инвариантным множителем Лагранжа и, таким образом, оказывается верной следующая калибровочно-инвариантная связь,ρ′ Š =2Z(Φ′ ϕ̌ + H ′ χ̌).33M∗(3.33)Таким образом, после разрешения этой связи остается только два независимыхскалярных поля.

Для правильной нормировки кинетического члена следует переопределить поля ψ̌ = Ωψ̂,χ̌ = Ωχ̂, где Ω = Z −1/2 eρ . После этого квадратичныйлагранжиан скалярных флуктуаций сводится к следующему виду,√1(|g|L(2),scal =∂µ ϕ̂∂ µ ϕ̂ + ∂µ χ̂∂ µ χ̂ −2 T () ϕ̂ )ϕ̂−2ρ  2′−e− ∂y + 2ρ ∂y + M̂   ,χ̂χ̂(3.34)где массовый оператор,M̂ = ∂ 2 V + M̂N P − ρ′′ + 3(ρ′ )2(3.35)причем он содержит следующий член,′ 2′ ′(Φ ) Φ H2Z′ 1  ,=(−∂+4ρ)y3M∗3ρ′ Φ′ H ′ (H ′ )2M̂N P(3.36)49который, как будет показано ниже, в общем случае может менять спектр скалярных флуктуаций непертурбативно по константе гравитационного взаимодействия.Произведем разложение флуктуаций по спектру масс,(m)∑ϕ̂(X)ϕ (y) = eρ , ∂µ ∂ µ Ψ(m) = −m2 Ψ(m) ,Ψ(m) (x) χ̂(X)χ(m) (y)m(3.37)где фактор exp(ρ) введен, чтобы устранить члены с первыми производными вуравнениях.

Таким образом, мы получаем следующие уравнения,(m)(m)() ϕϕ2′′′ 2  = e2ρ m2 ,− ∂y + M̂ − ρ + (ρ )(m)(m)χχ(3.38)Важное отличие этих уравнений от схожих уравнений в модели без гравитации(3.3) состоит в том, что спектральный параметр m2 входит в них в сущностикак коэффициент при члене, дающем вклад в потенциал. Задача сводится такимобразом к поиску спектрального параметра для которого потенциал, включающий массовый член, обладает нуль-модой. Член с экспонентой отрицателен дляm2 > 0 и, поскольку метрический фактор ρ положителен и возрастает на бесконечности, что делает потенциал неограниченным снизу. Таким образом, дляположительной массы возможно существование только квазилокализованныхрезонансных состояний с ограниченным временем жизни на бране.

Это проблема была рассмотрена в [18], где была получена квазиклассическая оценкадля вероятность квантового туннелирования для легких резонансов с массамиm ≪ M порядка ∼ exp{− κ3 ln 2Mm }. Для феноменологически допустимых значений κ ∼ 10−15 и M/m & 30 эти процессы оказываются чрезвычайно сильноподавлены. Более того, теории возмущения κ процессы распада резонансов непроявляются, поскольку точка поворота расположена в y ∼ 1/κ. Таким образом, возможно изучать резонансы как локализованные состояния в рамкахтеории возмущений.Для получения спектра мы также должны рассмотреть граничные члены,50принимая во внимание добавку Гиббонса-Хокинга [72, 137],∫√[](bound)S(2),scal = −3M∗3d4 x g (4) ρ′ Š 2 ±(3.39)boundКомбинируя условия на скачок, возникающие при вариаци этого члена, с граничными членами, возникающими при вариации членов, содержащих производные ϕ̌, χ̌, мы получаем следующие условия сшивания,[ ′ ]ρ Š ± = 0,[2∂y ϕ̌ + Φ′ Š]±= 0,[]2∂y χ̌ + H ′ Š ± = 0.(3.40)Первое условие обеспечивает выполнение связи (3.33) по обе стороны браны безскачков в ϕ̌ и χ̌.

Характеристики

Список файлов диссертации