Диссертация (1149898), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Как уже было сказано выше, для нас представляет особый интерес пограничное состояние непрерывного спектра, которое строитсяиз постоянного решения для n = 0. Оно отождествляется с решением для Φ1 ,в то время как локализованные состояния отождествляются с решениями дляостальных N − 1 = n полей. Нормировочные константы определяются из условия,−∂y2+2N∑Φ2k = −∂y2 + 2U = Qn Q†n + const(2.37)kВ отдельных случаях некоторые из констант могут оказаться равными нулю, итакое решение может быть реализовано в модели с меньшим числом полей.Решения для N = 2 были приведены в предыдущем разделе.

Решения дляN = 3 записываются как,)M(2Φ1 =3 tanh βy − 1 ,2√tanh βyΦ2 = 3M 2 − 3β 2, ∆2 = M 2 − 12 β 2 ,cosh βy√1Φ3 = 3M 2 − 12β 2, ∆3 = M 2 − 2β 2 .22 cosh βyДанное решение существует для 0 < β ≤12M,(2.38)(2.39)(2.40)причем при 2β = M реше-ние для Φ3 оказывается тривиальным и оно может быть применено к модели сдвумя полями. Однако это решение не подходит для локализации фермионов,34поскольку кинк Φ1 оказывается четной функцией.

Таким образом, нам приходится рассмотреть модель с N = 4.()M2Φ1 =tanh βy − 3 + 5 tanh βy ,2()24 cosh βy − 51√22Φ2 =6M − 6β, ∆2 = M 2 − 21 β 2 ,34cosh βy1√tanh βyΦ3 =15M 2 − 60β 2, ∆3 = M 2 − 2β 2 ,22cosh βy√11Φ4 =10M 2 − 90β 2, ∆4 = M 2 − 92 β 2 .34cosh βy(2.41)(2.42)(2.43)(2.44)Мы опять получаем ограничение 0 < β ≤ 13 M , причем при 3β = M решениедля Φ4 оказывается тривиальным и оно может быть применено к модели стремя полями. Однако как будет показано в разделе 3.1.2 данная конфигурацияоказывается к сожалению нестабильной.2.3. Поправки к решениям в двухполевой моделиДля упрощения аналитических вычислений оказывается полезным ввестиновую безразмерную координату для дополнительного измерения,τ = βy.(2.45)Мы заинтересованы в фазе с ненулевым ⟨H⟩, так как при этом появляется возможность наделить фермионы массой. Она может быть исследованапри помощи теории возмущений по параметрам κ, определяющему силу гравитационного взаимодействия со скалярными полями, µ/M , параметризующемуотклонение от критической точки, и λb /M , контролирующему натяжение тонкой браны[1, 19].35Φ(τ ) = MH(τ ) = Mρ(τ ) = κ∞∑l,m,n=0∞∑( λ )m ( µ )2nbκΦl,m,n (τ ),MM(2.46)l( λ )m ( µ )2n+1bκHl,m,n (τ ),MM(2.47)µ )2mρn+1,m (τ ),M(2.48)ll,m,n=0∞(∑nκn,m=01∆H = ∆H,c (κ) + µ2 ,2∞( )n∑1 2m λb∆m,n∆H,c (κ) = MκH ,2Mm,n=0Φn,0,0 ≡ Φn , Hn,0,0 ≡ Hn , ρn,0 ≡ ρn ,∞11 ∑ l ( λb )m ( µ )2n ( 1 )= 2κ;β2MMMβ 2 l,m,n(2.49)(2.50)(2.51)(2.52)l,m,n=0При этом следует также раскладывать пятимерную космологическую постоянную Λc .

Однако все поправки можно найти независимо от нее, а затемполучить ее значение через уравнение (2.19).Фоновые решения в фазе с ⟨H⟩ = 0 могут быть отождествленны с решениями для критической токи µ/M = 0, за исключением иного значения ∆H < ∆H,c .Таким образом, на уровне классических решений мы можем не рассматриватьэту фазу отдельно.Уравнение для первого порядка разложения Φ по κ выглядит следующимобразом,((∂τ2 + 2 − 6Φ20 )Φ1,0,01= 4ρ′1 Φ′0 − 2κβ2)Φ0 (1 − Φ20 ) ≡ G1 (τ ),(2.53)1Для дальнейших вычислений удобно заметить следующую факторизацию,(∂τ2 + 2 − 6Φ20 ) = (∂τ − 2 tanh τ )(∂τ + 2 tanh τ )(2.54)36что позволяет вычислить решение по следующей формуле,Φ1 =1cosh2 τ∫τdτ ′ cosh4 τ ′∫τ ′dτ ′′−∞01G1 (τ ).cosh2 τ ′′(2.55)Нормируемость решения фиксирует поправку к 1/β 2 .

Результат в итоге записывается как,Φ1,0,02 sinh τ,=−9 cosh3 τ(1)4,=β 2 1,0,0 3(2.56)Найдем теперь поправку для второго поля,(( ) )11,0,0(∂τ2 + 1 − 2Φ20 )H1,0,0 = −κ ∆H+H0,0,0 + 4ρ′1 H0′2β 1,0,0( )1H0 Φ20 + 4H0 Φ0 Φ1,0,0 ≡ F1 (τ ). (2.57)+2κ2β 1,0,0Снова мы можем заметить факторизуемость потенциала,(∂τ2 + 1 − 2Φ20 ) = (∂τ − tanh τ )(∂τ + tanh τ )Решение находится по следующей формуле,∫τ ′∫τ11  HH1,0 =C1,0 + dτ ′ cosh2 τ ′ dτ ′′F1 (τ ) .′′cosh τcosh τ(2.58)(2.59)00Нормируемость фиксирует сдвиг критической точки ∆H,c .

Результат выглядитследующим образом,H1,0,0 =227τ( cosh)H· C1,0,0 − 2 log cosh τ + 3 tanh2 τ ,∆1,0H = −44,27(2.60)(2.61)В присутствии браны с ненулевым натяжением фоновые поля приобретаютдополнительные поправки, которые вычисляются аналогичным образом,Φ0,1,0 = ϵ(τ )Φ̃0,1,0 (|τ |),H0,1,0 = H̃0,1,0 (|τ |)(2.62)37∆0,1H4= − (1 + 2 ln 2),3(1)= 2,β 2 0,1,0(2.63)где ϵ(τ ) - знаковая функция,Φ̃0,1,01 tanh τ (= −9 cosh2 τ + 6 cosh4 τ29 cosh τ)−6 sinh τ cosh τ − 12 cosh τ sinh τ ,3H̃0,1,0 =13 cosh τ[(2.64)5(cosh2 τ − cosh τ sinh τ )+4(ln cosh τ − τ ) cosh τ sinh τ+4(cosh2 τ − τ ) ln 2 + 4 tanh τ]−2τH+τ + 2Li2 (−e ) + C0,1,0(2.65)а Li2 - функция дилогарифма [99, с.1],∫zLi2 (z) = −ln(1 − ζ)dζ.ζ(2.66)0Мы подчеркиваем, что с учетом этих поправок первые производные фоновых′полей Φ′1,0 и H1,0остаются непрерывными.Смешанные порядки оказываются сильно подавленными для реалистичных значений параметров модели κ ∼ 10−15 и µ2 /M 2 ∼ 10−3 (см.

раздел 4.4).Соответственно, κµ2 /M 2 ≪ κ ≪ µ2 /M 2 . Таким образом, классических решений (2.29),(2.30) вместе с поправками (2.60),(2.61) достаточно для рассчетов схорошим приближением в тех случаях, когда пертурбативное разложение хорошо работает. Последнее выполняется безупречно для классических уравненийдвижения.Единственная проблема состоит в том, что константы интегрированияHHC1,0,0и C0,1,0не фиксированны в первых порядках разложения по κ, µ. Чтобынайти их, необходимо все-таки рассмотреть поправки к фоновым решениям Φи H смешанных порядков. Это оказывается возможным сделать аналитическив случае без тонкой браны.

Уравнение на Φ1,0,1 принимает вид,38(∂τ2 + 2 − 6Φ20 )Φ1,0,1 = −2Φ1,0,0 + 4Φ0 H0 H1,0,0 + 6Φ20 Φ1,0,0 + 2H02 Φ1,0,0(1)8 2′′+ H0 Φ0 + 4ρ1,0,1 Φ0 − 2 2Φ0 (1 − Φ20 ) (2.67)3β 1,0,1и имеет следующее решение,1 Li2 (−e−2τ ) − Li2 (−e2τ ) 2 tanh τΦ1,0,1 =+27[9 cosh2 τ]cosh2 ττ2 H41( 1 )26−+ C1,0,0 +ln 2 −272 β 2 1,1cosh2 τ 27 27(2.68)Уравнение на H1,0,1 выглядит следующим образом,8(∂τ2 + 1 − 2Φ20 )H1,0,1 = −2H1,0,0 (1 − Φ20 ) + H027(1)− 2H0 (1 − 2Φ20 ) + 4H0 Φ0 (Φ1,0,1 + Φ1,0,0 )β 1,0,18+6H02 H1,0,0 + H03 + 4ρ′1,0,1 H0′3(2.69)Считая H нормируемой функцией, умножив это уравнение на H0 и проинтегрировав его по τ от −∞ до +∞ мы наконец получаемHC1,0,0= −7 − 2 ln 2.(2.70)Численное вычисление дает следущий результат,HC0,1,0= +1.3081.(2.71)2.4.

Выводы ко второй главеВо второй главе нами была сформулирована модель «толстой браны» сдвумя скалярными полями, которые минимально взаимодействуют с гравитацией и с дефектом, нарушающим трансляционную симметрию, который моделируется тонкой браной. В качестве примера была рассмотрена модель с мягко нарушенной O(2)-симметрией, которая допускает две фазы с вакуумными39средними полей непостоянными в дополнительном измерении и сохраняющимичетырехмерную Лоренц-инвариантность.

Соответствующие фоновые решениябыли получены в пределе нулевой гравитации и натяжения тонкой браны, азатем для них были получены поправки по теории возмущений.Также нами было рассмотрено обобщение минимальной модели на случайнескольких полей. Был описан метод построения решений с помощью цепочкисвязанных суперсимметрией потенциалов, а также построены решения с тремяи четырьмя ненулевыми полями. На кинке в решении с тремя полями невозможна локализация фермионов, а решение с четырьмя полями, как мы увидимв следующей главе, оказывается нестабильным.40Глава 3Скалярные флуктуации3.1.

Скалярные флуктуации в модели без гравитации3.1.1. Модель с двумя полямиДля сравнения с дальнейшими результатами, рассмотрим в начале модельс двумя скалярными полями Φ и H аналогичную введенной в разделе 2.1, нобез гравитации, как это было сделано в частности в работе [17]. Определимфлуктуации полей около фоновых решений Φ(y) и H(y) как,Φ(X) = Φ(y) + ϕ(X),H(X) = H(y) + χ(X)и совершим их спектральное разложение,∑ϕm (x)ϕ(X),=Ψm χm (x)χ(X)m∂µ ∂ µ Ψm = m2 Ψm(3.1)(3.2)В этом случае, рассмотрев вторую вариацию лагранжиана, легко вывести следующее уравнение на флуктуации,ϕ(x)ϕ(x) = m2 ,M̂ χ(x)χ(x)M̂ = −∂y2 + ∂ 2 V,(3.3)где ∂ 2 V - матрица вторых производных.Минимальная модель с четверным потенциалом, рассмотренная в разделе2.1.2 в случае отсутствия гравитации была подробно исследована в работе [17].Было показано, что в этом случае,[]()22M̂ = −∂y − 2∆i + 2Φi δij + 4Φi Φj ,(3.4)ijгде)(∆i)(2= M , ∆H ,)( ) (Φi = Φ(y), H(y) .(3.5)41В фазе с ненарушенной τ -симметрией ⟨H⟩ = 0 каналы ϕ и χ становятсяневзаимодействующими и могут быть рассмотрены по отдельности.()()−∂y + 2M tanh M y ∂y + 2M tanh M y ϕ(m) = m2 ϕ(m) ,()()2M − 2∆H + −∂y + M tanh M y −∂y + M tanh M y χ(m) = m2 χ(m)(3.6)(3.7)Оба потенциала являются точно решаемыми.

В ϕ-канале существует два локализованных состояния: безмассовая мода Гольдстоуна, ассоциированная соспонтанным нарушением симметрии ϕ0 =√стояние с массой 3M .1cosh M yи тяжелое локализованное со-Единственное локализованное состояние в χ канале записывается как χ0 =1/ cosh(M y) и имеет массу m20 = M 2 −2∆H . Таким образом, в фазе с ненарушенной τ -симметрией, когда M 2 > 2∆H легчайшая скалярная флуктуация в χ канале обладает положительной массой и система стабильна. В критической точкеM 2 = 2∆H легчайшая флуктуация безмассова, а для M 2 < 2∆H ≤ 2M 2 локализованное состояние χ0 представляет собой тахион и сигнализирует о нестабильности фазы с нулевым вакуумным средним второго поля ⟨H⟩ = 0.

Вместоэтого минимум обеспечивается фазой с нарушенной τ -симметрией.Фаза с нарушенной τ -симметрией исследуется с помощью теории возмущений по параметруµM.В частности в [17] по теории возмущений нуль-моды в χбыло получено, что она приобретает массу m2 ≃ 2µ2 .Теперь мы повторим этот результат [17] в теории возмущений аналогичной той, которую мы будем использовать для модели с гравитацией в разделе3.4.2. Поскольку уравнения (2.17)-(2.20) обладают гладким пределом нулевойгравитации и нулевого натяжения браны, мы можем использовать разложения(2.46)-(2.46) положив в них κ = 0,λb = 0. Разложим флуктуации следующимобразом,42∞ (∞ (∑∑µ )kµ )k+1(m)χ =χk , ϕ =ϕk ,MMkk∞()∑ µ kGm2 = M 2(m2 )Nk ,M(m)(3.8)kТогда итерированная форма уравнений (3.3) записывается как,()()GNG−∂τ + 2 tanh τ ∂τ + 2 tanh τ ϕk + (m2 )Nk ϕ0 = Fk ,()()GNG−∂τ + tanh τ ∂τ + tanh τ χk + (m2 )Nk χ0 = Hk ,(3.9)(3.10)гдеFkN G =k∑4Φ0 H0 χl +l=0k−1 ∑k−l∑−NGHk+1=k−1∑]− 2 + 6Φ20 + 2H02 ϕ0,ll=0(m2 )0,l ϕ0,r ,l=0 r=0k∑k∑l=0l=04Φ0 H0 ϕl +−[(3.11)[]− 2 + 2Φ20 + 6H02 χ0,lk k−l+1∑∑(m2 )0,l ϕ0,r .l=1(3.12)r=0Интегрируя эти уравнения, мы получаемϕk (τ ) =1cosh2 τ∫τ01cosh2 τχk=1cosh τ∫τ ′dτ ′ cosh4 τ ′dτ ′′−∞( N G ′′)2 NG′′F(τ)−(m)ϕ(τ),0kk′′∫τ(3.13)∫τ ′dτ ′ cosh2 τ ′ dτ ′′0)1 ( N G ′′2 NG′′H(τ)−(m)χ(τ),0kkcosh τ ′′(3.14)Масса может быть получена интегрированием уравнения на χk , умноженного на χ0 , с предположением, что все порядки ϕk и χk являются нормируемы-43ми, убывающими на бесконечности функциями,∫+∞−∞ χ0 Hk dτG.(m2 )N=∫+∞ 2kdτχ−∞ 0(3.15)Вычисление дает следующий результат для следующего за главным порядка разложения массы,G(m2 )N=−2130442≈ −1.0756.121275(3.16)3.1.2.

Характеристики

Список файлов диссертации