Диссертация (1149898), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Захват легких фермионных состояний на 4-мерной гиперповерхности – доменнойстенке – «толстой бране» обеспечивается топологически нетривиальной конфигурацией скалярного поля, ⟨Φ(X)⟩0 = φ(y), которая приводит к появлениюнуль-мод в спектре 4-мерных фермионов. Для 4-мерной интерпретации уравнение (4.2) может быть разложено в бесконечный набор фермионов с различнымимассами,[ iγα ∂ α + φ(y) ][ iγα ∂ α − φ(y) ]ψ(X) ≡ (−∂µ ∂ µ − mb 2y )ψ(X) ;mb 2y = −∂y2 + φ2 (y) − γ5 φ′ (y) = mb 2+ PL + mb 2− PR ,(4.3)73где PL,R = 12 (1 ± γ5 ) - проекторы на левые и правые состояния.
Таким образом,оператор квадрата массы mb 2y состоит из двух киральных партнеровmb 2± = −∂y2 + φ2 (y) ∓ φ′ (y) = [ −∂y ± φ(z) ][ ∂z ± φ(y) ] ;mb 2+ q + = q + mb 2− ,mb 2− q − = q − mb 2+ ,q ± ≡ ∓∂y + φ(y) .(4.4)(4.5)За счет такой суперсимметрии [20–22, 54, 98, 136] при ненулевых массах левые и правые спиноры в (4.5) образуют биспинор, описывающий 4-мерную массивную Дираковскую частицу, которая, вообще говоря, не является локализованной вблизи какой-либо гиперповерхности в дополнительном измерении дляасимптотически постоянных полевых конфигураций φ(y). Спектральная эквивалентность может быть нарушена нормируемой нуль-модой одного из операторов массы mb 2± .
Эта мода выводится из уравнений (4.4) и (4.5) y ∫− ++q ψ0 (x, y) = 0 , ψ0 (x, y) = ψL (x) exp − dwφ(w) ,(4.6)y0где ψL (x) = PL ψ(x) спинор Вейля свободной частицы в 4-мерном пространствеМинковского. Очевидно, если конфигурация скалярного поля имеет подходящее асимптотическое поведение,φ(y)y→±∞∼±C± |y|ν± ,Reν± > −1 ,C± > 0 ,то волновая функция ψ0+ (x, y) нормализуема по оси y и описывает бесмассовыйлевый фермион, локализованный в окрестности доменной стенки. Если φ(y)асимптотически постоянна спектр масс Дираковских состояний имеет щель.Примером нечетной топологической конфигурации является фоновое скалярное поле в виде кинка,φ+ = M tanh(M y) .(4.7)Два массовых оператора имеют следующие потенциалы,[]mb 2+ = −∂y2 + M 2 1 − 2sech2 (M y) ;mb 2− = −∂y2 + M 2 ,(4.8)74и левая нормализованная нуль-мода локализована вблизи y = 0,ψ0+ (x, y) = ψL (x) ψ0 (y) ,ψ0 (y) ≡√M/2 sech(M y) .(4.9)Очевидно начиная с m > M спектр масс тяжелых Дираковских частиц является непрерывным.
Соответствующие волновые функции распространяются в пятое измерение. Чтобы получить легкие фермионы на бране, требуются по крайней мере два пятимерных фермиона ψ1 (X), ψ2 (X), которые обеспечивают левуюи правую компоненты четырехмерного Дираковского биспинора как нуль-моды.Нулевые моды с различной киральностью возникают для ⟨Φ(X)⟩0 = φ+ (y), если эти два фермиона спарены со скалярным полем Φ(X) с противоположнымизарядами,[ i ̸ ∂ − τ3 Φ(X) ]Ψ(X) = 0 ,̸∂ ≡ γbα ∂ α , ψ1 (X)Ψ(X) = ψ (X)2,(4.10)где γbα ≡ γα ⊗ 12 - матрицы Дирака, а τa ≡ 14 ⊗ σa , a = 1, 2, 3 - матрицыПаули, действующие на компоненты биспинора ψi (X). Следующая проблема– наделить полученную безмассовую частицу Дирака небольшой массой.
Таккак оператор массы смешивает левые и правые компоненты четырехмерногофермиона, он входит в оператор (4.10) как матрица τ1 mf . При реализации механизма порождения масс Стандартной Модели при помощи скалярных полей,требуется ввести второе скалярное поле H1 (X), которое заменяет голую масуτ1 mf −→ τ1 H1 (X) в Лагранжевой плотности [17]. Мы обобщаем этот механизм,чтобы наделить фермионы аксиальной массой, за счет ввода еще одного членаτ2 H2 (X),[2]L(5) (Ψ̄, Ψ, Φ, H) = Ψ̄(i ̸ ∂ − τ3 Φ − τ1 H1 − τ2 H2 )Ψ.(4.11)Заметим, что произвольный поворот, порождаемый матрицей τ3 ,αΨ −→ exp{i τ3 }Ψ2(4.12)75соответствует киральному преобразованию четырехмерных фермионов,αψ −→ exp{i γ5 }ψ.2(4.13)Это преобразование эквивалентно повороту,H1 −→ H1 cos α + H2 sin α,H2 −→ H2 cos α − H1 sin α(4.14)Фаза α соответствует произвольной общей фазе, которой можно наделить массы фермионов и Юкавские константы.4.2.
Нарушение сохранения CP четности в модели содним скалярным дублетомРассмотрим теперь двухполевую модель с минимальным потенциалом, введеную в разделе 2.1.2, считая что поля образуют фоновую конфигурацию снарушенной τ -симметрией. Рассмотрим следующее взаимодействие двух пятимерных фермионов со скалярным дублетом,[2] †()Ψ1Ψ1Lf = γ 0 iγα ∂ α − gA Φτ3 − g1 Hτ1 − g2 Hτ2 Ψ2Ψ2(4.15)Для изучения 4-мерной физики мы раскладываем поля в бесконечный наборфермионов с определенной 4-мерной массой, (m)(m)∑ F1L (y)ΨF (y) 1 = ψL(m) (x) + 1R ψR(m) (x)(m)(m)Ψ2F2L (y)F2R (y)m(4.16)Функции-профили могут быть представлены в виде суперпозиции следующихрешений,F1L ≡ FL , F1R ≡ FR ,F2L = ∓FR∗ , F2R = ±FL∗(4.17)Эти две серии решений могут быть связаны друг с другом через киральное преобразование ψ → γ 5 ψ.
В действительности сдвиг фазы профилей эквивалентенкиральному повороту фермионов.76Уравнения на профили для этих решений принимают вид,(∂y + gA Φ)FL − (g1 − ig2 )HFR∗ = mf FR(4.18)(−∂y + gA Φ)FR + (g1 − ig2 )HFL∗ = m∗f FL(4.19)Предполагая, что µ/M ≡ ϵ ≪ 1, мы считаем член с H малым возмущением.(∂y + gA Φ)FL = (mf )∗ FR ,(0)(0)(0)(0)(0)(0)(−∂y + gA Φ)FR = mf FL ,(4.20)Тогда в нулевом порядке нет локализованных решений с ненулевым FR ,(0)FL = N sechgA Mβ√N=(βy),(0)FR = 0,βΓ(p + 12 )√,πΓ(p)p≡(0)mf = 0gA Mβ(4.21)(4.22)Легко видеть, что FL четная функция, в то время как FR нечетная. Домножая(4.19) на (FL )∗ и интегрируя от −∞ до +∞, считая FL и FR нормируемыми(0)функциями, мы получаем главный порядок фермионной массы,∫+∞∫+∞(0) 22p+1)Hdy(F(βy)(1)L−∞−∞ dy sech=mf = (g1 + ig2 ) ∫+∞=(g+ig)µ∫12+∞2p(0) 2dysech(βy)dy|F|−∞L−∞()2Γ(p + 12 )= (g1 + ig2 )µ,Γ(p)Γ(p + 1)(4.23)Интегрированием (4.19), мы получаем следующий старший порядок для профиля правой киральной компоненты,(1)FR(1 1)32= N (g1 + ig2 )µ tanh τ cosh τ 2 F1 , − p; , tanh τ2 22(1)]31, 1 − p; , tanh2 τ ,− 22 F1pΓ (p)22p[(4.24)где 2 F1 - гипергеометрическая функция [7, с.370],2 F1 (a, b; c; x)=+∞∑(a)n (b)n xnn=0(c)nn!,(a)n =Γ(a + n)Γ(a)(4.25)77Для физики на бране при энергиях много меньше M важны только легкиелокализованные состояния.
Эффективный лагранжиан в квадратичном приближении по скалярным флуктуациям принимает вид,m2Llow = 12 ∂µ ϕ∂ µ ϕ + 12 ∂µ h∂ µ h − 2h h2 +[]†µ+iψ̄γ ∂µ ψ − ψR (mf + gϕ ϕ + gh h)ψL + h.c.(4.26)Где gϕ - константа Юкавы для возможного Гольдстоуновского бозона ϕ. В модели с гравитацией, как было показано в третьей главе, Гольдстоуновская модаможет отсутствовать. Иначе соответствующая константа оказывается равнойнулю из соображений симметрии,)∫+∞ (∗2∗ 2dy2gFFΩ+((g+ig)(F)+(g−ig)(F))ΩaLϕ,Φ12L12ϕ,HRRgϕ = −∞∫+∞22−∞ dy(|FL | + |FR | )= 0(4.27)Легкая скалярная частица играет роль Хиггс-подобного бозона с Юкавскойконстантой,∫+∞()∗2∗ 2dy2gFFΩ+((g+ig)(F)−(g−ig)(F))ΩALh,Φ12L12h,HRRgh = −∞=∫+∞2 + |F |2 )dy(|F|LR−∞√=√()2Γ(p + 12 )MM mf(g1 + ig2 )+ O(ϵ2 ) =,2ZΓ(p)Γ(p + 1)Z mh(4.28)Также как для бозона Хиггса Стандартной Модели в случае одного ароматафаза массы и Юкавской константы в главном порядке является общей и можетбыть всегда устранена киральным преобразованием ψ → eiθγ5 ψ.Однако в следующем порядке фазы массы и константы Юкавы вообщеговоря не совпадают.
Происходит это из-за того, что флуктуация Хиггс-подобного бозона действует и в канале поля Φ через взаимодействие с матрицей τ3 .вклад которого обладает определенной выделенной фазой. После диагонализации массовой матрицы, с точки зрения наблюдений эта ортогональная компонента будет играть роль CP -нарушающей компоненты константы Юкавы78бозона Хиггса. Ее главный порядок представляется в виде,∫+∞∗( µ3 )g2−∞ dy2FR FL Ωh,Φ⊥,θ=arctangh = gA sin θ ∫+∞+O.32Mgdy|F|1L−∞(4.29)Тогда отношение CP -нарушающей компоненты к CP -сохраняющей в главномпорядке можно посчитать по следующей формулеgh⊥≃gh√(Γ p+2 m3hgA sin θπ M 2 mfΓ(p)12)+∞∫(0)∗(0)(0)dy2FR FL Ωh,Φ .(4.30)−∞Эта модель может легко быть обобщена, чтобы включать несколько ароматов,†()ΨΨm,1 γ 0 iγα ∂ α − gmn,A Φτ3 − gmn,1 Hτ1 − gmn,2 Hτ2 n,1 Lf = Ψn,2Ψm,2(4.31)Поскольку константы связи допускают смешивание разных ароматов мы должны ввести массовую матрицу Mmn , которая может быть связана с матрицейCKM Стандартной Модели.
Уравнения на профили принимают вид,∗(∂y + gmn,A Φ)Fn,L − (gmn,1 − igmn,2 )HFn,R= Mmn Fn,R∗(−∂y + gmn,A Φ)Fn,R + (gmn,1 − igmn,2 )HFn,L= (M † )mn Fn,L(4.32)(4.33)в то время как низкоэнергетический лагранжиан записывается в виде,m2Llow = 12 ∂µ ϕ∂ µ ϕ + 12 ∂µ h∂ µ h − 2h h2 +[]†µ+iψ̄m γ ∂µ ψm − ψmR (Mmn + gmn,ϕ ϕ + gmn,h h)ψnL + h.c.(4.34)Если Юкавская константа для кинка Φ универсальна gmn,A = gA , то профи(0)ли Fn,L одинаковы для всех ароматов, и существует простое взаимоотношениемежду главными порядками массовой матрицы и Юкавских констат,√)2(Γ(p + 12 )M Mmn, gmn,h ≃,Mmn ≃ (gmn,1 + igmn,2 )µΓ(p)Γ(p + 1)Z mh(4.35)794.3. CP-несохранение в модели с несколькими полямиНаличие нескольких вершин взаимодействия с фермионами побуждаетрассмотреть модели, в которых за них могут отвечать разные поля.
С однойстороны, это позволяет значительно расширить возможные новые эффекты внизкоэнергетической теории, но модель при этом становится менее «элегантной», получая большое числе свободных параметров.Полученные в разделе 2.2.2 фоновые решения для модели с четырьмя полями оказались нестабильными как в модели без гравитации (см. раздел 3.1.2)так и с учетом нетривиальных вкладов (см. раздел 3.2). В связи с этим мырассмотрим теперь модель с двумя независимыми скалярными дублетами с минимальным потенциалом, введеным в разделе 2.1.2, оба из которых находятся вфазе с нарушенной τ -симметрией. В данной работе мы ограничимся следующей«игрушечной» моделью с конкретным выбором взаимодействия с фермионами, †()Ψ1Ψ1L5 = γ 0 iγα ∂ α − (g1A Φ1 + g2A Φ2 )τ3 − g1 H1 τ1 − g2 H2 τ2 +Ψ2Ψ2(()2 )111αα2 2222+Z1 2 ∂α Φ1 ∂ Φ1 + 2 ∂α H1 ∂ H1 + M1 Φ1 + ∆1 H1 − 2 Φ1 + H1+(()2 )111αα2 2222(4.36)+Z2 2 ∂α Φ2 ∂ Φ2 + 2 ∂α H2 ∂ H2 + M2 Φ2 + ∆2 H2 − 2 Φ2 + H2Поскольку скалярные дублеты независимы, они могут образовывать кинки, обращающиеся в ноль в разных точках,Φ1 = M1 tanh β1 (y − a),H1 = µ1 sechβ1 (y − a),(4.37)Φ2 = M2 tanh β2 (y + a),H2 = µ2 sechβ2 (y + a)(4.38)Заметим, что разные значения констант связи (включая Юкавские константы)ведут к асимметрии профилей фермионов и, таким образом, существенной ихлокализации в разных точках дополнительного измерения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
