Диссертация (1149805), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Здесь же подчеркнём обоснованность принятого в данной главе предположения о том, что срединный радиус можно считать постоянным во времени:rc = const. Наибольшее отклонение срединого радиуса от начального положения очевидно будет происходить при односторонней (только внутренней илитолько внешней) коррозии. Поэтому в данном пункте именно эти случаи сопоставляются с точным решением, полученным в гл. 2.На рис. 3.1 показаны зависимости σ(t) для внутренней (рис. 3.1а) и внешней коррозии (рис.
3.1б). При построении графиков на рис. 3.1 использованыследующие значения параметров: r0 = 78 [lc] и R0 = 82 [lc]; pr = 3 [pc], pR = 0;b = 0,006; ar = aR = 0,16 [lc/tc ]; значения m = mr = mR , указанные в [lc/(tc pc )],приведены на рис. 3.1 для каждой кривой.
Сплошные линии соответствуют точному решению (построенному в гл. 2), которое учитывает изменение срединного77σ, [pc ]σ, [pc ]m = 0, 015m = 0, 015m = 0, 01m = 0, 01t, [tc ]а) Зависимости σ(t) при внутреннейкоррозииt, [tc ]б) Зависимости σ(t) при внешнейкоррозииРисунок 3.1 — Зависимости σ(t) для внутренней (рис. а) и внешней коррозии(рис. б) при rc = const (точки) и rc = rc (t) (сплошная линия)радиуса: rc = rc (t), в то время как точки соответствуют решению, построенномув п. 3.1.2 в предположении неизменности срединного радиуса: rc = const.Из рис. 3.1 видно, что использование предположения, что rc = const, даётнезначительную погрешность в сравнении с точным решением.3.2Уточнённое решение задачи о механохимической коррозиитонкостенной сферыПостроенное в предыдущем параграфе решение зависит только от разности давлений ∆p = pr − pR , но не от самих значений pr и pR .
Уточним решение задачи о механохимической коррозии тонкостенной сферы таким образом,чтобы оно отражало влияние гидростатической составляющей внутреннего ивнешнего давлений p = min{pr , pR } на напряжённое состояние сферы, но приэтом сохранило достаточно компактную форму.783.2.1Постановка задачиРассмотрим тонкостенную линейно-упругую сферу, находящуюся под действием постоянного внутреннего pr и внешнего pR давления агрессивных сред.Пусть сфера подвергается равномерной коррозии изнутри и снаружи со скоростями проникновения vr и vR , которые определяются выражениями (2.43)–(2.46).
Радиусы сферы в начальный момент времени t = t0 обозначим через r0и R0, толщину — через h0 = R0 − r0 .Описание физической сути проблемы совпадает с представленным в параграфе 3.1, однако в данном случае необходимо построить решение, зависящеене только от разности внутреннего и внешнего давления ∆p, но и от самих значений pr и pR . Для этой цели необходимо построить более точное выражениедля максимального нормального напряжения σ = σ1 в тонкостенной сфере,но по-прежнему имеющее достаточно простую форму благодаря допущениюh/rc ≪ 1.Также требуется провести анализ выведенных формул и их сопоставлениес решениями, основанными•на решении задачи Ламе для толстостенной сферы (см.
параграф 2.3);•на классической «котельной» формуле (параграф 3.1),для оценки точности предложенной модели и проверки целесообразности уточнения решения.3.2.2Решение задачиУточнённые выражения для максимального нормального напряжения втонкостенной сфере получим на основе точного решения задачи Ламе о толстостенной сфере. Для этого перепишем формулы (2.2) и (2.3), с использованиемсоотношений, связывающих радиусы сферы в любой момент времени r = r(t)79и R = R(t) с текущими значениями толщины h и радиуса rc :hhr = rc − , R = rc + .22(3.10)Подстановка (3.10) в выражения для напряжений (2.2) и (2.3) даст2pr [rc − h/2]3 + (pr − 3pR )[rc + h/2]3;σ1(r) =2 ([rc + h/2]3 − [rc − h/2]3)(3.11)(3pr − pR )[rc − h/2]3 − 2pR [rc + h/2]3.σ1(R) =2 ([rc + h/2]3 − [rc − h/2]3)(3.12)Отметим, что в общем случае срединный радиус rc меняется со временем,однако, как было показано в параграфе 3.1, для тонкостенной сферы изменением rc со временем можно пренебречь.
Поэтому здесь и далее будем полагатьrc = const.В числителях и знаменателях правых частей (3.11) и (3.12) вынесем заскобки rc3 и проведём преобразования, пренебрегая членами, содержащими h/rcв степенях выше первой, по сравнению с единицей. При этом первую степеньотношения h/rc сохраним, что и позволит учитывать влияние величин pr и pR . Врезультате «уточнённые» окружные напряжения на поверхностях тонкостеннойсферы будут иметь видσ1 (r) =∆prc pr + 3pR−,2h4(3.13)∆prc 3pr + pR−.(3.14)2h4Пусть в начальный момент времени t = t0 напряжения (3.13) и (3.14) поσ1(R) =абсолютному значению меньше соответствующих пороговых значений, то естьвыполнены соотношения (2.42).
В таком случае, как и ранее, разделим задачуна три подзадачи. Рассмотрим и решим каждую из них по отдельности.Будем использовать максимальное (по абсолютному значению) нормальное напряжение, т. е. напряжение на внутренней поверхности сферы σ1(r), вкачестве основной переменной, обозначив его через σ: σ = σ1(r).Как и в предыдущем параграфе, обозначим моменты начала стадий через tI = t0 , tII и tIII , а соответствующие напряжения σ через σ I , σ II ,80 и σ III . При этом σ I = σ 0, σ II = min σrth , σRth + ∆p/2 и σ III = max σrth , σRth + ∆p/2 .
Толщину сферы h в моменты начала соответству-ющих стадий обозначим h|t=tI = hI , h|t=tII = hII , h|t=tIII = hIII .Из (3.13) выразим h через основную переменную σ:h=2∆prc.4σ + pr + 3pR(3.15)Первая стадия: двусторонний чистый коррозионный износНа этой стадии скорости коррозии определяются формулами (2.43)и (2.44), радиусы сферы r и R в любой момент первой стадии определяютсясоотношениями (2.50) и (2.51).Зависимость h(t) для этого случая имеет вид (3.3). Момент tII началавторой стадии определяется из (3.3), в котором h = hII .Подставляя (3.15) в (3.3) и проводя некоторые преобразования, получим∆prc8(σ − σ 0)1·t = − ln exp(−b t0 ) − b 0. (3.16)bvR + vr0 (4σ 0 + pr + 3pR )(4σ + pr + 3pR )Подстановка σ = σ II в (3.16) позволяет найти момент tII начала второйстадии.Вторая стадия: внутренний механохимический износВ данном случае скорости коррозии vr и vR определяются соотношениями (2.45) и (2.44).
Внешний радиус сферы R в любой момент второй стадииопределяется из (2.53).Основное дифференциальное уравнение может быть записано в виде (3.5)при3pRи M = mr .(3.17)4Начальное условие, которому должно удовлетворять решение уравнения (3.5)A = vR0 + ar − Mпри t = tII имеет вид (3.6). Решение, удовлетворяющее этому условию даётсясоотношением (3.7), а связь между напряжением σ и временем t — соотношением (3.8), в которых постоянные A и M определяются из (3.17).81Вторая стадия: внешний механохимический износНа данной стадии скорости коррозии vr и vR определяются соотношениями (2.43) и (2.46), внутренний радиус — соотношением (2.57).Дифференциальное уравнение для этого случая имеет вид (3.5) приA = vR0 + ar − M3prи M = mR .4(3.18)Решение уравнения (3.5), удовлетворяющее начальному условию (3.6), даётся формулой (3.7), в которой A и M определяются из (3.18).
Подстановка (3.18) в (3.8) позволяется найти связь между напряжением σ и временемt.Третья стадия: двусторонняя механохимическая коррозияВ данном случае скорости коррозии определяются соотношениями (2.45)и (2.46). Складывая эти выражения и используя соотношения для напряжений (3.13) и (3.14), получим основное дифференциальное уравнение в виде (3.5),гдеA = ar + aR −mr (pr + 3pR ) + mR (3pr + pR )и M = mr + mR .4(3.19)Начальное условие, которому должно удовлетворять решение уравнения(3.5) в момент времени t = tIII — имеет вид (3.9). Это решение даётся формулой (3.7), в которой необходимо заменить tII , hII и σ II на tIII , hIII и σ III , атакже произвести замену (3.19).Как показано, построенное уточнённое решение имеет форму не просто несложнее, а точно такую же, как и решение, основанное на «котельной» формуле(приведённое в параграфе 3.1), отличаясь от него лишь двумя постоянными.3.2.3Результаты расчётовВ данном пункте сопоставляются результаты расчётов, произведённые поформулам, полученным на основе82•решения задачи Ламе для толстостенной сферы (параграф 2.3);•«котельной» формулы (параграф 3.1);•уточнённого решения, полученного в предыдущем пункте.На рис.
3.2 приведены графики зависимостей σ(t), построенные для дву-сторонней механохимической коррозии сферы с использованием трёх указанных моделей. При построении использованы шесть пар значений внутреннего ивнешнего давлений, таких, что модуль разности давлений одинаков для каждойиз рассматриваемых пар и равен |∆p| = 3 [pc]:• pr = 3 [pc], pR = 0 [pc] (кривые «5» на рис. 3.2);• pr = 9 [pc], pR = 6 [pc] (кривые «6»);• pr = 15 [pc], pR = 12 [pc] (кривые «7»);• pr = 0 [pc], pR = 3 [pc] (кривые «3»);• pr = 6 [pc], pR = 9 [pc] (кривые «2»);• pr = 12 [pc], pR = 15 [pc] (кривые «1»).Остальные значения параметров выбраны следующими: r0 = 70 [lc] и R0 =75 [lc], b = 0, |mr | = |mR | = 0,008 [lc/(tcpc )] и ar = aR = 0,16 [lc/tc ].Для решения, основанного на «котельной» формуле (данного в параграфе 3.1), всем шести указанным наборам давлений естественно соответствуетединственная кривая; на рис.
3.2 это пунктирная линия «4». Сплошные линиипостроены по формулам, основанным на решении задачи Ламе для толстостенной сферы (из параграфа 2.3). Ромбики соответствуют новой модели для тонкостенной сферы (представленной в данном параграфе).Из рис. 3.2 видно, что при увеличении гидростатической составляющейp = min{pr , pR } внутреннего и внешнего давлений возрастает погрешность,которую даёт решение, основанное на «котельной» формуле, по сравнению сточным решением, основанным на решении Ламе для толстостенной сферы.Причём при pr < pR долговечность, расчитанная в рамках классической модели для тонкостенной сферы, оказывается завышенной по сравнению с долговечностью, прогнозируемой в рамках точного решения (что может привестик опасным последствиям). В то же время при pr > pR решение, рассчитанное в рамках классической модели для тонкостенной сферы, даёт заниженныепрогнозы (и соотвтетственно, предполагает завышенный расход материала).83|σ|, [pc ]1234567t, [tc ]Рисунок 3.2 — Зависимости |σ(t)| для различных моделей, основанных нарешении Ламе (сплошные линии); «котельной» формуле (пунктирная линия);уточнённом решении (ромбики), при pr = 12 [pc], pR = 15 [pc] (кривые «1» и«4»); pr = 6 [pc], pR = 9 [pc] (кривые «2» и «4»); pr = 0 [pc], pR = 3 [pc] (кривые«3» и «4»); pr = 3 [pc], pR = 0 [pc] (кривые «5» и «4»); pr = 9 [pc], pR = 6 [pc](кривые «6» и «4»); pr = 15 [pc], pR = 12 [pc] (кривые «7» и «4»)Полученное в данном параграфе уточнённое решение практически совпадает с решением, основанном на решении Ламе, при любых гидростатическихдавлениях p, как для случая pr < pR , так и для pr < pR (при h/rc < 1/20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
