Диссертация (1149805), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть сфера подвергается равномерной коррозии изнутри и снаружи; скорости проникновения коррозии vr и vR задаются48соотношениями (2.43)–(2.46). Внутренний и внешний радиусы сферы в начальный момент времени t = t0 обозначим через r0 и R0 .
Будем считать, что напряжённое состояние в теле в любой момент времени определяется решениемзадачи Ламе для толстостенной сферы под давлением (2.1). Максимальное нормальное напряжение на соответствующей поверхности сферы σ1 определяетсяформулами (2.2) и (2.3).В общем случае, когда выполняются соотношения (2.42) сфера не сразуподвергается механохимической коррозии, а начинает корродировать со скоростями, не зависящими от напряжений и определяемыми формулами (2.43)и (2.44). В процессе коррозии толщина сферы уменьшается, что приводит кувеличению напряжений (по абсолютному значению).
В момент, когда одно изнапряжений σ1(r) или σ1(R) достигает своего порогового значения, на соответствующей поверхности сферы «проявляется» механохимический эффект. Другими словами, начиная с этого момента одна из поверхностей сферы подвергается механохимической коррозии, другая — «чистому» (простому) коррозионномуизносу (при этом скорости определяются формулами (2.43) и (2.46) или (2.45)и (2.44)). Когда напряжения на обеих поверхностях превышают пороговые значения, обе скорости коррозии vr и vR зависят от механических напряжений (иопределяются формулами (2.45) и (2.46)).Таким образом, в общем случае задача может быть разделена на три подзадачи или три стадии:• двусторонний «чистый» (простой) коррозионный износ;• комбинированный механохимический износ (на одной поверхности) и«чистый» коррозионный износ (на другой поверхности):•внутренняя механохимическая коррозия и внешний простой корро-зионный износ;•внутренний простой коррозионный износ и внешняя механохимиче-ская коррозия;• двусторонняя механохимическая коррозия.Задача состоит в нахождении напряжений и размеров сферы в любой момент времени t > t0 .492.3.2Вывод и решение основного уравненияПусть в начальный момент времени t = t0 выполнено соотношение (2.42).В таком случае целесообразно разделить рассматриваемую задачу на три подзадачи или стадии и решить каждую из них по отдельности.
Очевидно, чторешения для первых двух стадий являются частными случаями общего решения для двустороннего механохимического износа, когда постоянные mr и/илиmR равны нулю. Тем не менее, целесообразно выписать эти решения отдельно,поскольку они имеют более простой вид по сравнению с решением для третьейстадии и более удобны в применении.Обозначим моменты начала каждой из стадий через tI , tII и tIII соответственно.При выводе основного уравнения будем использовать максимальное нормальное напряжение на внутренней поверхности сферы σ = σ1(r) в качествеосновной переменной.
Пусть σ I , σ II и σ III — значения σ в моменты tI , tII и tIIIсоответственно.Если выполняются неравенства (2.42), то tI = t0 и σ I = σ10 (r) = σ1(r)|t=0.В силу того что напряжения на поверхностях сферы в любой момент времени связаны соотношением (2.7), можно вычислить значение σ = σ1(r) в тотмомент, когда σ1 (R) = σRth :thσ|t=tth=σ+ ∆p/2.RR(2.47)Другими словами, механохимический эффект на внешней поверхности проявляется начиная с того момента, когда напряжение σ на внутренней поверхностистановится равно величине σRth + ∆p/2.Таким образом, с использованием (2.47) можно записать II σ = min{σrth , σRth + ∆p/2}; III σ = max{σ th , σ th + ∆p/2}.rR(2.48)(2.49)50Если в начальный момент времени одно (и только одно) из напряженийσ10(r) или σ10(R) превышает соответствующее пороговое, т.
е.:или 0 th σ1 (r) > σr & σ10 (R) < σRth 0 th σ1 (r) < σr & σ10 (R) > σRth ,тогда начиная с момента t = t0 сфера подвергается комбинированному механохимическому и чистому коррозионному износу. Другими словами, минуяпервую стадию, сразу оказывается во второй: tII = t0 , σ II = σ10 (r); при этомσ III по-прежнему определяется формулой (2.49). В данном случае считаем, чтодлительность первой стадии нулевая.Если напряжения на обеих поверхностях уже в начальный момент превосходят пороговые значения (оба неравенства (2.42) не выполняются), то tIII = t0и σ III = σ10(r) (длительность первой и второй стадий нулевая). Этот случайрассмотрен в параграфе 2.1.Если, не зависимо от значений начальных напряжений, выполняется равенство σrth = σRth + ∆p/2, т.
е. пороговые напряжения на обеих поверхностяхдостигаются одновременно, то σ II = σ III и момент перехода во вторую стадиюсовпадает с моментом перехода в третью стадию: tII = tIII , т. е. длительностьвторой стадии нулевая. Таким образом, после двустороннего чистого коррозионного износа, без «промежуточной» (второй) стадии, сразу начинается двусторонний механохимический износ.Первая стадия: двусторонний чистый коррозионный износПри двустороннем чистом коррозионном износе скорости коррозии определяются формулами (2.43) и (2.44).
Интегрируя эти соотношения с начальными условиями r(t0) = r0 и R(t0) = R0 , найдём выражения для радиусов сферыв любой момент первой стадии t ∈ tI ; tII :r(t) = r0 +vr0[exp (−bt0) − exp (−bt)] ;bvR0R(t) = R0 −[exp (−bt0 ) − exp (−bt)] .b(2.50)(2.51)51Подставляя (2.50) и (2.51) в формулу (2.2), можно получить зависимостьмежду значениями напряжения на внутренней поверхности сферы σ = σ1(r)и временем t. Эта зависимость позволяет найти момент времени t∗ , в которыйнапряжение σ достигает некоторой заданной величины σ ∗. Например, момент,соответствующий окончанию первой стадии и началу второй — значение tII ,при котором σ = σ II :tII1r0(2σ II + 2pr )1/3 − R0 (2σ II − pr + 3pR )1/3.= − ln exp (−bt0) + b 0bvr (2σ II + 2pr )1/3 + vR0 (2σ II − pr + 3pR )1/3(2.52)Вторая стадия: комбинированный механохимический и чистыйкоррозионный износДля второй — «смешанной» — стадии возможны два варианта:• внутренняя механохимическая коррозия и наружный коррозионный из нос (имеет место при σrth < σ th + ∆p/2 = σ III ); в данном случаеRmR = 0;• внутренний коррозионный износ и наружная механохимическая корро зия (имеет место при σ th + ∆p/2 < σrth = σ III ); в данном случаеRmr = 0.Для каждого из этих случаев время начала стадии tII определяется соотношениями (2.52) и (2.48), если выполняется неравенство 0 σ (r) 6 min σ th , σ th + ∆p/2 ,1rRи tI = tII = t0 — в противном случае.•Первый случай: Внутренняя механохимическая коррозияВ данном случае напряжение σ II , соответствующее началу стадии, опре II 0 th = max σ1 (r) , σr .
Обозначим величинуделеяется соотношением σвнешнего радиуса сферы, соответствующую моменту t = tII начала стадии,через RII . Скорости коррозии определяются соотношениями (2.45) и (2.44). Интегрируя выражение (2.44) с начальным условием R(tII ) = RII , найдём выражение для внешнего радиуса сферы в любой момент второй стадии:R(t) = RII − vR0 exp(−btII ) − exp(−bt) /b, t ∈ tII ; tIII .(2.53)52Дифференцируя (2.10) по времени t, после преобразований с использованием (2.5), (2.53) и (2.9), получим обыкновенное дифференциальное уравнение:b(2σ − pr + 3pR )2/3(2σ + 2pr ) exp (−bt)dσ=×dt2∆p (RII b − vR0 [exp(−b tII ) − exp(−bt)])1/301/3× (ar + mr σ)(2σ + 2pr ) + vR (2σ − pr + 3pR ). (2.54)Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию R(tII ) = RII , можетбыть записано в видеII Rb1t = − ln exp −b tII + 0 exp −JvR0 − 1 ,bvRгдеJ = J(σ) = 2∆pZσσ II(2.55)1×(2σ − pr + 3pR )2/3(2σ + 2pr )×dσ. (2.56)(ar + mr σ)(2σ + 2pr )1/3 + vR0 (2σ − pr + 3pR )1/3•Второй случай: наружная механохимическая коррозия Пусть теперь σ II = max σ10 (r) , σRth + (pr − pR )/2 .
Внутренний ра-диус сферы r в момент начала стадии t = tII обозначим за rII . Скорости коррозии в данном случае определяются соотношениями (2.43) и (2.46). Интегрируяуравнение (2.43) с начальным условием r(tII ) = rII , получим выражение длявнутреннего радиуса в любой момент второй стадии:r(t) = rII + vr0 exp (−b tII ) − exp (−bt) /b, t ∈ tII ; tIII .(2.57)Действуя по алгоритму, изложенному в предыдущем пункте, получим основное дифференциальное уравнениеb(2σ − pr + 3pR )(2σ + 2pr )2/3 exp (−bt)dσ×=dt2∆p (rII b + vr0 [exp (−b tII ) − exp (−bt)])1/301/3.× (AR + mR σ)(2σ − pr + 3pR ) + vr (2σ + 2pr )53Решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условиюr(tII ) = rII , может быть представлено в видегдеIIrb1,t = − ln exp −b tII + 0 1 − exp Jvr0bvrJ = J(σ) = 2∆pZσσ II(2.58)1×(2σ − pr + 3pR )(2σ + 2pr )2/3×dσ.
(2.59)(AR + mR σ)(2σ − pr + 3pR )1/3 + vr0 (2σ + 2pr )1/3Третья стадия: двусторонняя механохимическая коррозияНапряжение, соответствующее началу третьей стадии: III σ = max σ10 (r) , σrth , σRth + ∆p/2 .Если выполняется условие 0 σ (r) 6 max σ th , σ th + ∆p/2 ,1rR(2.60)то момент tIII определяется соотношениями (2.55) и (2.56) или (2.58) и (2.59),в которых в качестве σ используется σ III . Если условие (2.60) не выполняется, то, минуя первую и вторую стадии, сфера подвергается механохимическойкоррозии уже в начальный момент времени: tI = tII = tIII = t0 .Обозначим внешний и внутренний радиусы сферы в момент начала третьей стадии t = tIII через RIII = R(tIII ) и rIII = r(tIII ) соответственно. Скорости проникновения коррозии определяются выражениями (2.45) и (2.46).Данная задача отличается от задачи, решённой в параграфе 2.1, тольконачальными условиями.
Поэтому решение для третьей стадии совпадает с решением, полученным в параграфе 2.1, и описывается уравнениями (2.22)–(2.24), вкоторых нужно заменить r0 , R0 , σ 0 и t0 на rIII , RIII , σ III и tIII соответственно.54Случаи односторонней коррозииЕсли при односторонней коррозии напряжение на корродирующей поверхности сферы в начальный момент времени меньше (по абсолютной величине)соответствующего порогового значения, то задача делится на две стадии: односторонний чистый коррозионный износ и односторонний механохимическийизнос.При внутренней коррозии на стадии чистого коррозионного износа связьмежду σ и t определяется соотношением (2.52), в котором R0 = R = constи vR0 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
