Диссертация (1149805), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть выполняются соотношения 0 th 0 σ (r) > σ ; σ (R) > σ th .1r1R(2.4)Будем считать, что в данной системе металл–среда скорости коррозииопределяются соотношениями [5; 9]:vr =dr= [ar + mr σe(r)] exp(−bt);dt(2.5)dR= [aR + mR σe (R)] exp(−bt).(2.6)dtЗдесь ar , aR , mr и mR — кинетические постоянные и b — коэффициент затухаvR = −ния коррозии определяются опытным путём, σe — эквивалентное напряжение.Знак постоянных mr и mR совпадает со знаком соответствующего эквивалентного напряжения: sign mr = sign σe(r), sign mR = sign σe (R).Задача состоит в определении напряжённого состояния в сфере, а такжезначений радиусов r и R в любой момент времени t.2.1.2Вывод и решение основного дифференциального уравненияПоставленная задача сводится к решению системы из четырёх уравнений (2.2)–(2.6) относительно четырёх взаимозависимых переменных во временивеличин σe(r) = σ1(r), σe(R) = σ1(R), r и R.
Выразим все эти величины черезкакую-либо одну.Поскольку максимальным (по абсолютному значению) является напряжение на внутренней поверхности сферы, целесообразно следить за изменениемименно этой величины. Поэтому будем использовать σ1(r) в качестве основнойпеременной, обозначив её через σ : σ = σ1(r). Воспользовавшись соотношения-29ми (2.2) и (2.3), выразим напряжение на наружной поверхности через σ:(2.7)σ1(R) = σ1 (r) − ∆p/2 = σ − ∆p/2,где ∆p = pr − pR .
Теперь выражение (2.6) может быть переписано в видеvR = −dR= [AR + mR σ] exp(−bt),dt(2.8)где AR = aR − mR ∆p/2.Для дальнейших преобразований удобно ввести новую переменную:η = η(t) =R.r(2.9)С учётом (2.9), выражение для напряжения на внутренней поверхностисферы (2.2) имеет вид2pr + (pr − 3pR )η 3.σ = σ1(r) =2(η 3 − 1)(2.10)Отсюда можно получить обратную зависимостьη=r32σ + 2pr.2σ − pr + 3pR(2.11)Дифференцируя выражение (2.2) по времени t, после преобразований сиспользованием (2.5), (2.8) и (2.9) получимdσ(2σ − pr + 3pR )(2σ + 2pr )2/3=(2σ − pr + 3pR )1/3[AR + mR σ] +dt2r∆p!+ (2σ + 2pr )1/3[ar + mr σ]exp(−bt). (2.12)Для того, чтобы исключить r в соотношении (2.12), выразим σ из (2.5) и (2.8)и приравняем друг другу. Интегрирование полученного равенства по времени30t от t0 до t дастmR (r − r0 ) + mr (R − R0 ) = (mR ar − mr AR ) [exp(−bt0) − exp(−bt)] /b, b 6= 0;(2.13)mR (r − r0) + mr (R − R0) = (mR ar − mr AR ) (t − t0 ), b = 0.(2.14)Далее, проводя преобразования с использованием (2.9), выведем соотношение, связывающее изменяющийся внутренний радиус r с переменной η в любой момент времени:r=b(mR r0 + mr R0) + (mR ar − mr AR ) [exp(−bt0) − exp(−bt)], b 6= 0; (2.15)b(mR + ηmr )r=(mR r0 + mr R0 ) + (mR ar − mr AR ) (t − t0 ), b = 0.mR + ηmr(2.16)Подстановка (2.11) в (2.15) или (2.16) даст выражение, связывающее r снапряжением σ в видеr = (2σ−pr +3pR )1/3b(mR r0 + mr R0 ) + (mR ar − mr AR ) [exp(−bt0) − exp(−bt)],b[mr (2σ + 2pr )1/3 + mR (2σ − pr + 3pR )1/3]b 6= 0; (2.17)r = (2σ − pr + 3pR )1/3mR r0 + mr R0 + (mR ar − mr AR ) (t − t0 ), b = 0.
(2.18)mr (2σ + 2pr )1/3 + mR (2σ − pr + 3pR )1/3Подставляя (2.17) или (2.18) в (2.12), получим разрешающее дифференциальное уравнение относительно одной переменной(2σ − pr + 3pR )2/3(2σ + 2pr )2/3b exp(−bt)dσ=×dt2(pr − pR )1/31/3×× mr (2σ + 2pr ) + mR (2σ − pr + 3pR )(AR + mR σ)(2σ − pr + 3pR )1/3 + (ar + mr σ)(2σ + 2pr )1/3, b 6= 0; (2.19)×b(mR r0 + mr R0 ) + (mR ar − mr AR ) [exp(−bt0) − exp(−bt)]31или(2σ − pr + 3pR )2/3(2σ + 2pr )2/3dσ=×dt2(pr − pR )1/31/3× mr (2σ + 2pr ) + mR (2σ − pr + 3pR )××(AR + mR σ)(2σ − pr + 3pR )1/3 + (ar + mr σ)(2σ + 2pr )1/3, b = 0.
(2.20)mR r0 + mr R0 + (mR ar − mr AR ) [t − t0 ]Таким образом, задача сведена к одному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка относительно максимального нормальногонапряжения σ = σ1(r), как для случая затухающей коррозии b 6= 0, так и дляслучая b = 0. Начальное условие, которому должны удовлетворять решенияуравнений (2.19) и (2.20) при t = t0 , формулируется на основе (2.2):2pr r03 + (pr − 3pR )R03σ =.2(R03 − r03)0(2.21)Для решения уравнений (2.19) и (2.20) разделим переменные и проинтегрируем по t от t0 до t и по σ от σ 0 до σ.В случае, если выражение mR ar − mr AR не обращается в нуль, решениеможет быть записано в следующим образомmR r0 + mr R01[1 − exp(J(mR ar − mr AR ))] , b 6= 0;t = − ln exp(−bt0) + bbmR ar − mr AR(2.22)mR r0 + mr R0t = t0 +[exp(J(mR ar − mr AR )) − 1], b = 0,(2.23)mR ar − mr ARгдеJ = J(σ) = 2∆pZσσ0×1×(2σ − pr + 3pR )2/3(2σ + 2pr )2/31×(AR + mR σ)(2σ − pr + 3pR )1/3 + (ar + mr σ)(2σ + 2pr )1/3dσ×.
(2.24)mr (2σ + 2pr )1/3 + mR (2σ − pr + 3pR )1/3Здесь σ 0 определяется из (2.21).32В случае, если выполняется соотношение mR ar −mr AR = 0, решение упрощается:1t = − ln {exp(−bt0 ) − bJ[mR r0 + mr R0 ]} , b 6= 0;bt = t0 + J[mR r0 + mr R0 ], b = 0,(2.25)(2.26)где J также определяется по формуле (2.24).Решения (2.22)–(2.26) задают взаимно-однозначное соответствие междукаждым моментом времени t и напряжением σ. Найдя соответствующие другдругу σ и t, по формулам (2.17) или (2.18) определим внутренний радиус r длякаждой пары σ и t.
После этого значение внешнего радиуса R можно получить,выразив его из (2.2):R=rr32σ + 2pr.2σ − pr + 3pR(2.27)Зная размеры сферы в любой момент времени, можно определить все компоненты напряжений по формулам (2.1).Отметим, что в решениях (2.22) и (2.25) необходимо выбирать вещественные ветви логарифма (т. е. подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля), при этом те случаи, когда подлогарифмическое выражение большелибо равно единице, соответствуют мгновенному разрушению конструкции.Замечание.
Приведённые выше выражения для ненулевого коэффициентазатухания коррозии b 6= 0 могут быть сведены к соответствующим выражениямдля b = 0 с помощью разложения логарифма в ряд Тейлора. Приведём примертакого разложения для соотношения (2.25) и покажем, что оно равносильносоотношению (2.26).Для того, чтобы воспользоваться формулой разложения функции ln(1+a)в ряд Тейлора, перепишем (2.25) в виде1t=−bbJ[mR r0 + mr R0 ]−bt0 + ln 1 −.exp(−bt0)(2.28)33После разложения логарифмического слагаемого в (2.28) в ряд Тейлораполучим1t≈−bJ[mR r0 + mr R0]bJ[mR r0 + mr R0 ]+ ...= t0 ++ ...−bt0 + −exp(−bt0)exp(−bt0)(2.29)Как видно, подстановка b = 0 в (2.29) приводит к формуле (2.26).Таким образом, показано, что решение для b = 0 является частным случаем общего решения при b 6= 0.
Поэтому далее в работе будут приведены тольковыражения для общего случая, т. е. для b 6= 0.В некоторых случаях удобно, чтобы основное дифференциальное уравнение было выведено относительно геометрической величины η = R/r в качествеосновной переменной. Для этого продифференцируем (2.9) по t с использованием (2.10):dη1=dtrdrdR−ηdtdt= −exp(−bt)AR + mR σ + η[ar + mr σ].r(2.30)Подставляя (2.10) и выражение для внутреннего радиуса (2.15) в (2.30),после некоторых преобразований получим разрешающее дифференциальноеуравнение в другом виде — относительно переменной η: 32(η − 1)(AR + ηar ) + (mR + ηmr )(2pr + (pr − 3pR )η 3 )dη=−×dt{b(mR r0 + mr R0 ) + (mR ar − mr AR ) [exp(−bt0 ) − exp(−bt)]}(mR + ηmr )b exp(−bt).
(2.31)×(η 3 − 1)Начальное условие, которое должно быть выполнено при t = t0 , имеет видη0 =R0.r0(2.32)В зависимости от значения выражения mR ar − mr AR и коэффициента затухания b решение уравнения (2.31), удовлетворяющее начальному условию (2.32), даётся одним из соотношений (2.22), (2.23), (2.25) или (2.26), в ко-34торых, однакоJ = J(η) = −2Zηη0(η 3 − 1)×[2(η 3 − 1)(AR + ηar ) + (mR + ηmr )(2pr + (pr − 3pR )η 3)]×dη. (2.33)(mR + ηmr )Для каждой пары η и t внутренний радиус сферы можно найти с помощью (2.15), далее — внешний радиус — из соотношения (2.9), и, наконец —напряжение σ по формуле (2.10). Зная размеры сферы в любой момент времени,можно определить все компоненты напряжений по формулам (2.1).2.1.3Случаи односторонней коррозииРассмотрим два частных случая односторонней коррозии: внутреннюю ивнешнюю коррозию.Внутренняя коррозия.
В таком случае скорость коррозии на внешней поверхности равна нулю, следовательно R(t) = R0 = const; скорость коррозионного растворения с внутренней стороны vr определяется формулой (2.5). Вданном случае целесообразно составить основное дифференциальное уравнение относительно изменяющегося внутреннего радиуса r. Это уравнение будетиметь вид2pr r3 + (pr − 3pR )R03dr= ar + mrexp(−bt).dt2(R03 − r3 )(2.34)1t = − ln(exp(−bt0 ) − bJ).b(2.35)Разделяя переменные и интегрируя, получим его аналитическое решение:ЗдесьJ = J(r) = 2Zrr0R03 − r3dr.2pr mr r3 − 3pR mr R03 + pr mr R03 + 2ar (R3 − r3 )(2.36)35Внешняя коррозия.
Для этого случая vr = 0, и поэтому r(t) = r0 = const,в то время как vR определяется формулой (2.6). Основное дифференциальноеуравнение может быть записано в виде2pr r03 + (pr − 3pR )R3dR= − aR + mRexp(−bt).dt2(R3 − r03 )(2.37)Аналитическое решение этого уравнения имеет вид (2.35), однако в этомслучаеJ = J(R) = −2ZRR0R3 − r03dR.2R3 (aR − mR pR ) + r03 (mR pR + 3mR pr − 2aR )(2.38)Отметим, что соотношения (2.24), (2.33), (2.36) и (2.38) могут быть проинтегрированы в явном виде, однако их выражения в явном виде здесь не приведены ввиду их громоздкости.2.1.4Результаты расчётовВ данном параграфе и во всей работе все числовые значения приводятсяв условных единицах, поскольку при описании экспериментальных данных ив инженерных расчётах используют различные единицы измерения, часто невходящие в систему СИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
