Диссертация (1149805), страница 10
Текст из файла (страница 10)
На стадии механохимического износа решение даётся выражением (2.55) при R0 = R = const и vR0 = 0.Для случая внешней коррози на стадии чистого коррозионного износасвязь между σ и t определяется соотношением (2.52), в котором r0 = r = const иvr0 = 0. На стадии механохимического износа решение даётся выражением (2.58)при r0 = r = const и vr0 = 0.2.3.3Результаты расчётовВлияние пороговых напряжений σrth и σRth на характер зависимостей между σ и t показано на рис. 2.10 и 2.11.
Графики построены для следующих значений постоянных R0 = 100 [lc]; r0 = 82 [lc]; pr = 2 [pc]; pR = 1 [pc]; b = 0,002;mr = mR = 0,0008 [lc/(tcpc )] и vr0 = vR0 = 0,32 [lc/tc].Сплошные линии на рис. 2.10 и 2.11 (кривые «1», «2», «4» и «7») соответствуют зависимостям σ(t) для сферы, которая проходит только одну из трёхстадий: или стадию двустороннего чистого коррозионного износа (первую стадию), или стадию односторонней механохимической коррозии (вторую), илистадию двусторонней механохимической коррозии (третью).
Пунктирные линии (кривые «3» и «6») показывают случаи, когда сфера проходит две из трёхвозможных стадий. Штрих-пунктирная линия (кривая «5») соответствует последовательному прохождению всех трёх стадий.Кривые «1» и «2» на рис. 2.10 описывают зависимости σ(t), когда сферапроходит только третью стадию, при σ10 (r) ≥ σrth & σ10(R) ≥ σRth . Кри-55вая «1» построена для нулевых пороговых значений напряжений: σrth = σRth = 0,в то время как кривая «2» — для σrth = σRth + ∆p/2 = σ10 (r). При построениикривой «4», описывающей случай только второй стадии (внутренней механохимической коррозии и внешнего коррозионного износа), было использованоσrth = σ10 (r) и «бесконечное» σRth («бесконечное» здесь понимается в том смысле, что оно больше, чем допустимое эксплуатационное напряжение).
Кривая «7»соответствует только первой стадии (двустороннего чистого коррозионного износа) при «бесконечных» (в указанном выше смысле) пороговых напряжениях.σ, [pc ]1234567σ∗IIIσ∗IIt, [tc ]Рисунок 2.10 — Зависимости σ(t) при σ10(r) < σrth = 4 [pc] и σRth = 6 [pc]Кривая «3» на рис. 2.10 построена для случая, когда сфера последовательно проходит вторую и третью стадию, при σrth = σ10 (r) и σRth = 6 [pc]. Жирная чёрная точка на данной кривой отмечает пороговое значение напряженияσ∗III = σRth +∆p/2.
Кривая «6» построена для случая, когда имеют место перваяи вторая стадии, при σ10 (r) < σrth = 4 [pc] и σRth = 6 [pc]. Жирная чёрная точкаотмечает пороговое значение σ∗II = σrth .Кривая «5» на рис. 2.10 описывает напряжённое состояние сферы, проходящей последовательно все три стадии, при σ10 (r) < σrth = 4 [pc] и σRth = 6 [pc].Две жирные чёрные точки на кривой указывают моменты «перехода» с однойстадии на другую: первый из них соответствует достижению σ∗II = σrth , второй —σ∗III = σRth + ∆p/2.56σ, [pc ]1234567σ∗IIIσ∗IIt, [tc ]Рисунок 2.11 — Зависимости σ(t) при σ10(r) < σrth = 2 [pc] и σRth = 3 [pc]На рис.
2.11 сплошные линии (кривые «1», «2», «4» и «7») построены притех же параметрах, что и на рис. 2.10. Кривые «3», «5» и «6» построены длятех же стадий, что и на рис. 2.10, однако с другими пороговыми значениями.Кривая «3» на рис. 2.11 построена при σrth = σ10(r) и σRth = 3 [pc]. Кривая «6»построена при σ10 (r) < σrth = 2 [pc] и σRth = 3 [pc]. Кривая «5» — при σ10 (r) < σrth =2 [pc] и σRth = 3 [pc].Как и следовало ожидать, при уменьшении пороговых значений напряжений зависимости σ(t) растут быстрее, что соответствует уменьшению долговечности (кривые «3», «5» и «6» на рис. 2.11 расположены ближе к вертикальнойоси, чем на рис. 2.10).Из рассмотренных рисунков видно, что долговечность сферического сосуда может значительно изменяться в зависимости от значений пороговых напряжений σrth и σRth .2.4Определение оптимальной начальной толщиныВ данном параграфе рассматривается задача, обратная к уже решённой —задача нахождения оптимальной начальной толщины сосуда давления требу-57емой ёмкости по заданному сроку службы изделия и величины предельногонапряжения (предела прочности).
Под оптимальной толщиной понимается такое значение толщины, которое•является минимально возможным, т. е. соответствует наиболее экономично-му расходу материала,•при этом обеспечивает необходимый срок службы изделия.Поскольку заранее не известно, будут ли требуемые размеры сосуда соответствовать тонкостенной или толстостенной оболочке, то решение задачи будемискать без принятия упрощений, свойственных тонким оболочкам.Для решения этой задачи в случае механохимического износа нельзя просто воспользоваться формулами, полученными в предыдущем параграфе, лишьзаменив в них пределы интегрирования.
Ввиду сложности решения связанныхзадач, для получения окончательных формул необходимо модифицировать имеющийся алгоритм решения и провести все промежуточные выкладки заново.2.4.1Постановка задачиРассмотрим линейно-упругую толстостенную сферу под действием внутреннего pr и внешнего pR давления, подверженную равномерной двустороннейкоррозии со скоростями vr и vR соответственно. Будем считать, что мгновенноенапряжённое состояние на соответствующей поверхности сферы определяетсяформулами (2.2) и (2.3).Пусть t∗ — требуемый срок службы изделия, отсчитываемый от некоторого момента t = t0 , σ∗ — заданное максимальное нормальное напряжение на внутренней поверхности сферы в момент окончания срока службы:σ∗ = σ1(r)|t=t∗ (предел прочности с учётом коэффициентов запаса).
Будем также считать, что требуемая ёмкость сосуда обеспечивается заданием его внутреннего радиуса в момент окончания срока службы: r∗ = r|t=t∗ , полагая приэтом, что влияние внутренней коррозии на изменение внутреннего объёма сосуда несущественно.58Скорости коррозии на внутренней vr и наружной vR поверхностях сферыопределяются по формулам (2.43)–(2.46).Задача состоит в нахождении начальных радиусов r0 = r(t0) и R0 = R(t0),позволяющих вычислить начальную толщину h0 = R0 − r0 . Будем решать задачу по отдельности для следующих случаев:• двусторонний чистый коррозионный износ;• комбинированный механохимический износ (на одной поверхности) ичистый коррозионный износ (на другой поверхности):•внутренняя механохимическая коррозия и внешний чистый коррози-онный износ;•внутренний чистый коррозионный износ и внешняя механохимиче-ская коррозия;• двусторонняя механохимическая коррозия.Искомые начальные размеры сосуда должны обеспечить равенство напряжения σ1(r) заданному предельному напряжению σ∗ в требуемый моментвремени t∗ : σ∗ = σ(r)|t=t∗ .2.4.2Решение задачиКак и ранее, будем использовать напряжение на внутренней поверхностисферы σ1(r) в качестве основной переменной, обозначив её через σ : σ = σ1(r).Двусторонний чистый коррозионный износКогда скорости коррозии не зависят от напряжений, задача сводится к решению системы уравнений (2.43), (2.44), (2.2) и (2.3) с «конечным» (начальнымдля обратного отсчёта времени) условиемσ|t=t∗2pr r∗3 + (pr − 3pR )R∗3.= σ∗ =2(R∗3 − r∗3)(2.61)Это соотношение позволяет определить внешний радиус R∗ в момент t =t∗ окончания срока службы по формуле (2.27) при r = r∗ и σ = σ∗.59После этого значения радиусов сферы в любой момент времени могут бытьполучены из соотношений (2.43) и (2.44) путём их интегрирования по t от t доt∗:vr0r = r∗ − [exp(−bt) − exp(−bt∗ )];b(2.62)vR0[exp(−bt) − exp(−bt∗)].(2.63)bПодставляя в эти выражения t0 вместо t, получим начальные значенияR = R∗ +радиусов.Внутренняя механохимическая коррозия и внешний чистый коррозионный износДанная задача сводится к решению системы уравнений (2.45), (2.44), (2.2)и (2.3) с «конечным» (начальным) условием (2.61).Поскольку скорость внешней коррозии vR в этом случае не зависит от напряжений (как и в случае чистого двустороннего коррозионного износа), внешний радиус R в любой момент времени определяется из соотношения (2.63).Дифференцируя (2.10) по времени t и проводя необходимые преобразования с использованием зависимостой (2.45), (2.44), (2.9), (2.7), (2.11) и (2.63),получим разрешающее дифференциальное уравнение:b(2σ − pr + 3pR )2/3(2σ + 2pr ) exp (−bt)dσ=×dt2∆p (R∗ b + vR0 [exp(−bt) − exp(−bt∗)])1/301/3× (ar + mr σ)(2σ + 2pr ) + vR (2σ − pr + 3pR ).
(2.64)Интеграл уравнения (2.64), удовлетворяющий условию (2.61), имеет видR∗ b 1t = − ln exp (−b t∗ ) + 0 exp JvR0 − 1 ,bvR(2.65)где J = J(σ) определяется по формуле (2.56) с заменой пределов интегрирования: σ II и σ на σ и σ∗ соответственно.Решение (2.65) задаёт взаимно-однозначное соответствие между временемt и напряжением σ. Найдя из (2.65) соответствующее начальному моменту t0напряжение σ 0 и начальное значение внешнего радиуса R0 по формуле (2.63),60с помощью (2.21) получим значение внутреннего радиуса r0:r0 = R0s32σ − pr + 3pR.2(σ + pr )(2.66)Внешняя механохимическая коррозия и внутренний чистый коррозионный износВ этом случае задача сводится к решению системы уравнений (2.43),(2.46), (2.2) и (2.3) с «конечным» (начальным) условием (2.61).Как и при двустороннем коррозионном износе, внутренний радиус сферыопределяется из соотношения (2.62).Аналогично предыдущему случаю выводится основное дифференциальное уравнение, которое может быть записано в видеb(2σ − pr + 3pR )(2σ + 2pr )2/3 exp (−bt)dσ=×dt2∆p (r∗b − vr0 [exp (−bt) − exp (−bt∗)])1/301/3.× (AR + mR σ)(2σ − pr + 3pR ) + vr (2σ + 2pr )Решение данного уравнения, удовлетворяющее условию (2.61), даётся соотношением1r∗ b t = − ln exp (−bt∗) + 0 1 − exp −Jvr0.bvr(2.67)Здесь J = J(σ) определяется по формуле (2.59) с заменой пределов интегрирования: σ II и σ на σ и σ∗ соответственно.Решение (2.67) задаёт взаимно-однозначное соответствие между моментом времени t и напряжением σ.
Найдя из (2.67) соответствующее начальномумоменту напряжение σ 0 и начальное значение внутреннего радиуса r0 по формуле (2.62), с помошью (2.21) получим значение внешнего радиуса R0.Двусторонний механохимический износДанная задача сводится к решению системы уравнений (2.5), (2.6), (2.2)и (2.3) с «конечным» (начальным) условием (2.61). Несмотря на то, что основная разрешающая система уравнений идентична полученной в параграфе 2.1системе, невозможно сразу воспользоваться решением, данным в параграфе 2.161лишь со сменой пределов интегрирования, поскольку вспомогательное уравнение, связывающее внутренний радиус r в любой момент времени с соответствующим напряжением σ, выводится с использованием начальных условий,которые в рассматриваемых задачах различаются.
Поэтому алгоритм решенияданной системы приходится реализовывать с самого начала с использованием «конечного» (начального) условия, как в окончательном решении, так и напромежуточных стадиях.В частности, вместо соотношения r = r(σ) вида (2.17), будем иметьr = (2σ − pr + 3pR )1/3mR r∗ + mr R∗−mR (2σ − pr + 3pR )1/3 + mr (2σ + 2pr )1/3!(mr AR − mR ar )[exp(−bt∗) − exp(−bt)] .
(2.68)− b mR (2σ − pr + 3pR )1/3 + mr (2σ + 2pr )1/3Без вывода приведём разрешающее дифференциальное уравнение:(2σ − pr + 3pR )2/3(2σ + 2pr )2/3b exp(−bt)dσ=×dt2∆p1/31/3× mr (2σ + 2pr ) + mR (2σ − pr + 3pR )×(AR + mR σ)(2σ − pr + 3pR )1/3 + (ar + mr σ)(2σ + 2pr )1/3. (2.69)×b[mR r∗ + mr R∗ ] + (mR ar − mr AR ) [exp(−bt) − exp(−bt∗)]Разделяя переменные в (2.69) и интегрируя с условием (2.61), получимрешение. При mR ar − mr AR 6= 0 оно может быть записано в виде!mR r∗ + mr R∗1{exp[(mr AR − mR ar )J] − 1} ,t0 = − ln exp(−bt∗) − bbmR ar − mr ARгде J = J(σ) определяется по формуле (2.24) с заменой пределов интегрирования: σ 0 и σ на σ и σ∗ соответственно.При mR ar − mr AR = 0 решение уравнения (2.69) принимает вид1 t0 = − ln exp(−bt∗) + bJ(mR r∗ + mr R∗) ,b62где J = J(σ) определяется так же, как и для случая mR ar − mr AR 6= 0 — поформуле (2.24).Полученное решение позволяет найти начальное значение напряженияσ 0 = σ(r)|t=t0 , подставив которое в (2.68), получим значение внутреннего радиуса r в начальный момент времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
