Диссертация (1149171), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Как видно из рисунка, результаты расчета для моделейс изотропным рассеянием (HS) и резонансной перезарядкой (CEHS) заметноразличаются. Тем не менее из рисунка хорошо видно, что полученные результаты для CEHS модели хорошо согласуются с экспериментом и количественноеразличие не превышает 20%. Видно также, что экспериментальные данные попадают в коридор между расчетными.
Это говорит о том, что можно улучшитьрезультат численного расчета, использовав модель сечения, являющуюся комбинацией изотропного рассеяния и рассеяния на 180 градусов.2.6. Выводы главы 2Можно выделить несколько основных результатов этой главы:1. Мы убедились, что модель резонансной перезарядки с постоянной частотой столкновений позволяет получить хорошие качественные результатыдля целого круга задач. В частности, нами были рассмотрены задачи оразлете ионов из генерирующего промежутка между поглощающими стенками и о ФР ионов после включения электрического поля.
Более того,для второй задачи использование СЕМ модели позволило получить аналитическое решение, которое явилось отличным тестовым примером дляотладки других численных методов.2. Развит нестационарный моментный метод, заключающийся в решениинестационарного уравнения Больцмана, и позволяющий вычислять с высокой точностью стационарную ФР через расчет эволюции ФР на боль60ших временах. Это оказалась возможным благодаря рекуррентным соотношениям для матричных элементов, полученных в работах А.Я.Эндераи И.А.Эндер, и позволяющих вычислять МЭ вплоть до очень большихзначений индексов.3. Изучены временные эволюции подвижности и ФР малой примеси ионов нафоне атомов после резкого включения постоянного электрического поля.4. Исследованы границы применимости нестационарного моментного метода.
Показано, что при использовании достаточного количества матричныхэлементов, сходимость ФР наблюдается если параметр < 6.61Глава 3Пути преодоления сложностей моментногометода.Как можно видеть из результатов расчетов представленных в предыдущейглаве, существуют определенные ограничения по времени и величине поля, нарушение которых приводит к расходимости решения, получаемого моментнымметодом. Первой причиной, которая может приводить к нарушению сходимостимоментного метода является нарушение сходимости разложения.
Однако, какбыло сказано выше, использование нестационарного подхода позволяет во многих случаях избежать этой проблемы. Основной же проблемой, которая препятствовала проведению расчетов на больших временах и при больших значенияхнапряженности электрического поля оказался сильный рост значений коэффициентов разложения функции распределения с ростом поля. Подробное исследование численной схемы и результатов расчетов показало, что величиныкоэффициентов в расчетах могут отличаться на десятки порядков, что приводит к невозможности проведения расчетов без потери точности.В связи с указанными выше проблемами встал вопрос о возможных путях преодоления этих трудностей. Как оказалось, можно предложить два способа решения этого вопроса: метод разложения по сферическим гармониками модифицированный моментный метод.
Исследованиям этих подходов будетпосвящена данная глава.3.1. Метод разложения по сферическим гармоникам.Первым вопросом который будет рассмотрен, будет вопрос о преодолениикритерия сходимости разложения. Эта проблема может быть решена с помощью разложения по сферическим гармоникам. Однако, перед тем как говорить62о методе разложения по сферическим гармоникам, хотелось бы отдельно остановиться на методе, использующем разложение ФР по полиномам Лежандра,которому посвящена целая серия работ С.
Лойялки (известного специалистав кинетической теории газов). Работая над решением уравнения Больцмана,начиная с конца 80-х он опубликовал целую серию работ, использующих разложение уравнения Больцмана по ортогональным полиномам. В этих работахЛойялка проводил расчеты для различных моделей взаимодействия. В частности, БГК модели и модели твердых шаров. В своих работах Лойялка рассматривал стационарные полупространственные задачи. Как было отмечено ранее,в случае модели твердых шаров, для расчета коэффициентов разложения интеграла столкновений он воспользовался результатами Пекериса и Альтермана[42]. В ходе работы был повторен расчет по методу Лойялки с использованиемядер полученных гораздо раньше Гекке [40]. Это стоило сделать по двум причинам: во первых, было известно, что ядра Гекке точно рассчитываются черезматричные элементы интеграла столкновений, полученные через соотношенияиз работы [35] и было необходимо убедиться, что и их использование даст тотже результат, что и с ядрами Пекериса; во вторых, этот расчет хорошо демонстрирует возможности метода разложения по сферическим гармоникам.В работе Лойялки [43] рассматривается задача о конденсации на стенкемалой примеси, диффундирующей через фоновый газ.
Методика построениярешения базируется на использовании метода дискретных ординат и одной изего модификаций – Sn метода. Подробное описание этого метода содержится вкниге Глесстона и Белла [64]. Следуя Глесстону, Лойялка предлагает разбитьвсе координаты на дискретные значения: координату x на равные промежутки определенной величины Δ, а точки разбиения скорости и косинуса угла выбирать как узлы полиномов Эрмита и Лежандра, соответственно.
Подобный способ разбиения не случаен. Он продиктован условиями, налагаемымина коэффициенты в разностных уравнениях, необходимыми для обеспечениясходимости итерационного процесса. Полученный результат совпадает с расче63тами с ядром Хекке, а также с результатами Гарсии [65], как можно видеть нарисунке 3.1.N (x )1 .00 .9G a r c ia , S ie w e r tL o y a lk aЭндер, Герасименко l=1Эндер, Герасименко l = 60 .80 .00 .10 .2XРис. 3.1. Сравнение результатов расчета пространственного профиля концентрации частиц () для задачи о конденсации газа на поглощающую стенку.
Модель твердых шаров.При разложении функции распределения только по сферическим вещественным гармоникам (без разложения по полиномам Сонина) не возникаетограничений, связанных с критерием Греда. ФР представляется в виде (c) =∞ ∑︁ ∑︁1∑︁,(),(Θ, ),(3.1)=0 =0 =0где01,(Θ, ) = (cos Θ) cos(), ,(Θ, ) = (cos Θ) sin(), = 0...При этом коэффициенты разложения связаны с функцией распределения черезинтеграл от произведения ФР и сферических гармоникZ,= (),(, )dcДля демонстрации преимущества расчета ФР при разложении только погармоникам мною был рассчитан случай слабого поля для модели твердых шаров.64При малых (< 0.01), функция распределения представляется в виде (c, t) = ()(1+1 (, )1 (cos(Θ)), и в пространственно однородном случае уравнениеБольцмана сводится к следующему уравнению для 1 (, )1 (, )− 2 =∞Z˜ + (, 1 )1 (1 , )21 1 − ()1 (, ),1(3.2)0где˜ + (, 1 ) = (1 ) + (, 1 )1 () 1.
Соответственно, стационарное уравнение (3.2) имеет вид∞Z˜ + (, 1 )1 (1 , ∞)21 1 = 2,1()1 (, ∞) −(3.3)0Нестационарное уравнение (3.2) решалось методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Результаты расчетов представлены на Рис. 3.2. При расчете с помощьюнестационарного моментного метода удавалось продвинуться примерно до десяти тепловых скоростей. Расчет с помощью разложения по сферическим гармоникам дал возможность значительно расширить диапазон скоростей для которых удалось рассчитать ФР до 100 тепловых скоростей.Расчет стационарной функции 1 в небольшом диапазоне скоростей былвыполнен в работе Лойялки и Томпсона. С точностью до четвертой значащейцифры, а именно с такой точностью приведены данные в [43] их результатыдля стационарной задачи и полученные нами результаты для нестационарнойзадачи в пределе больших времен совпали.При рассмотрении процессов в более сильных полях, необходимо решатьполную систему интегро-дифференциальных уравнений.
Это связано, с тем, чтофункция распределения уже не является близкой к максвелловской и ее нужнонаходить из более полной системы:+[︂(︂)︂(︂)︂]︂+1+1 + 1−1−1+ ( + 2)+− ( − 1)= , (3.4)2 + 32 − 16561254132100102030405060708090100CРис. 3.2. Поправка к ФР при слабых полях.Представляя в виде = перепишем систему:[︂(︂)︂+1+1+1++ ( + 2)− 2+12 + 3]︂(︂)︂−1−1(1)= ,+− ( − 1)− 2−12 − 1Здесь(3.5)Z(1),= −1 ()+ (, 1 ) (1 ) (1 )1 − () ().При решении этой системы с помощью численной схемы Лакса-Вендроффа, возникли значительные трудности при дифференцировании по функций . Чтобы обойти особенность в уравнении в точке = 0, решение в окрестностиэтой точки строилось с помощью разложения в ряд Тейлора. По этой причине вокрестности точки = 0 было необходимо проводить сшивку решений, получаемых двумя разными методами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
