Диссертация (1149171), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Периодическая часть, также как и поле, имеет гармонический вид, но сдвинута по фазе от поля наΔ = −(). То есть периодическая часть тока имеет запаздывание посравнению с полем. При → 0 запаздывание Δ стремится к нулю, а при → ∞ запаздывание Δ = −/2. Возвращаясь к размерным величинам, по­лучаем, что = 1 соответствует Δ = −/4.Следует отметить, что для рассматриваемой модели взаимодействия Δне зависит от 0 .На рисунке 4.1 приведены зависимости сдвигов фаз между током и полемот величины амплитуды поля для нескольких частот. Видно, что с уменьшениемчастоты сдвиг фаз все более сильно зависит от амплитуды поля, в то время какпри больших частотах он изменяется мало.80Рис.

4.1. Сравнение Δ(0 ) для = 0.2, 1, 2, 5, 10.При анализе функции распределения удобно помимо фазы, соответствую­щей электрическому полю = часто будет удобно вводить фазу, соответ­ствующую току = + Δ.Проанализируем ток при разных частотах поля , фазовый сдвиг и зави­симость амплитуды колебаний тока от частоты .Сравнение зависимости полного тока от времени на начальной стадии про­цесса с зависимостью поля от времени, представлено на рисунке 4.2. На немпредставлены кривые токов при = 1 и при трех различных частотах = 0.1, = 1 и = 10. Видно, что наиболее существенно влияние апериодическогопроцесса сказывается при частотах порядка единицы.Из формулы (4.13) видно, что в случае СЕМ-модели плотность тока про­порциональна амплитуде прикладываемого электрического поля 0 . Амплитудапериодической части и максимальное значение апериодической части плотноститока убывают с ростом частоты.

При этом максимальное значение апериодиче­ской части в√1 + 2 ) раз меньше амплитуды тока. Этот факт хорошо виден изрисунков 4.3 и 4.4. На них представлены функции / и /, соответствующиеапериодической и периодической частям тока (4.13) на промежутке времени0 ≤ ≤ 3 l для различных частот . Можно отметить слабое влияние апери­81Рис. 4.2. Сравнение ()/0 и ()/0 при = 0.1, 1, 10.одической части при высоких частотах. Наиболее интересно оно проявляетсяпри = 1. При ≤ 0.1 на этом промежутке времени видно, что решение ужене зависит от и переходит в предельную форму постоянного внешнего поля.Апериодический процесс не дает вклада уже через два-три периода. Начиная сэтого момента, процесс становится чисто периодическим.Отметим, что для CEM-модели при выбранных нами начальных условияхраспределение ионов в поперечном направлении остается постоянным (максвел­ловским).

Из (4.8) видно, что коэффициенты у гармонических функций явля­ются степенями параметра = 0 / . Этот параметр оказывается малым или вслучае больших частот и конечных 0 , или в случае малых 0 .Численное исследование показало, что ФР в случае ≪ 1 очень мало отли­чается от максвеллиана. Следовательно, при малых функцию распределения82Рис. 4.3. Функции /0 и /0 , соответствующие апериодической и периодической частямтока на промежутке времени 0 ≤ ≤ 3 для различных частот.можно представить в виде ( , ) = ( )(1 + Φ( , )),(4.14)где Φ( , ) ≪ 1.Разложим Φ( ) в ряд по степеням и сохраним первые два члена разло­жения, т.е.

представимΦ( , ) = Φ(1) ( , ) + 2 Φ(2) ( , ).(4.15)Разложим функцию () из (4.8) в ряд до второй степени . Получим () ≃ ( )[1 + 2 (sin() − sin()) + (22 − 1)2 (sin( − ()))2 ].(4.16)83Рис. 4.4. Функции ()/ и ()/, соответствующие апериодической и периодической частямтока на промежутке времени 0 ≤ ≤ 3 для различных частот.При подстановке в (4.8) приближенного выражения () (4.16) необходи­мо вычислить следующие три интегралаZ⃒⃒0 () = = ⃒⃒ ,00Z⃒⃒(−cos()+sin())⃒1 () = sin() =⃒1 + 200Z(︀)︀ ⃒2⃒−1−4+cos(2)+2sin(2)⃒2 () = sin2 () = −⃒2 + 8 200Если учесть экспоненту, стоящую перед скобками в (4.10), то нетрудно понять,84что вклад в периодическую часть ФР будут давать только значения последнихтрех интегралов на верхнем пределе, т.е. при = , и, соответственно, дляапериодической части – на нижнем пределе, т.е.

при = 0.В результате после несложных преобразований для поправки Φ( , ) вплотьдо второго приближения имеем(1)22(2)(2)Φ( , ) = 2 ((1) (, ) + (, )) + (2 − 1) ( (, ) + (, )), (4.17)где(1) (, )(2) (, )2=sin()+cos(),(1 + 2 )(1 + 2 )−(1)(,)=−,1 + 2 sin(2) − 2 sin2 ()+= sin () +1 + 21 + 4 2 − cos(2) − 2 sin(2)2 + 8 2(4.18)(4.19)2(2) (, )2+sin()].= −2 [1 + 4 21 + 2−(4.20)(4.21)4.2. СЕМ-модель. Решение моментным методом.Моментный метод в самом общем нестационарном пространственно неод­нородном случае при наличии внешних сил подробно описан в [50].

Нестаци­онарный моментный метод был описан в диссертации в главе 3. Попробуемприменить его к задаче о движении ионов в переменном электрическом поле вслучае СЕМ-модели. Напомним, что применительно к поставленной простран­ственно однородной осесимметричной задаче этот метод требует следующегоразложения функции распределения (c, ) = ()∑︁, (), (c),(4.22)85(4.23), (c) = (cos Θ) +1/2(2 ).()Здесь () – весовой максвеллиан, (cos Θ) – полиномы Лежандра, а +1/2 (2 )– полиномы Сонина.Система безразмерных моментных уравнений, соответствующая уравне­нию Больцмана (4.3), имеет вид(︂)︂ ∑︁2,2+ ()( + 1)−1,+1 −,−1 =Λ,1 , 1,2 + 32 − 1(4.24)1где Λ,1 , – линейные матричные элементы интеграла столкновений которыеопределяются следующим образом:Z^ (c) , (c), (c)) c/, , , = (2 + 2 + 1)!! .Λ,1 , = , (c)(1(2)!!2 (2 + 1)(4.25)Момент , связан с функцией распределения следующим образом11, () =⟨, (c)⟩ =,,Z (c, ), (c)c.(4.26)Выпишем первые несколько моментов:0,1 = 2⟨ ⟩,21,0 = ⟨1 − 2 ⟩,320,2 = ⟨22 − 2 ⟩.3(4.27)Через эти моменты выражаются безразмерные физические моменты.

Так, плот­ность электрического тока (скорость дрейфа) () будет равна() = 0,1 /2,(4.28)Поперечная и продольная энергии ионов относительно атомов вы­ражаются через , следующим образом1 = 1 − 1,0 − 0,2 ,21 = (1 + 0,2 − 1,0 )286Определим приведенные физические моменты, возникающие за счет дви­жения ионов в электрическом поле˜ = = 0,1 /2 ,(4.29) − 1 −1,0 − 0.50,2=,22 − 0.5 0,2 − 1,0=.

=222 =(4.30)(4.31)Последние два момента представляют собой поправки к поперечной и про­дольной энергии, связанные с электрическим полем. Приведенная поправка кполной энергии имеет вид = + = −31,0.22(4.32)В случае СЕМ-модели для произвольной зависимости поля от времени бы­ло получено аналитическое решение для моментов с помощью преобразованияЛапласа [34]. В случае гармонического поля моменты , представляются ввиде:, () = , +2 +2 (), , = (−1)(2 + 4)!!(2 + 1),2 (2 + 2 + 1)!!(4.33)Z0 () = 1, +2 () = − +2 cos( )+2−1 ( ).(4.34)0Отсюда видно,что в случае CEM-модели вклад в первое и второе прибли­жение ( + 2 = 1, 2) могут давать только три момента 0,1 , 1,0 и 0,2 .

Соот­ветственно0,1 () = 21 (),41,0 () = − 2 2 (),380,2 () = 2 2 ().3(4.35)Более того, из (4.30) и (4.35) видно, что для CEM-модели поправка к по­перечной энергии = 0 и вклад во второе приближение определяется толькоодним моментом 1,0 .87Используя разложение ФР (4.22) с точностью до 2 , явный вид несколькихмладших сферических полиномов Эрмита (0,1 = , 1,0 = 3/2 − 2 , 0,2 =(32 − 2 )/2), а также формулы (4.29), (4.32), (4.35), можно записать: (c, ) ≈ ()[1 + 2 ˜() + 2 (22 − 1)()].(4.36)Сопоставляя это выражение для ФР с (4.17), получаем что ˜ = (1) , а = (2) , где (1) и (2) определяются формулами (4.18)-(4.21).В дальнейшем удобно периодические части тока и энергии представлятьв виде гармонических колебаний с различным сдвигом фаз.

Для приведенноготока имеем˜ () = cos( + Δ ), = √,1 + 2Δ = − arctg ,(4.37)Здесь - амплитуда приведенного тока ˜ , а Δ – его фазовый сдвиг относи­тельно электрического поля.Для приведенной энергии после ряда преобразований функцию можнопредставить в виде = 0 + sin(2) + cos(2),где =0 =2,1 + 23 3,(1 + 2 )(1 + 4 2 ) =(4.38)(4.39) 2 (1 − 2 2 ).(1 + 4 2 )( 2 + 1)(4.40)Теперь нетрудно выделить амплитуду и фазовый сдвиг : = 0 + cos (2 + Δ ) ,(4.41)где 0 – среднее значение периодической части приведенной энергию.

Именно кней асимптотически стремится среднее значение полной энергии . Амплитуда88 имеет вид√︀222√︀ = + =,(4.42)(1 + 4 2 )( 2 + 1)Если частота колебаний тока совпадает с частотой колебаний поля, то ча­стота колебаний энергии оказывается в два раза выше. Для фазового сдвигаотносительно поля Δ имеемΔ=⎧⎪⎨arctg 3(2 2 −1) ,⎪⎩arctg 3(2 2 −1) − , 2 ≤ 0.5(4.43)2 > 0.5.Выше мы нашли фазовый сдвиг приведенного тока относительно электри­ческого поля Δ . Найдем теперь фазовый сдвиг приведенной полной энергииотносительно тока, т.е.

запишем (4.41) в виде(︁)︁ = 0 + cos 2 + Δ + Δ ,(4.44)Δ = Δ − Δ .(4.45)гдеФункция Δ () стремится к нулю при → 0 и к − при → ∞. ФункцияΔ () стремится к нулю на обоих пределах, чем и обусловлено удобство в ис­пользовании этой функции. Характерным для нее является глубокий минимумв окрестности =√2/2.Итак, для CEM-модели с помощью аналитического решения для ФР по­строены первое и второе приближения по параметру , а с использованиеманалитического решения для моментов показано, что коэффициенты в первоми втором приближении выражаются через ток и поправку в энергии, соответ­ственно. Получены зависимости этих коэффициентов от частоты колебанийвнешнего электрического поля.Выявлен ряд свойств решений. Представляется, что некоторые из этихсвойств носят общий характер и не зависят от модели взаимодействия.

Постро­ению решений для ряда сечений взаимодействия ионов с атомами и анализусвойств этих решений посвящены следующие разделы.894.3. Численное решение моментной системы.Анализ аналитического решения для CEM-модели показал [50], что стаци­онарное решение (c) не может быть разложено по полиномам Сонина, т.к.оно не удовлетворяет условию сходимости∞Z 2 exp(2 )3 < ∞,(4.46)0С другой стороны, нестационарное решение в любой конечный момент вре­мени удовлетворяет критерию (4.46). В [50] был предложен и использован неста­ционарный моментный метод.

Рассматривалась задача об эволюции ионов послевключения постоянного электрического поля. В этом случае моментная систе­ма решалась до довольно больших времен (8 − 10 и более), когда ФР близкоподходит к стационарному решению. Таким образом, наряду с нестационарнымстроилось и стационарное решение.Этот же подход на начальном этапе исследований был применен к реше­нию задачи с переменным электрическим полем.

Периодическое решение иска­лось как предел решения на больших временах. Решалась безразмерная системамоментных уравнений (4.24) при () = 0 () с помощью модифицирован­ного моментного метода, изложенного в главе 2. Напомню, что в случае стан­дартной нормировки за единицу времени бралось среднее время между столк­новениями, .

Характеристики

Список файлов диссертации