Диссертация (1149171), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

В то же время, нестационарное решение в каждый моментвремени удовлетворяет условию (2.33). Из этого следует, что стационарное ре­шение не может быть получено с помощью решения стационарного уравнениямоментным методом. В то же время, попытка применения моментного методак нестационарному уравнению увенчалась успехом.Нестационарный моментный метод позволяет построить стационарное ре­шение в широком диапазоне скоростей, в то время как стационарный методпринципиально расходится.

Однако, решение хорошо сходится не для всех вре­мен. Решение расходится как при больших временах, так и при больших 0 .Таким образом, при сильных полях не получается проследить установлениестационарного решения, и можно проследить развитие только начальной фазыпроцесса. Было установлено, что расчет ФР возможен при параметре 0 < 5.Причины расходимости связаны с ростом коэффициентов разложения. Об этом43подробнее будет говориться в следующей главе, посвященной развитию момент­ного метода.Отладка программ, реализующих алгоритм решения задачи моментнымметодом проводилась на случае СЕМ-модели. Как было сказано выше, в рамкахэтой модели построено аналитическое решение нестационарной задачи как дляФР, так и для ее моментов.

Это позволило с одной стороны оценить точностьполучаемого численного, а с другой подробно изучить вопросы сходимости ме­тода.При численном решении кинетических задач моментным методом, возни­кает необходимость обрезания системы уравнений и ограничения набора индек­сов и некоторой областью. Это ограничение может серьезно влиять на сходи­мость метода. По этой причине выполнение обрезания должно сопровождатьсяусловием того, чтобы момент, находящийся на границе области, зависел толькоот моментов, отвечающих индексам лежащим в области. При при выполненииэтого условия, обнуление моментов для индексов за пределами области никакне повлияет на моменты внутри.В работе [36] были проведены расчеты для четырех областей суммирова­ния: 1 - ≤ 0 − ; 2 - ≤ ( − 0 − )/2; 3 - < 0 , < 0 ; 4 - ≤ 0 − , ≤0 , 0 ≤ 0 , где 0 - число полиномов Сонина при = 0 в разложении ФР втреугольных областях, 0 - число полиномов Сонина, 0 - число полиномовЛежандра в прямоугольной области.

Было показано, что наиболее предпочти­тельной является область 3. Были рассмотрены различные величины электри­ческого поля. Так, для слабых полей( < 0.1), оказалось возможным строитьФР в очень широкой области скоростей с помощью стационарных моментов,несмотря даже на нарушение критерия (2.33). Важным условием успеха в дан­ном случае было четкое определение области обрезания так, чтобы значение 0лежало в окрестности минимума на зависимости |, |().В области умеренных полей (0 ∼ 1) уже при 0 = 0.25 стационарныемоменты не позволяли получить решение.

И в этом случае хорошо показал44себя нестационарный подход. Так, при величине = 0.5, авторам удалось до­биться точного совпадения аналитического и численного решения на интервалескоростей −10 < < 10. Для этого использовалась область обрезания 3 с(0 = 30, 0 = 50). На рисунке 2.9 приведены временные зависимости отноше­ния ФР, полученной численно, к точному стационарному решению для различ­ных величин скоростей. Видно, что выход на стационарное значение происходитне монотонно по и требует значительного времени для больших скоростей.Рис. 2.9. Зависимости отношения ( , )/ ( , ∞) при различных значениях , = 0.5: 1 – = −10, 2 – -5, 3 – 0, 4 – 0.5, 5 – 1, 6 – 3, 7 – 5.Такое поведение связано с распространением возмущения вдоль характери­стики в пространстве скоростей: = 0 +.

Эта характеристика связана толькос дифференциальной частью уравнения, поэтому резонно предположить, чтоподобное поведение будет характерно для любого потенциала взаимодействия.С ростом поля и времени восстановление ФР по моментам усложняется. Этопроисходит из-за того, что с ростом поля, на зависимостях |, |() минимумсменяется максимумом.

С ростом времени координата максимума и его величи­на сильно растут. Таким образом, для сходимости ряда необходимо просумми­ровать по вплоть до области, где значения |, |() будут малы. Однако прибольших временах и полях выполнить это становится довольно проблематично,45и требуется очень большое расширение области обрезания в плоскости , .Рис. 2.10. Функции распределения на оси симметрии в разные моменты времени при 0 = 1:(a) – ( , ) и (b) – ( , ) = ( , )/ ( , ∞).

Аналитическое решение, CEM-модель. = 0.5— кривая 1, 1 (2), 3 (3), 5 (4), 6 (5), 7 (6).На рисунке 2.10 представлена ФР на оси симметрии ( = 0) для СЕМмодели в разные моменты времени при 0 = 1. Видно, что при сохранениичисла членов разложения, интервал, в котором удается строить функцию рас­пределения, сдвигается в область положительных скоростей. Это можно видетьпо немонотонным участкам кривых, которые видны на левом крае на рисунке2.10b. Также на рисунке кривые 5 и 6, отмеченные пунктиром, удалось постро­ить, только используя дополнительный пакет точной арифметики.

Это говорито том, что с ростом времени часть коэффициентов выходят за пределы ма­шинной точности. Этот вопрос требует отдельного обсуждения при попыткеулучшения моментного метода, и оно будет проведено в следующей главе.На рисунке 2.11 представлена ФР на оси симметрии ( = 0) для СЕМмодели в разные моменты времени при 0 = 2. Надо отметить более сложныйвид функции при развитии процесса по сравнению со случаем 0 = 1. В связис этим, с ростом времени растет число полиномов Сонина 0 и Лежандра 0 ,которые необходимо учитывать в разложении.

Для малых времен достаточно46Рис. 2.11. Функция распределения на оси симметрии в различные моменты времени дляCEM-модели при 0 = 2.0. a — ( , ), b — ( , )/ ( , ∞). Кривые 1–5 относятся к значе­ниям времени = 0.5(0 = 35, 0 = 23); 1.5(0 = 30, 0 = 26); 2.5(0 = 37, 0 = 70); 3(0 =75, 0 = 100); 5(0 = 100, 0 = 280) соответственно.30-40, а на больших временах счет идет уже на сотни. На этом рисунке такжепунктиром отмечены кривые, получение которых потребовало использованияпакета точной арифметики. Как показали проведенные вычисления, в качествепараметра, который может быть признаком сходимости при заданном поле,можно взять произведение 0 . Установлено, что хорошая сходимость методаимеет место в диапазоне скоростей −10 < < 10 при величине 0 < 5.Таким образом, на примере распространенной СЕМ-модели, продемонстри­рована возможность успешного использования нестационарного моментного ме­тода для расчета ФР.

Следующим шагом будет применение этого метода в рас­четах с другими моделями взаимодействия.2.4. Нестационарный моментный метод. Различныемодели взаимодействийОписанные ниже результаты были опубликованы в работах [50, 51]. Какбыло сказано выше, успешное применение моментного метода в случае СЕМ мо­47дели позволяет перейти к рассмотрению задачи с использованием более слож­ных моделей взаимодействия.

Дальнейшие исследования проводились в основ­ном для HS-модели и CEHS-модели, которые относятся к группе моделей спостоянной длинной свободного пробега. Рассмотрение будет последовательновыполнено при слабых, умеренных и сильных электрических полях. Получен­ные результаты сравнивались с аналитическим результатом для СЕМ-модели,который был описан выше и с известными экспериментальными результатами.До решения моментной системы для всех моделей были заранее рассчи­таны матрицы линейных матричных элементов (Λ,1 , ) для больших значенийиндексов. Эти расчеты были проведены А.Я.Эндер и И.А.Эндер с помощью про­грамм на языке FORTRAN77, созданных на основе рекуррентных соотношенийполученных в работах [35, 52]. Хочется отметить, что этот пакет программ поз­воляет проводить расчеты для произвольных отношений масс сталкивающихсячастиц.

Однако в данной работе рассматривался только случай равных масс.Расчеты проводились с помощью нестационарного моментного метода, ко­торый был описан в предыдущем параграфе. В расчетах была сделана попыткаохватить как можно более широкий диапазон напряженностей электрическихполей. Это позволило наряду с данными о подвижности и функции распреде­ления получить дополнительное преставление о границах применимости неста­ционарного моментного метода для вновь рассматриваемых моделей.При слабых полях для всех моделей наблюдается совпадение значения по­движности со значением, полученным методом Чепмена-Энскога для очень ма­лого поля.

В методе Чепмена-Энскога при очень малом поле ФР ищется в виде: (c) = ()(1 + (c)).(2.34)Соответственно, добавочная функция может быть найдена, как только вычис­лена функция (c). Существует область малых значений , в которой функция не зависит от поля.

Следуя работе [51], эту функцию будем называть универ­сальной чепмен-энскоговской добавкой. На рисунке 2.12 приведены графики48зависимости универсальной добавки от при = 0. Для всех моделей еди­Рис. 2.12. Эволюция универсальной при = 0. К-нормировка. a – СЕМ-модель, b – PMM­модель, c – CEHS-модель, d – HS-модель. 1–t=0,2–0.5,3–1,4–3,5–5,6—6,7–24ница изменения времени выбиралась так, чтобы в пределе слабого поля с ростомвремени подвижность выходила на единицу. Такую нормировку будем называтьнестандартной нормировкой или К-нормировкой. Отметим, что для СЕМ-моде­ли на больших временах при любых полях подвижность равнялась единице.Для различных моделей переход к К-нормировке может быть осуществлен сле­дующим способом.

Сначала в стандартной нормировке при малых решаетсязадача. В широком диапазоне малых полей предельное (стационарное) значение будет постоянным. Зная это значение, легко найти новую единицу времени,при выборе которой стационарное значение подвижности будет равно единице.Для перехода к новой единице времени все стандартные матричные элементы49CEM-модель PMM CEHS-модель HS-модель1Таблица 2.1.Коэффициенты20.48260.9578MM0.4547перехода от стандартной к нестандартной нормировке для различных мо­делей взаимодействия.надо умножить на одинаковую константу. В таблице 2.1 представлены значе­ния константы для различных моделей взаимодействия.

Из нее видно, чтоконстанта зависит от угловой зависимости сечения рассеяния. Для моделей = при переходе от рассеяния на 1800 к изотропному рассеянию про­исходит увеличение константы в два раза. При переходе от CEHS-модели к HSмодели константа увеличивается примерно в 1.985 раза.Хочется особо отметить, что переход к нестандартной нормировке будетиспользоваться не только в случае слабого поля, но и всех прочих значениях .Из рисунков 2.12a,b видно, что при К-нормировке результаты расчетовдля PMM-модели и СЕМ-модели совпадают. Это объясняется зависимостью се­чения рассеяния от скорости и диагональным видом матрицы матричных эле­ментов в этом случае.На рисунках 2.12c,d представлены результаты для CEHS и HS моделей,которые также имеют одинаковую зависимость сечения рассеяния от скорости.Для этих моделей характерен недиагональный вид матрицы взаимодействия.

Вэтом случае, несмотря на похожее поведение , полного тождественности реше­ний нет – обе модели демонстрируют стремление к фиксированному значениюпри больших значениях с ростом времени. Однако, эта величина для CEHSи HS моделей отличается в полтора раза. Тем не менее хочется особо обратитьвнимание на сходство между этими решениями: во-первых, характер поведенияэтих решений при малых временах очень схож, во-вторых, универсальная до­бавка ( ) не стремится к бесконечности с ростом в отличие от моделейc постоянной частотой столкновений. Это обеспечивает соблюдение критерия50cходимости разложения функции распределения в стационарном состоянии вслучае этих моделей.Аналитическое решение моментной системы для случая СЕМ-модели дает: = 21 (Θ) = 2 ,(2.35)что совпадает с рис.

Характеристики

Список файлов диссертации