Диссертация (1149171), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Метод заключается в разложениифункции распределения по малому параметру около максвеллиана с последую­щим преобразованием уравнения Больцмана к системе алгебраических уравне­ний относительно коэффициентов разложения. При всем удобстве метода, необ­ходимо отметить, что с хорошей точностью его можно применять только принебольших отклонениях функции распределения от равновесия.

Тем не менее,метод Чепмена-Энскога интенсивно используется и оказался очень плодотвор­ным при вычислении коэффициентов переноса.Дальнейшее развитие метода Чепмена-Энскога было выполнено Барнет­том в 1935г. В своих работах [17, 18] он предложил проводить разложение поортогональным базисным функциям, являющимся произведением полиномовСонина на сферические функции.

Таким образом он положил начало целомусемейству моментных методов.Следующим важным шагом в развитии моментного метода были работыГреда [19, 20]. Описанный в этих работах метод в 13-ти и 20-ти моментном при­ближении хорошо известен и широко используется в кинетической теории. Вчастности, он был успешно применен к описанию процессов переноса в много­компонентной плазме Ждановым [21].В настоящее время основными методами решения уравнения Больцманаявляются методы, основанные на разложении функции распределения по систе­мам ортогональных функций.

Наиболее известные из них моментный метод иметод разложения по сферическим гармоникам.При рассмотрении задач о движении ионов можно выделить несколькослучаев, в зависимости от величины напряженности электрического поля, в ко­торых используются различные методы. В монографии Мак-Даниэля и Мэзона[2] было предложено условно делить поля на слабые, умеренные и сильные,считая, что для слабых полей энергия, получаемая ионам от поля на длинесвободного пробега, мала, а для умеренных и сильных сопоставима с тепловой14или значительно больше ее. В случае слабых полей применяется метод Чеп­мена-Энскога.

При умеренных полях функция распределения уже не близка кравновесной, и применение метода Чепмена-Энскога нельзя считать коррект­ным. В этом случае уже применяется моментный метод, который заключаетсяв разложении ФР по собственным функциям интеграла столкновений для макс­велловских молекул и последующем решении получающейся системы линейныхдифференциальных уравнений.Большое число работ о движении ионов в фоновом газе при наличии полейпосвящено вычислению коэффициентов переноса. Среди всего этого множествахочется остановиться на статье Кумара [22]. В этой работе он предложил ори­гинальный способ вычисления матричных элементов интеграла столкновенийс помощью коэффициентов Талми. Эта работа дала прямые формулы для вы­числения матричных элементов интеграла столкновений. Тем не менее, в силусложности формул, они могут быть успешно применены только в случае вы­числения небольшого числа линейных матричных элементов, то есть позволя­ют решить стационарную задачу о поведении ионов при умеренных электри­ческих полях.

Исследования с помощью моментного метода были выполненыНессом, Робсоном, Уайтом, Дуйко, Виландом[23–27]. В случае сильных полей,когда температура ионов превышает температуру фонового атомного газа, былпредложен так называемый двухтемпературный моментный метод [28]. В этомметоде температура максвеллиана, около которого производится разложениеФР, может отличаться от температуры фонового газа, являясь свободным па­раметром. Этот метод требовал более сложного расчета матричных элементов,в связи с различием температур базиса и фонового газа.В большинстве работ по данной тематике рассмотрение ведется с помощьюнескольких моделей взаимодействия.

Особую роль во многих работах играетCEM-модель, которая соответствует резонансной перезарядке с полным сечени­ем рассеяния, обратно пропорциональным относительной скорости. Необходимоотметить, что во многих случаях резонансная перезарядка является основным15механизмом взаимодействия ионов и нейтральных частиц [29], и многие работыимеют дело именно с таким типом сечения рассеяния. Для этой модели частотастолкновений постоянна, и интеграл столкновений принимает вид БГК-модели[30]. Эта модель используется в большом числе работ как для решения конкрет­ных задач, так и для проверки новых предлагаемых методов [31–33].Помимо СЕМ-модели, очень широко используется модель твердых шаров,в которой считается, что столкновения частиц абсолютно упругие, а их рассе­яние по углам изотропно. В этой модели длина свободного пробега постоянна.В различных работах встречаются и другие потенциалы взаимодействия, на­пример, комбинирующие различные законы взаимодействия для притяжения иотталкивания.Помимо задач, требующих знания коэффициентов переноса, есть целыйкласс требующий вычисления функции распределения.

Ранее в работе [34] дляслучая СЕМ модели было получено аналитическое выражение функции рас­пределения малой примеси ионов в фоновом газе после резкого включения по­стоянного электрического поля. В данной работе, оно было использовано приотладке численной схемы нестационарного моментного метода.

Как отмечаютавторы [28], основной сложностью при использовании моментного метода явля­ется вычисление матричных элементов интеграла столкновений. Как показанов книге А.Я.Эндер и И.А.Эндер [35] эта сложность может быть с успехом пре­одолена. Так, в [36] авторам удалось с успехом применить вычисленные мат­ричные элементы для решения нестационарным моментным методом задачи обэволюции ФР ионов в фоновом газе после резкого включения постоянного элек­трического поля для случая СЕМ-модели. В данной работе задачи решалисьнестационарным моментным методом и его модификациями с использовани­ем рекуррентных соотношений для матричных элементов интеграла столкно­вений.

Предложенный ими способ позволяет вычислять матричные элементыпрактически со сколь угодно большими индексами и решает проблему расчетаинтеграла столкновений.161.3. Интеграл столкновений и матричные элементы.Как известно, основной сложностью при решении уравнения Больцманаявляется расчет интеграла столкновений, который представляет собой пяти­кратный интеграл. В последние годы в связи с развитием вычислительныхсистем, в частности, на базе графических ускорителей(GPU), были сделаныпервые попытки рассчитывать его напрямую [37].

Однако, такой подход поз­воляет пока проводить расчеты в малом диапазоне скоростей. В связи с этимхотелось бы более подробно остановиться на соотношениях для расчета матрич­ных элементов интеграла столкновений, упомянутых ранее, которые позволяютрешить проблему вычисления интеграла столкновений для случая степенныхпотенциалов взаимодействия.В 1935 году Барнеттом в [18] был предложен новый подход к решениюуравнения Больцмана. Новизна заключалась в том, что разложение предлага­лось производить по функциям, которые являются произведением веществен­()ных сферических гармоник ,(, ), полиномов Cонина +1/2 (2 ) и степенныхфункций скорости.,,(c) = +1/2(2 ) ,(, ), = {0, 1},(1.2)0,(Θ, ) = (cos Θ) cos(),1,(Θ, ) = (cos Θ) sin(), = 0...(1.3)Полиномы Cонина определяются как [38]:()+1/2 (2 )∑︁Γ( + + 3/2)(−2 )=.!(−)!Γ(++3/2)=0(1.4)В книге [35] предложено называть функции ,,(c) сферическими ненорми­рованными полиномами Эрмита.

В дальнейшем для краткости будем называтьих сферическими полиномами Эрмита или функциями Барнетта. Эти функцииобладают свойством ортогональности с максвелловским весом (, ).Z( , ) = (1, ) (c) (c)d3 = , ,(1.5)17где - норма сферических полиномов Эрмита (подробнее смотри формулы2.6-2.9 в [35]). Здесь и далее вместо четырех индексов (, , , ) для краткостипишется один . Максвелловская весовая функция выражается формулой: (, ) =(︁ )︁3/2exp(−2 ), =где – масса частицы, – температура газа,c,2(1.6)– скорость частицы, – посто­янная Больцмана.В этом случае функция распределения может быть представлена в видепроизведения максвелловской функции распределения на ряд по сферическимполиномам Эрмита ,,(c) с коэффициентами разложения ,,, (, ). Далеемы будем говорить, что функция распределения разложена по базису с тем­пературой , подразумевая, что это температура весового максвеллиана.

Дляупрощения записи вместо четырех индексов ниже часто будет использоватьсяодин, и запись будет выглядеть как (c) и (, ). (c, , ) = (, )∑︁(1.7) (, ) (c),где - коэффициенты разложения. (c) - сферические полиномы Эрмита:После подстановки разложения (1.7) в уравнение Больцмана уравнение перехо­дит в систему дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения .()33∑︁1 ∑︁ () ∑︁ 1/2+u·+ 1/2+ =1 ,2 1 2r0 =1 ,=11()Здесь ()и 2выражаются следующими формулами:(︀1( + + 3/2)−1 +1−1− −1 −1+1−12(2 + 3))︀−( + + 2)( + + 1)(( + + 3/2)+1+1− −1+1+1)(︀1+−1 (−1−1− +1−1−1)2(2 − 1)(1) =(1.8)18(1.9))︀−( − )( − − 1)(−1+1− +1−1+1) ,(−1)+1 (︀1−1−=−( + + 3/2)−1 +1− −1 −1+1−12(2 + 3))︀1−1−+( + + 2)( + + 1)(( + + 3/2)+1+1− −1+1+1)(2)(−1)+1 (︀1−1−+−1 (−1+1− +1−1−1)2(2 − 1)(1.10))︀1−1−+( − )( − − 1)(−1+1− +1−1+1) ,(3) =(1))︀ + + 1 (︀( + + 3/2)+1− −1+12 + 3)︀ − (︀ +−1 − +1−1,2 − 1)︀1 (︀( − )( − − 1)−1+1− −1−12 − 1(︀)︀( + + 1)( + + 2)−1+1+1− −1+1−1,(1.11) = −−2 + 3)︀(−1) + 1 (︀1−1−( − )( − − 1)−1+1+ −11−11=2 − 1)︀ (︀1−1−+( + + 1)( + + 2)−1+1+ −1+1−1,2 + 3(1.12)(2)(3) =2( + + 1) 2( − ) −1+1 −.2 + 32 − 1 −1(1.13)(1.14)В формулах выше использовано обозначение: = 1 + 0 .При этом разложение интеграла столкновений приводит к появлению такназываемых матричных элементов интеграла столкновений 1 ,2 .1 ,21=Z ( 1 , 2 )d3 .(1.15)19В книге [35] были приведены рекуррентные формулы для матричных эле­ментов 1 ,2 и показано, что с использованием большого числа (35516065) эле­ментов разложения можно получить решения ряда релаксационных задач сочень высокой точностью.Как показано в [35], инвариантность интеграла столкновений относительновыбора базисных функций, по которым раскладывается ФР, является основойдля получения соотношений перехода между базисами.

Параметрами, харак­теризующими разные базисы, являются температура и средняя скорость .Тогда в различных базисах (0 и 1 ) для коэффициентов разложения ФР 0(0 ) и ,(1 ) преобразование будет осу­и 1 и матричных элементов ,ществляться с помощью некоторой матрицы перехода , . Матрица перехода, была построена в [35]. В ходе расчетов, описываемых в последующих гла­вах, использовались матричные элементы, вычисленные с помощью программ,реализованных А.Я.Эндером и И.А.Эндер на языке FORTRAN77. Также в этотпакет входила процедура для пересчета матричных элементов при смене тем­пературного базиса.В случае решения задачи о поведении малой примеси ионов на невозму­щаемом фоновом газе с максвелловским распределением, достаточно тольколинейных матричных элементов первого типа (то есть соответствующих релак­сации на максвелловском фоне).

Характеристики

Список файлов диссертации