Диссертация (1149171), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Однако, при попытке провести вычисления вместе сшивки решения, полученного через разложение в ряд Тейлора, и остальной области, где решение получалось по методу Лакса Вендроффа, со временемвозникали осцилляции. Раскачка порождалась неточным дифференцированиемфункции по скорости в точке сшивки.
В силу того, что выражается через66производные −1 и +1 по , возникает положительная обратная связь между , +1 , −1 . Из-за этого малейшая неточность приводит к раскачке схемына больших временах в области малых скоростей. Переход в системе (3.5) отпеременной к = 2 позволил значительно улучшить сходимость. Проведенная корректировка позволила увеличить предельное время расчета с 5 до 14времен и проводить расчеты для слабых полей ( < 0.1).
Была сделана попытка сделать расчеты для умеренных полей. Однако, чем больше , тем большевзаимное влияние функций друг на друга. Применяя различные математические приемы, нам удалось провести расчеты для модели твердых шаров до = 0.2 при достаточно больших временах, а для СЕМ модели до = 0.5.Таким образом, проблемой, требующей дальнейшего изучения для последующего развития этого подхода, является поиск численной схемы, котораябы не приводила к раскачке решения на больших временах. Однако важнымположительным продемонстрированным моментом явилось то, что в областибольших скоростей никаких осцилляций не возникло.
Таким образом, подтверждается предположение, что метод разложения по сферическим гармоникамможет помочь в вычислении ФР для больших скоростей. Однако, если в случаеслабых и умеренных полей для вычислений можно использовать численнуюсхему на основе схемы Лакса-Вендроффа, то для сильных полей необходимодальнейшая работа по построению устойчивой численной схемы.3.2. Модифицированный моментный метод.Вторым методом улучшения сходимости является так называемый модифицированный моментный метод, призванный уменьшить величину коэффициентов разложения ФР. Ранее о необходимости изменения весового максвеллиана говорилось в работах МакДаниеля и Кумара [2, 22]. В работах Виланда[26] и Уайта [24] модифицированный моментный метод использовался для расчета подвижности и коэффициента диффузии при стационарном и переменном67электрическом поле.
В работах Виланда число членов разложения было не велико, что, возможно, не очень сильно сказывалось на интегральных характеристиках. Однако, поскольку точного исследования этого вопроса выполненоне было, нужно с осторожностью относится к представленным в этих работахрезультатам, особенно для случая сильных полей. В работах Уайта использовалось большое число членов разложения.
Тем не менее, в силу особенностейиспользуемого им метода расчета матричных элементов, требовавшего расчета сложных интегралов, расчет для случая близких по массе ионов и атомовоказался невозможным в силу крайне больших затрат машинного времени.Итак, модифицированный моментный метод заключается в том, что разложение ФР производится около максвеллиана с температурой, отличной оттемпературы фонового газа, и эта температура (температура базиса) можетизменяться на протяжении всего времени развития процесса: (c, , ) = ( (), )∑︁ (, ) (c),где - коэффициенты разложения, ( (), ) – максвелловская функция распределения с температурой, зависящей от времени, (c) - сферические полиномы Эрмита: () = ,,(c) = +1/2(2 ) ,(, ), = {0, 1}.После подстановки разложения функции распределения в исходное уравнение и интегрирования с ортогональными функциями, в осесимметричном поскоростям случае уравнение Больцмана заменяется системой моментных уравнений для коэффициентов разложения)︂ ∑︁(︂22,+ ()( + 1)−1,+1 −,−1 =Λ̄, ( , ())1, , (3.6)2 + 32 − 11 ,где Λ̄, ( , ()) – матричные элементы, соответствующие базису с температурой ().
Система уравнений может быть решена, например, с помощью метода68Рунге-Кутта 4-го порядка, который и был использован в наших дальнейшихрасчетах.Для того чтобы перейти к новому температурному базису необходимо провести трансформацию как коэффициентов разложения , так и матричныхэлементов Λ,1 , .Если рассмотреть разложение ФР в двух базисах с температурами весовыхмаксвеллианов 0 и 1 , с коэффициентами разложения, соответственно, 0 и1 , то можно видеть, что вектора1=0C∞∑︁и1Cсвязаны соотношением(3.7), (1 , 0 )0 ,=0где 0 и 1 , как и ранее обозначают первый и второй базисы, ,, - матрицаперехода, которая, как было показано в монографии [35], дается выражением′,′ ,+/2′(−1)+ ′ ! 0(1 − 0 ) −=′ +/2!(′ − )!(3.8)1Напомним, что , = ,,′ ,′ и в формуле (3.8) ′ = .Поскольку рассматривается процесс релаксации на фоновом газе с неизменным максвелловским распределением, то матричные элементы оказываютсялинейными.
Напомним, что обычные линейные матричные элементы определяются следующим образом:Λ,(︂)︂= (0 , c), ( (0 , c), (0 , c)) .(3.9)Здесь большими скобками обозначено скалярное произведение и указана температура базиса, в котором вычисляются полиномы Эрмита. В модифицированном моментном методе температура базиса 1 не совпадает с температуройатомов 0 . Таким образом выражение (3.9) примет вид(︂)︂Λ̄, (0 , 1 ) = (1 , c), ( (1 , c), (0 , c)) ,(3.10)здесь температура 1 базиса, к которому осуществляется переход, может бытьзависящей от времени. При этом отметим, что Λ̄(0 , 1 ) остаются по-прежнему69линейными. Модифицированные линейные МЭ (3.10) считать непосредственнопутем интегрирования затруднительно. Однако, если разложить максвеллианс температурой 0 в (3.10) по сферическим полиномам Эрмита с температурой1 и раскрыть индексы, то получим следующее выражениеΛ̄,1 , (1 , 0 ) =1,∞ (︁∑︀1−=001)︁ R,(︁(︁ 2 )︁(︁ 2 )︁)︁∞ (︁∑︀3^ 1 , 21 , 0 21 =1−=0(︁ 2201)︁)︁,1 ,,,0 (1 ),(3.11),где 1 ,,,0 (1 ) нелинейные стандартные МЭ, с индексами 1 = , 2 = 0, соответствующие температуре 1 .
Они могут быть получены из матричных элементовв базисе с температурой 0 путем домножения их на 1 . Таким образом, линейные модифицированные МЭ выражаются через нелинейные матричные элементы, а они нам доступны до очень больших индексов. Это решает проблемувычисления матричных элементов для нового температурного базиса.За основной параметр модифицированного метода примем параметр =1 /0 , где 1 и 0 температуры нового и старого базиса соответственно. Нужноотметить, что параметр может зависеть от времени.
Таким образом, модифицированным является метод, для которого ̸= 1.Более наглядно продемонстрировать предпосылки успешности модифицированного подхода можно, проследив за моментами ФР на конкретном примере.Рассмотрим случай СЕМ-модели при = 1, = 5. Моментная система решается в исходном базисе с температурой 0 и строятся ее моменты 0 , а затем поформуле (3.7) определяются моменты 1 в базисе с другой температурой 1 .На рисунке 3.3 хорошо видно, что моменты в базисе 0 очень велики (для = 0они оказываются порядка 106 ).
В то же время в базисе 1 = 1.5 и моментыуже имеют значения ≈ 10. При других значениях индекса наблюдается схожая картина. Помимо уменьшения абсолютных величин моментов ФР с ростомтемпературы базиса, также наблюдается и смещение отличной от нуля областимоментов в сторону меньших значений индекса . Таким образом, даже незна70Рис.
3.3. Зависимость параметров , от для СЕМ-модели в двух базисах с температурами0 , 1 , = 1.5, 0 = 37, 0 = 70. − −0 , = 0; − −1 , = 0; − −0 , = 1; − −1 , = 1.чительное изменение температуры базиса дает заметное изменение величинымоментов ФР, что, в свою очередь, улучшает сходимость при восстановленииФР.Таким образом, основными шагами при расчете моментным методом являются:1. подбор температуры, обеспечивающей подходящую величину .2. расчет матричных элементов для выбранного температурного базиса.713. пересчет коэффициентов разложения для выбранного температурного базиса.4. решение системы моментных уравнений, вид которых инвариантен относительно температуры базиса.5.
повторение предыдущих шагов при необходимости корректировки величины моментов , если температура была выбрана неудачно.При завершении вычислений для удобства можно произвести пересчет моментов в первоначальный температурный базис.Продемонстрируем, насколько модифицированный моментный метод эффективнее стандартного моментного метода на примере СЕМ-модели.Рис. 3.4. CEM-модель. 0 = 2.
Сплошные кривые: 1 − = 0, 2 − 1, 3 − 3, 4 − 5, 5 − 7, 6 − 9.Штриховые линии соответствуют точным аналитическим решениям. = 1.5.Пусть температура весового максвеллиана изменяется на каждом временном шаге численной схемы. Тогда моменты функции распределения могут бытьпересчитаны с использованием формул (3.7) и (3.8).
Зависимость температурынового базиса является линейной функции времени1 = 0 (1 + ),72 - константа, которая находится эмпирически.Рис. 3.5. CEM-модель.0 = 4. Сплошные кривые: 1 − = 1, 3 − 3, 5 − 5. Штриховые кривые:2 − = 1, 4 − 5. Штриховые линии соответствуют точным аналитическим решениям.На рисунке 3.4 приведен результат расчета для 0 = 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
