Диссертация (1149171), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Положим, что ось Х перпендику­лярна стенкам. За начало отсчета координаты примем середину промежутка. В26начальный момент времени в некотором интервале начинают рождаться ионы.Интервал, в котором происходит генерация, может занимать либо весь про­межуток, либо его часть. Скорость генерации считается постоянной на всеминтервале. Такой процесс возможен, например, при прохождении ионизующе­го излучения перпендикулярно интервалу. После начала генерации, начинаетсяразлет ионов на фоновом газе. Эволюция функции распределения ионов по ско­ростям (, , ) будет описываться нестационарным уравнением Больцмана.Будем рассматривать одномерную задачу, так что функция распределения за­висит только от одной компоненты вектора скорости - (, , ) (, , )+ = ( (, , ))(2.2)Родившиеся ионы взаимодействуют с атомами фонового газа по механизмурезонансной перезарядки.

Этот процесс можно считать рассеянием на 180 гра­дусов с постоянной относительной скоростью. Фактически, между частицамипроисходит просто обмен скоростями. Частоту столкновений считаем постоян­ной. Таким образом, механизм рассеяния будет описываться СЕМ моделью:(, ) =0 ()(1 + ),2(2.3)где - угол рассеяния, - модуль относительной скорости, 0 () = /- полное сечение рассеяния.

Полагая, что фоновый газ имеет максвелловскоераспределение по скоростям, получим следующий вид интеграла столкновений:( ) = (, ) ( ) (, , )−(2.4)где ( ) - максвелловская функция распределения с температурой фоновогогаза(︂)︂(︁ )︁1/22 ( ) =exp −.2227здесь - плотность, включающая в себя плотность генерации ионов за времямежду столкновениями 0 и концентрацию ионов ионов =R , то есть = 0 + Таким образом уравнение (2.2) принимает вид (, , ) (, , ) (, ) ( ) (, , )+ =−(2.5)Будем считать плотность ионов в начальный момент времени равнойнулю. Стенки промежутка полностью поглощающие.

Тогда начальные и гра­ничные условия записываются так(2.6) (, )|=0 = 0, (−, )|>0 = 0, (, )|<0 = 0.Для решения уравнения (2.5) преобразуем его к интегральному виду отно­сительно концентрации ионов . Из (2.5) получаем, что функция распределе­ния ионов имеет вид (, , ) =⎧R⎪1−′⎪⎨ (′ , ′ (, , ′ , )) ( ) exp(− ) d′−R′⎪1⎪⎩− (′ , ′ (, , ′ , )) ( ) exp(− − )где − ′ − ′′− =, = = −′0 ≤ ′ ≤ ПосколькуZ = d ,то получаем, чтоZ − 0 = d .Подставляя решение , окончательно получим > 0(2.7)′d < 028∞Z Z (, ) = 0 +′| (′ , ′ (, , ′ , )) ( ) exp(− |− ) 0 −d′ d .(2.8)Здесь ′ = − | − ′ |/ .Чтобы упростить дальнейшее решение, перейдем к безразмерным вели­чинам.

Расстояния будем измерять в длинах свободного пробега. За единицувремени примем время между столкновениями . = √√, ˜ = , ˜ = ˜ − ˜′˜′ = ˜ −˜ = ˜ Таким образом, после раскрытия максвеллиана уравнение (2.8) примет вид∞Z Z1 (˜, ˜) = 0 +0 −1 (˜′ , ˜ −|˜−˜′ |2˜ ) exp(−(˜√˜ +|˜−˜′ |˜ ))d˜′ d˜ .(2.9)Это уравнение решается уже численно следующим способом.

Интеграл по все­му промежутку между стенками разбивается на сумму интегралов по подпро­межуткам. Внутри каждого подпромежутка интегрирование по координате вы­полняется аналитически в предположении, что плотность в нем меняется линей­но. Такой подход позволил избавиться от скорости в знаменателе.

Зависимостьплотности от времени на каждом временном шаге тоже бралась линейная. Идалее получившееся уравнение решалось численно.Результаты численного решения приведены на рисунках 2.1-2.5. Видно,что со временем профиль концентрации (и функция распределения) становятсястационарными и соответствуют тем результатам, которые были приведены вработе [48].С ростом числа Кнудсена растет и время выходя на стационарное состоя­ние. Для больших чисел Кнудсена (более 1) можно видеть, что для небольших291.481.261t=500.8f(v)f(v)t=∞t=50t=30t=∞t=100.6t=104t=50.4t=520.2t=0.50-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50t=0.500.5-4-3-2-10vv(а ). x=01234(б ). x=1Рис. 2.1.

Временная эволюция функции распределения по скоростям при kn=0.1. Генерацияионов происходит во всем промежутке между стенками.232.5t=∞1.5f(v)1t=52t=30f(v)t=∞t=30t=10t=51.510.5t=10-3-2.5-2-1.5-1-0.50t=10.5t=0.50.50-2-1.5v(а ). x=0-1t=0.5-0.50v0.511.52(б ). x=1Рис. 2.2. Временная эволюция функции распределения по скоростям при kn=0.5. Генерацияионов происходит во всем промежутке между стенками.по модулю скоростей функция распределения имеет иной вид, нежели для боль­ших.

Это связано с тем, что из-за большой длины свободного пробега влияниестенок на профиль функции распределения чувствуется даже в центре интер­вала.Был рассмотрен также случай, когда генерация происходит в узком слоевблизи одной из стенок. В этом случае в оставшемся промежутке происходитсвободная диффузия ионов на вторую стенку. Можно заметить, что на диффу­зионном интервале происходит изменение выпуклости профиля плотности.

В то3023t=∞t=201.5t=10f(v)f(v)t=52t=51t=∞t=20t=102.51.510.5t=10-3-2.5-2-1.5-1-0.500.500.5t=1-2-1.5-1-0.5v(а ). x=00v0.511.52(б ). x=1Рис. 2.3. Временная эволюция функции распределения по скоростям при kn=1. Генерацияионов происходит во всем промежутке между стенками.55t=∞4t=∞t=154t=15t=10t=10f(v)3fi(v)3t=52t=5211t=1t=10-2-1.5-1-0.500.50-2v(а ). x=0-10v12(б ). x=1Рис. 2.4. Временная эволюция функции распределения по скоростям при kn=5. Генерацияионов происходит во всем промежутке между стенками.же время, с уменьшением числа Кнудсена в середине этого интервала возникаетобласть линейного изменения концентрации.

Из этого можно сделать вывод оналичии постоянного потока в этой области. Это позволяет провести сравнениес известными результатами для полупространственной задачи о конденсациина стенку. Как можно видеть из рисунка 2.7, результаты совпадают c результа­тами решения стационарной задачи в работе Лойялки [49]. Отмечу, что описан­ная задача о конденсации на стенку является в математическом представленииэквивалентной задаче Крамерса, которая была решена методом элементарных3114612548ni(x)ni(x)103624120000.51x1.5200.5(а ). kn=0.11x1.521.52(б ).

kn=0.5598.5487.5ni(x)ni(x)3276.5615.5000.51x(в ). kn=1.01.52500.51x(г ). kn=5.0Рис. 2.5. Эволюция профиля концентрации ионов для разных чисел Кнудсена.решений Черчиньяни [49].Сопоставление полученных нами результатов с результатами Лойялки по­казало, что подход с помощью нестационарного интегрального метода с гене­рацией в пристеночной области позволяет описать профиль концентрации вкнудсеновском слое вблизи стенки в области без генерации с использованиемСЕМ модели.

Результаты вычислений нестационарным интегральным методомсовпадают с результатами приведенными Лойялкой при рассмотрении задачио конденсации газа из полупространства на стенку, с точностью порядка 0.1%.Отличие результатов объясняется тем, что решение приближается к ста­ционарному результату на больших временах достаточно медленно, в то времякак на малых временах процесс идет довольно быстро. Значения потока так­же не являются постоянными на этом интервале. С ростом времени изменения322 0N (x )1 51 0500 ,00 ,51 ,01 ,52 ,0XРис. 2.6. Профили генерации в различные моменты времени при Kn=0.01 и генерации вузком пристеночном слое шириной 0.2.величины потока уменьшаются. Значение производной от потока по временитакже стремится к постоянной величине.Хочется отметить, что для чисел Кнудсена порядка 0.1 вычисления выпол­няются достаточно быстро.

Однако при уменьшении числа Кнудсена характер­ное время возрастает обратно пропорционально квадрату числа Кнудсена, приэтом одновременно необходимо уменьшать временной шаг сетки, что приводитк заметному росту затрат машинного времени. То есть даже при малых числахКнудсена (менее 0.01) можно получить точные результаты с использованиемкинетического уравнения, хоть это и требует значительного времени вычисле­ний.Рассмотренный пример позволил увидеть насколько эффективно можнополучать решение задач в рамках СЕМ модели. Далее СЕМ модель будет ис­пользоваться для получения аналитических результатов, а также качественныхрезультатов, которые могут служить хорошими тестовыми примерами для бо­лее сложных случаев.33Профиль плотности вблизи стенки.3 .53 .0N (x )2 .52 .01 .51 .00 .50 .00 .51 .01 .52 .0XРис. 2.7. Профили концентрации вблизи стенки N(x): сплошная линия - численный расчет,крестики - результат Лойялки.

Пунктирная линия – экстраполяция линейного профиля плот­ности.2.1. Исследование ФР ионов при наличии электрическогополя.Теперь перейдем к рассмотрению основной задачи, а именно задачи о дви­жении ионов при наличии электрического поля. Как можно видеть из рассмот­ренного выше примера, влияние неоднородностей, обусловленных наличием сте­нок, может быть довольно велико. Тем не менее, при определенных условиях,например на большом расстоянии от границ области, влияние стенок оказыва­ется пренебрежимо малым. Далее в изучаемых задачах движение частиц бу­дет обусловлено исключительно влиянием электрического поля, таким образомфункция распределения будет считаться пространственно-однородной.Рассмотрим нестационарную пространственно-однородную задачу о пове­дении малой примеси ионов после резкого включения постоянного электриче­ского поля.

В этом случае задача осесимметрична по скоростям. Малость при­меси ионов понимается в том смысле, что ион-ионные столкновения редки и34дебаевский радиус экранирования ионов много больше длины свободного про­бега. Оценим какова при этом должна быть концентрация ионов. Эффекты про­странственного заряда обуславливаются далеко разнесенными зарядами.

Такимобразом, роль пространственного заряда зависит от размера области дрейфа вэкспериментальной установке. Пусть напряженность электрического поля рав­на . Одномерное уравнение Пуассона можно записать в виде / = 4 ,где - заряд иона - плотность числа ионов. Тогда условие малости влиянияпространственного заряда на величину приложенного поля 0 можно записатькак ≪0,4(2.10)где – характерный размер области дрейфа в установке. Например, для дрей­фовой трубки длиной 10 см и при приложенном поле 2 В/см заметное влияниепримеси ионов будет возникать при концентрациях ионов более 105 −3. Одна­ко, надо отметить, что возможно использовать и большие концентрации частиц.В этом случае необходимо проводить эксперимент либо с сильными полями, ли­бо в установках небольших размеров.Таким образом, учитывая условие 2.10, взаимным влиянием заряженныхчастиц мы можем пренебречь, и развитие процесса определяется именно столк­новения ионов с атомами фонового газа.

Характеристики

Список файлов диссертации