Диссертация (1149171), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для осесимметричного по скоростям случаяФР может быть разложена по сферическим полиномам Эрмита с двумя индексами , , представляющими просто произведение полиномов Сонина на функции Лежандра, а осесимметричные матричные элементы связаны с трехмерными матричными элементами через коэффициенты Клебша-Гордана[39].
Важноотметить, что переход к осесимметричному случаю не всегда возможен. Как отмечено в статье [23], в некоторых работах в не осесимметричном по скоростямслучае, применяют разложения только по полиномам Лежандра, что можетприводит к количественно неверным и даже качественно неверным результатам даже для коэффициентов диффузии. Для таких не осесимметричных задач20многообещающим является подход основанный на разложении по сферическимгармоникам.В случае когда разложение ФР производится только по сферическим гармоникам, ФР представляется в виде (c) = ∑︁1∞ ∑︁∑︁,(),(Θ, ).(1.16)=0 =0 =0В [35] было показано, что в самом общем, нелинейном, случае интегралстолкновений можно записать так(c) =∑︁,(Θ, ),(),(1.17),,где∞Z ∞Z,() =∑︁12,,1 ,1 ,1 ,2 ,2 ,2 (, 1 , 2 )1 ,1 (1 )2 ,2 (2 )1 2 (1.18)1 ,1 ,1 ,2 ,2 ,2 0 0Здесь 1 ,2 (, 1 , 2 ) - ядра интеграла столкновений.
Они могут быть представлены в виде суммы приходного(+) и уходного(−) членов(+)(−)1 ,2 (, 1 , 2 ) = 1 ,2 (, 1 , 2 ) − 1 ,2 (, 1 , 2 )(1.19)Если обобщить (1.18) на случай двухкомпонентной смеси и считать, что фоновый газ, на котором происходит рассеяние, имеет максвеловское распределение,то мы перейдем к линейному ядру.
В этом случае∞Z(+),() = −(),() + (, 1 ),(1 )1 .(1.20)0Гекке в работе [40] построил разложение по сферическим гармоникам линеаризованного ядра Гильберта [41] для модели твердых шаров и получил формулы для + (, 1 ) и (). В наших обозначениях они имеют вид2−() = 1/2 + (1/2 + )Φ(),(1.21)21(︂ )︂3/2[︂11 2+1−2= 42 + 1 (1 )+1⎤√Z2⎥Φ() (/) (/1 )⎦ ,2+ (, 1 )+11(1.22)||<здесь Φ() – интеграл вероятности, а = (, 1 ).Надо отметить, что позднее эти же (1.21), (1.22) ядра были получены Пекерисом и Альтерманом в несколько другом виде [42].
Многие авторы, использовавшие метод разложения по сферическим гармоникам, в частности Лойлка[43], в своих работах ссылались на эти более поздние работы.Как показано в [35] ядро 1 ,2 (, 1 , 2 ) может быть выражено через матричные элементы интеграла столкновений.1 ,2 (, 1 , 2 ) == ()∑︁ +1/2(2 ),1 ,1 ,2 ,2,1 ,211 11+1/2 (21 ) 22 22+1/2 (22 )1 ,12 ,2,(1.23)где , – нормировочные множители полиномов Сонина.Формула (1.23) позволяет построить члены разложения для произвольныхстепенных сечений рассеяния, поскольку в этом случае могут быть построеныматричные элементы.
Следует отметить, что построение ядер через матричныеэлементы по формулам типа (1.23) представляет собой серьезную самостоятельную научную проблему. Для достижения высокой точности в (1.23) необходимо выполнять суммирование до довольно больших значений , 1 , 2 . При этомнеобходимо знать асимптотическое поведение матричных элементов и полиномов Сонина при больших значениях индексов.
Эта работа была начата в [44] идолжна быть закончена в ближайшем будущем.1.4. Выводы главы 1Обобщая сказанное в главе, можно сделать вывод, что к настоящему времени основной упор в изучении поведения ионов в электрическом поле делался на22вычислении коэффициентов переноса и, в частности, подвижности. Работы, вкоторых делается попытка изучения непосредственно функции распределения,крайне редки.
Основными подходами теоретического исследования являются,либо прямое численное моделирование либо моментные методы с использованием различных моделей и разложений по различным системам ортогональных функций. Основной трудностью является расчет интеграла столкновений.Однако, эта трудность преодолевается благодаря рекуррентным соотношениямдля матричных элементов интеграла столкновений, которые получены в работах А.Я.Эндера и И.А.Эндер.23Глава 2Релаксация ФР ионов после резкого включенияпостоянного электрического поля инестационарный моментный методКак следует из обзора литературы, требуется дальнейшее развитие кинетического подхода применительно к задаче об описании поведения примеси ионовв фоновом газе.
При этом важным отличием данной работы от множества других является то, что основной упор будет делаться на вычисление функциираспределения. При решении используется нестационарный подход, которыйзаключается в том, что стационарное решение ищется как предел развитиянестационарного процесса на больших временах. Таким образом, мы получаемрешения и для стационарной, и для нестационарной задач одновременно. Этопозволяет получить результаты в большем объеме, чем при традиционной стационарной постановке. Нестационарный подход ранее с успехом был примененв книге [35]. В этой работе моментным методом были успешно решены задачи орелаксации сильно неравновесной функции распределения к равновесному распределению. В частности, была рассмотрена задача о релаксации с начальнойBKW-модой [45].
Несмотря на то, что зачастую такой способ решения являетсядовольно трудоемким, его несомненным плюсом является, то что в результатеудается не только получить стационарные решения, но и исследовать сопутствующие нестационарные процессы.В диссертации изучались в основном пять моделей упругих взаимодействий. Учет неупругих процессов не проводился в связи с тем, что в отличие отэлектронов, для ионов их вероятность крайне мала. При рассматриваемых полях (до 103 Тд) основная масса ионов не будет обладать достаточной энергиейдля возникновения неупругих процессов. В силу условия малости плотности,24возможные тройные столкновения и сопутствующие им химические реакциитакже не рассматривались.В книге [35] матричные элементы интеграла столкновений были получены для случая степенных потенциалов, т.е.
когда потенциал взаимодействия зависит от расстояния степенным образом ( ∼1 ).В этом случае сечениерассеяния имеет вид(, ) = −1 (), = sin2 (/2), = ( − 4).(2.1)Здесь - угол рассеяния, () - угловая часть рассеяния, которая определена параметром однозначно. Например, для известной модели твердых шаров рассеяние изотропно и () = . В кинетике нередко используетсямодель псевдостепенных потенциалов, когда угловое рассеяние предполагаетсяизотропным, а зависимость сечения рассеяния от модуля скорости берется идентичной степенному потенциалу. Аналогично можно ввести различные моделиквазистепенных потенциалов с фиксированным значением .
В этих моделях сохраняется зависимость от для степенного потенциала, а угловая зависимостьвыбирается произвольно.При взаимодействии ионов с атомами того же сорта (собственный газ),очень важную роль играет резонансная перезарядка ионов на атомах. Это явление происходит, когда ион, пролетая мимо атома, отнимает у него электрон.В результате ион превращается в атом, а атом в ион. Этот процесс происходитпри столкновениях с большими прицельными расстояниями, благодаря чему,изменения направления движения частиц не происходит.
С кинетической точки зрения это соответствует рассеянию на 180 градусов.В расчетах мы в основном использовали 5 моделей рассеяния соответствующих степенным потенциалам, поскольку для этого типа потенциалов доступнырекуррентные соотношения для матричных элементов интеграла столкновений.Эти модели упругих взаимодействий можно разделить на две группы.Модели с постоянной длинной свободного пробега ( = ):25∙ HS-модель (модель твердых шаров) – рассеяние изотропно, полное сечениене зависит от скорости;∙ CEHS-модель (резонансная перезарядка с постоянной длинной свободногопробега) – угловая часть сечения - резонансная перезарядка, сечение независит от скорости.Модели с постоянным временем между столкновениями ( = ):∙ CEM-модель (Charge Exchange Maxwellian) – угловая часть сечения - резонансная перезарядка, т.е. рассеяние на 180∘ , полное сечение рассеянияобратно пропорционально относительной скорости;∙ ММ-модель (Максвелловские молекулы) – угловая часть задается известной формулой, полное сечение обратно пропорционально относительнойскорости;∙ PMM-модель (Псевдомаксвелловские молекулы) – рассеяние изотропно,полное сечение рассеяния обратно пропорционально относительной скорости (модель Крука-Ву).Как было отмечено во введении, СЕМ модель, хотя и далеко не всегдадает точные количественные результаты, но тем не менее позволяет во многихслучаях получить верное качественное представление о процессе.
По этой причине ее с успехом продолжают использовать во многих работах [22, 46, 47]. Вкачестве примера успешного использования СЕМ модели стоит рассмотреть следующую задачу о разлете ионов из генерирующего промежутка между двумяпоглощающими стенками. Ранее такая задача, но в стационарной постановке,была рассмотрена в работе [48].Рассмотрим фоновый газ с максвелловской функцией распределения поскоростям, заключенный между двумя идеально поглощающими стенками. Расстояние между стенками примем равным 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
