Диссертация (1149171), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Массы ионов и атомов фонового газасчитаем равными = = . Фоновый атомный газ имеет максвелловскоераспределение с температурой :(︁ )︁3/2 () =(− 2 /2 ),2 (2.11)где – масса атома, которая в рассматриваемом случае совпадает с массойиона, – постоянная Больцмана, а – скорость атома. Начальную ФР ионов (v, ) считаем совпадающей с ФР атомов: (v, 0) = (v)Примем, что внешнее электрическое поле направлено по оси . Процесс35эволюции функции распределения примеси ионов (v, ) в этом случае описы­вается размерным уравнением Больцмана (v, ) E (v, )+= (, ) (2.12)здесь (, ) - интеграл столкновений уравнения Больцмана, а пространствен­ная производная отсутствует в связи с пространственно-однородной постанов­кой задачи.Для унификации получаемых результатов удобнее всего перейти к безраз­мерным переменным.

В качестве единицы измерения скорости выберем тепло­вую скорость =√︀2 /. В качестве единицы измерения времени – среднеевремя между столкновениями . Для моделей с постоянной длинной свободно­го пробега примем = / . В качестве характеристики поля используетсябезразмерный параметр . Он определяется как отношение энергии приобретае­мой ионом за время между столкновениями к тепловой энергии фонового газа.Параметр далее будет называться безразмерной напряженностью электриче­ского поля. Он определяется следующим образом.∙ Для моделей взаимодействия частиц с = = √2 (2.13)∙ Для моделей взаимодействия частиц с = =2(2.14)где – напряженность внешнего электрического поля, а – величина зарядаэлектрона.Такое же определение безразмерного поля было использовано Мезоном [1].Им была предложена следующая классификация полей по величине : слабымполям соответствует < 0.1, умеренным - 0.1 < < 1, сильным - > 1.

Отметимчто, если принять сечение рассеяния иона на атоме Σ = 5 · 10−19 2 [1], тозначению = 1 при нормальных условиях будет соответствовать / ≈ 23 .36С использованием предложенной нормировки уравнение (2.12) запишетсякак (c, ) (c, )+= (, ).(2.15)Здесь – безразмерная скорость. Для безразмерного времени и безразмер­ного интеграла столкновений (, ) сохранены то же обозначение, что и дляразмерного. Далее, если фоновый газ не меняет своего распределения и инте­грал столкновений оказывается линейным, то будет использоваться обозначе­ние ( ).Будет изучаться нестационарный процесс после момента = 0, когда про­исходит резкое включение постоянного электрического поля.

Изучение процессарелаксации позволяет не только получить картину эволюции функции распре­деления, но и с высокой точностью вычислить стационарную функцию распре­деления, получающуюся в пределе больших времен.2.2. Аналитическое решение нестационарной задачи.СЕМ модель.Ниже приведено аналитическое решение задачи о движении ионов дляслучая резкого включения электрического поля в рамках СЕМ модели. Этирезультат был представлены в докладе А.Я.Эндера и И.А.Эндер [34].В рассмотренном случае резонансной перезарядки ион, пролетая мимо ато­ма, обменивается с ним электроном, не изменяя при этом направления своегодвижения.

При равенстве масс иона и атома это эквивалентно рассеянию на180 . Дифференциальное сечение такого процесса имеет вид(, ) = Σ()( − ).Здесь Σ() – часть сечения, зависящая от относительной скорости иона и атома , а – угол рассеяния иона. В случае CEM-модели, когда Σ() ∼ 1/ , инте­37грал столкновений принимает вид совпадающий с хорошо известной модельюинтеграла столкновений Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК)[30] :( ) = (c) − (c),где – не зависящее от скорости среднее время между столкновениями. В вы­бранных нами единицах измерения времени в знаменателе будет стоять простоединица.В случае CEM-модели распределение ионов по поперечным скоростям ( )не меняется в ходе процесса релаксации. Оно остается максвелловским.

Функ­цию распределения достаточно строить только на оси симметрии, то есть при = 0, и она зависит только от двух переменных и . Таким образом, урав­нение (2.12), описывающее эволюцию функцию распределения ионов на осисимметрии после включения электрического поля, в безразмерных переменныхбудет иметь видгде ( , ) ( , )+ ( , ) = ( ),+ ()(2.16)(︂ )︂3/21 ( ) =(−2 )(2.17)Рассмотрим задачу, когда в начальный момент времени происходит резкоевключение постоянного электрического поля() = Θ()0 ,(2.18)где Θ() – функция скачка Хевисайда. В этом случае напряженность электри­ческого поля сразу после включения мгновенно принимает максимальное зна­чение 0 .Решением уравнения (2.16) без учета нестационарного члена / будет√ ( , ) =2 ( ) (1 + ()),20(2.19)38где = − 1/20 , () – интеграл вероятности.Решая же нестационарное уравнение (2.16), например с помощью Mapleили методом характеристик, как описано в работе [34], получается нестацио­нарное решение для ФР на оси симметрии в виде√ ( , ) =2 ( ) ( (0 − ) + ()) + − ( − 0 ).20(2.20)На рисунке 2.8 приведены результаты расчета ФР по аналитическим фор­муле (2.20) при 0 = 2.

Видно, что сразу после включения электрического поляс напряженностью 0 на ФР возникает возмущение сначала в области малыхскоростей, в дальнейшем оно формируется в виде некоторого фронта, которыйраспространяется в направлении положительных скоростей, причем скоростьдвижения этого фронта / ≃ 0 . Позади этого фронта устанавливается ста­ционарная ФР. Можно видеть, что установление стационарной ФР в областибольших скоростей происходит с заметной задержкой.Рис. 2.8. Функции распределения на оси симметрии в раз- ные моменты времени при 0 = 2:(a) – ( , ) и (b) – ( , ) = ( , )/ ( , ∞).

Аналитическое решение, CEM-модель. = 0— кривая 1, 0.5 (2), 1 (3), 2 (4), 3 (5), 4 (6), 5 (7), 10 (8).Полученное аналитическое решение 2.20 было использовано при работенад реализацией описываемого далее моментного метода.392.3. Нестационарный моментный метод. СЕМ модель.Одним из основных методов решения уравнения Больцмана является стан­дартный моментный метод, предложенный еще Барнеттом [17, 18]. Он заключа­ется в том, что ФР разлагается по сферическим полиномам Эрмита (функциямБарнетта).

Большим прорывом стало развитие так называемого нестационарно­го моментного метода и построение рекуррентных соотношений для матричныхэлементов интеграла столкновений А.Я.Эндером и И.А. Эндер [35]. В результа­те использования для решения релаксационных задач, моментный метод оказал­ся пригодным не только для построения нескольких первых моментов функциираспределения (ФР), но и для построения самой ФР вплоть до 5-10-ти тепловыхскоростей.В диссертации нестационарный моментный метод был применен для реше­ния задачи об эволюции ионов после резкого включения электрического поля.В результате находилось не только стационарное состояние, но и определялисьособенности переходного процесса.

Рассмотрение было проведено для различ­ных величин безразмерной напряженности электрического поля. Результатыэтих исследований были опубликованы в работах [36, 50, 51].Как было сказано в ранее, в нестационарном моментном методе прово­дится разложение функции распределения около максвеллиана с температуройатомов. Ниже будет рассматриваться пространственно однородный и осесим­метричный по скоростям случай.

При такой постановке можно опустить однуиз угловых зависимостей и положить равными нулю индексы и сферическихполиномов Эрмита. Соответственно разложение разложение можно записать: (c, ) = (, ) ∑︁∑︁, (), (c),=0 =0 (, ) = (/(2 ))3/2 exp(−2 ),√, (c) = (cos Θ) +1/2(2 ), = ( − )(2.21)40где (, )- максвелловская функция распределения по скоростям с темпера­турой и средней скоростьюu, +1/2(2 )- полиномы Сонина, а , () - соот­ветствующие моменты функции распределения.Система безразмерных уравнений для коэффициентов разложения , (мо­ментных уравнений), соответствующая уравнению Больцмана (2.15), в этом слу­чае имеет вид(︂)︂ ∑︁,22+ 0( + 1)−1,+1 −,−1 =Λ,1 , 1 , .2 + 32 − 1(2.22)1Λ,1 , -линейные матричные элементы интеграла столкновений:Z(2 + 2 + 1)!!Λ,1 , = , ( (c)1 , c, (c))/, c, , =.(2)!!2 (2 + 1)(2.23)При решении кинетических задач, чаще всего наибольший интерес пред­ставляют так называемые физические моменты.

Так называются средние зна­чения некоторых физических величин, которые обычно выражаются через раз­личные комбинации степеней скоростей частиц. При нормировке функции рас­пределения на единицу, средние значения определяются следующим образом:Z⟨ ⟩= 3 (2.24)Можно видеть, что первые коэффициенты разложения функции распределенияпо сферическим полиномам Эрмита оказываются физическими моментами. Та­ким образом имеем:01 =111⟨ ⟩, 10 =⟨3/2 − 2 ⟩, 11 =⟨(5/2 − 2 ) ⟩,011011(2.25)Средняя скорость ионов - это дрейфовая скорость, которую будем обозначать .

Для нее имеем:1 = 01 .(2.26)2Одним из основных параметров, определяющих процесс переноса ионов явля­ется подвижность . Она определяется как отношение скорости дрейфа к ве­личине электрического поля. В нашем случае:=.(2.27)41Другим важным параметром является средняя энергия ионов = 2 /2, всистеме отсчета, связанной с атомами. Для безразмерной энергии (отнесеннойк тепловой ) имеем:= 3/2(00 − 10 ).(2.28)Средний безразмерный поток энергии в этой же системе отсчета определяетсяследующим образом:√︀2 /= 5/4(01 − 11 ).(2.29)Таким образом, для вычисления отдельных физических моментов при исполь­зовании моментного метода не обязательно проводить интегрирование функ­ции распределения, поскольку они могут быть выражены просто через первыемоменты , .

Однако, без правильного вычисления старших моментов, невоз­можно получение точных значений младших.Построение матричных элементов Λ,1 , моментной системы (2.22) в случаеСЕМ-модели не является такой сложной задачей как в случае других моделей.Так, матричные элементы имеют видΛ,1 , = (,0 ,0 − 1),1(2.30)Видно, что матрица диагональна при любом , и ее собственные значения равны-1 кроме Λ0,0,0 .При такой матрице, система (2.22) рекуррентно разрешима. При = 0 и = 1 получается уравнение0,1+ 0,1 = 20(2.31)Как было сказано ранее, скорость дрейфа ионов = 01 /2, и подвиж­ность ионов = /0 .

Таким образом, в выбранных единицах при любойнапряженности электрического поля для СЕМ-модели имеет вид = 1 − exp(−).(2.32)42Надо отметить, что зависимость подвижности от времени () в случае СЕМмодели не зависит от поля и с течением времени стремится к единице.Вопрос о сходимости является крайне важным для использования момент­ного метода. Он был подробно изучен на примере СЕМ модели в работах [36, 50].Сравнивалась ФР, восстановленная через моменты, и ФР, полученная путеманалитического решения уравнения Больцмана (2.20). Важным условием, вы­полнение которого необходимо для возможности использования моментного ме­тода, является условие сходимости разложения функции , требующее чтобыразлагаемая функция удовлетворяла условию (критерий Греда):∞Z 2 exp(2 )3 < ∞.(2.33)0Как было отмечено в статье [36], из формул (2.19) и (2.20) видно, что стаци­онарная функция распределения для задачи о релаксации примеси ионов послевключения постоянного электрического поля в случае СЕМ-модели не удовле­творяет условию сходимости, поскольку функция убывает недостаточно быстрос ростом скорости.

Характеристики

Список файлов диссертации