Диссертация (1149171), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Оказалось, что при произвольных частотах для всех рассмотренных нами сеченийвзаимодействия в группу моментов первого порядка по вошли только , при = 1 и всех значениях . В группу моментов второго порядка вошли , при = 0, > 0 и все при = 2.Таким образом, можно утверждать, что всегда при малых ФР вплоть довторого приближения можно представлять в виде(︁)︁(1)2 (2) (c, ) = () 1 + Φ + Φ,(4.50)98(1)Φ=0 −1∑︁,1 (c),1 ()/,=0(2)Φ=0 −1∑︁2,0 (c),0 ()/ +0 −2∑︁=1,2 (c),2 ()/2 ,=0где 0 - максимальное число полиномов Сонина в разложении функции распределения (в наших расчетах 0 <= 128).Рассмотрим периодическую часть поправок к функции распределения дляHS-модели.
Напомним, что для СЕМ-модели(︂)︂Φ(1)(︀ )︀= 2 ˜ ,(4.51)(︀ )︀= (22 − 1) ˜ (4.52)(︂Φ(2))︂где ˜(︀ )︀и ˜(︀)︀приведенные ток и поправка к полной энергии, которыеопределялись формулами (4.18) и (4.20). На Рис.4.13a,b представлены первая и(︀ )︀(︀ )︀(1)(2)Рис. 4.13. Зависимости Φ ( , 0)/ ˜ и Φ ( , 0)/ ˜ . (a) : HS-модель , кривая 1 – = 0.3, 2 – = 10, 3 – = 50, 4 – CEM-модель; (b): HS-модель, кривая 1 – = 0.3, 0 = 64, 2– = 0.3, 0 = 4, 3 – = 0.3, 0 = 8, 5 – = 50, 0 = 1, 6 – = 50, 0 = 64, 4 – CEM-модель.вторая поправки к ФР для модели твердых шаров в сечении = 0. На Рис.4.13a(1)представлено отношение Φ ( , 0)/ ˜(︀ )︀(1)для трех частот = 0.3, 10, 50.При низких частотах для расчета Φ потребовалось достаточно большое число99полиномов Сонина (при = 0.1 величина 0 = 64).
При больших частотах,моменты ,1 убывают настолько быстро, что уже даже для = 10 можноограничиться малым число коэффициентов разложения. Видно, что при малых(1)частотах Φ сильно отличается от СЕМ-модели. Важно подчеркнуть, что при(1)(1)больших частотах, Φ практически совпадает с Φ для СЕМ-модели.
Болеетого, это же свойство было подтверждено и для других моделей. Таким образом,(1)для любых сечений взаимодействия при больших частотах Φопределяетсяформулой (4.51).(2)Поправка Φ / ˜(︀)︀в случае произвольных сечений рассеяния при)︀(2) (︀ → ∞ не может стремиться к Φ / ˜ для CEM-модели.
Действительно, как мы показали выше, поправка к полной энергии сходится при → ∞к соответствующей поправке для СEM-модели. Однако, для любых сеченийрассеяния кроме резонансной перезарядки происходит накопление поперечнойсоставляющей энергии, продольная энергия становится меньше чем в случаеCEM-модели и ФР в направлении оси будет отличной от СEM-модели. Это(2)видно на Рис.4.13b, где при = 50 отношение Φ / ˜(︀)︀для HS-моделиоказалось ниже чем для СEM-модели.
Здесь же из кривой 6 видно, что точныйрезультат получается при минимальном числе коэффициентов разложения ФР– учитываются только 1,0 и 0,2 .Расчеты для различных сечений показали, что с ростом частоты все моменты, кроме 1,0 и 0,2 , сильно убывают. Ограничиваясь только двумя моментами,поправку второго приближения можно представить в виде(︂)︂Φ(2) ( , ) = Φ(2) ( )− 22 2 () ,(4.53)где поперечная поправка к энергии выражается через моменты 1,0 и 0,2по формуле (4.30).(2)На Рис.4.13b показаны также Φ / ˜(︀)︀при низкой частоте: = 0.3.Видно, что здесь сходимость к решению с ростом числа полиномов Сониназначительно более медленная, чем при высоких частотах.100Сравнение результатов расчетов ФР и ее моментов для произвольных сечений взаимодействия с аналитическими результатами для CEM-модели в случаемалых показало удивительно хорошее совпадение.
В первом приближенииполное совпадение наблюдается в пределе очень высоких частот. Такое совпадение делает особенно значимыми аналитические результаты для CEM-модели.Разница во втором приближении при высоких частотах связана с тем, что в отличие от резонансной перезарядки, у других сечений появляется поперечнаясоставляющая энергии.Напомним, что совпадение результатов наблюдается только при проведении расчетов моментным методом в нестандартной нормировке, которая определяется так, чтобы безразмерная подвижность в постоянном поле при малых равнялась единице.
В частности, для любых сечений взаимодействия наблюдается полное совпадение зависимостей фазового сдвига между током и полем отчастоты (4.47). Этот факт можно использовать для экспериментального определения эффективного среднего времени между столкновениями .Как и в задаче с включением постоянного электрического поля, расчетынестационарным моментным методом удалось проводить в не очень широкомдиапазоне амплитуд электрического поля.
Как показало численное исследование, с использованием стандартного нестационарного моментного метода при ≈ 1 удается построить ФР при полях с амплитудой до 0 = 2. При такихзначениях 0 функция распределения уже сильно неравновесна. Чтобы продвинуться в область еще больших значений 0 необходимо использовать модифицированный моментный метод, описанный в предыдущей главе. Напомню, что оноснован на разложении ФР по сферическим полиномам Эрмита (), которыеявляются произведением сферических гармоник на полиномы Сонина. Причем,разложение производится около максвеллиана с температурой, которая меняется с течением времени.После подстановки разложения функции распределения в исходное уравнение и интегрирования с ортогональными функциями, в осесимметричном по101скоростям случае уравнение Больцмана заменяется системой уравнений длякоэффициентов разложения(︂)︂ ∑︁,22+ ()( + 1)−1,+1 −,−1 =,1 ,,0,0 1,2 + 32 − 1(4.54)1 ,,Здесь индексы , опущены в силу симметрии задачи, а 1 ,,0,0 = Λ̄,1 , – линейные матричные элементы.
Они рассчитываются с помощью процедур составленных по рекуррентным формулам из [35]. При работе с модифицированныммоментным методом нам необходимо уметь осуществлять переход из одноготемпературного базиса в другой. Этот переход осуществляется с помощью следующих соотношений.1,=∑︁,, (1 , 0 ) 0 , ,=0..(−1)+ ! 0 (+/2) (1 − 0 )−,, (1 , 0 ) =!1 (+/2) ( − )!(4.55)Таким образом, препятствия для применения модифицированного метода, связанные с расчетом матричных элементов, удается устранить.4.4. Результаты расчетов для ряда моделейвзаимодействия.Сразу хочется отметить, что использование модифицированного моментного метода позволило существенно продвинуться в расчетах по сравнению состандартным нестационарным моментным методом до 0 = 10.Основные расчеты были выполнены для разных сечений рассеяния при0 = 6 и = 2 .
Ниже на рисунках 4.14, 4.15, 4.16, 4.17 приведены графики ФРдля скорости, направленной вдоль поля (вдоль оси Z) для нескольких моделейсечений рассеяния. На каждом из графиков показаны функции в различныемоменты времени, соответствующие максимальному значению тока. Фазу токаобозначим . Максимальному току будет соответствовать = 2 . Видно,102что функция распределения имеет резкий максимум в первом полупериоде длявсех рассмотренных моделей взаимодействия.
Однако этот максимум быстроисчезает, и уже к третьему полупериоду его следы отсутствуют.0.140.121f(vz)0.10.0820.0630.044,650.020-10-50510vzРис. 4.14. ФР при = 0. CEM - модель. 0 = 6, = 2. В различные моменты времени : 1 − 0, 2 − , 3 − 2, 4 − 3, 5 − 4, 6 − 5.0.1210.1f(vz)0.0820.060.0443,50.020-10-50510vzРис. 4.15. ФР при = 0. CEHS - модель, 0 = 6, = 2. В различные моменты времени : 1 − 0, 2 − , 3 − 2, 4 − 3, 5 − 4.1030.120.11f(vz)0.080.060.0420.024,6350-10-50510vzРис.
4.16. ФР при = 0. ПММ - модель, 0 = 6, = 2. В различные моменты времени : 1 − 0, 2 − , 3 − 2, 4 − 3, 5 − 4, 6 − 5.0.11f(vz)0.080.060.0420.0243,50-8 -6 -4 -202468vzРис. 4.17. ФР при = 0. HS - модель. 0 = 6, = 2. В различные моменты времени :1 − 0, 2 − , 3 − 2, 4 − 3, 5 − 4.На рис.4.18 приведены графики функций распределения для разных сечений рассеяния в один и тот же момент времени.
Можно видеть, что эти функциисильно отличаются от максвелловских. Это говорит о том, что использованиеметодов, основанных на разложении Чепмена-Энскога, для подобных расчетов,не корректно. Также хорошо видно, что ФР для СЕМ и CEHS моделей имеют104по два выраженных максимума, в то время как ФР для твердых шаров, максвелловских и псевдомаксвелловских молекул имеют только один максимум.
Хочется отметить, что приведенные расчеты позволили получить ФР в довольношироком диапазоне скоростей (вплоть до 10 тепловых).Рис. 4.18. Сравнение ФР при = 0 для различных моделей в момент времени = 16 .0 = 6, = 2. 1 - CEHS, 2 - CEM, 3 - HS, 4 - максвелловские молекулы, 5 - PMMДалее приводятся результаты расчета интегральных характеристик, рассчитанных с помощью полученных функций распределения. Были изучены временные зависимости тока и составляющих энергии в направлении поля и перпендикулярно ему. MM - максвелловские молекулы, AHS - твердые шары спреимущественным рассеянием вперед: (Θ) = 1 − 2 (Θ/2)Из рис.
4.19 видно, что периодические кривые токов для отдельных группмоделей ( = или = ) почти совпадают, в то время как междутоками разных групп видна заметная разница. Это дает нам основание изучатьзависимость полного сечения от энергии независимо от угловой части.Рисунок 4.20 показывает зависимости сдвига (токов) для и моделейот величины амплитуды поля. Из него хорошо видно, что при любых частотахполя разница фаз между токами для обеих групп моделей увеличивается сростом поля. Наиболее заметно это в случае небольших частот полей порядка1051 ,010 ,5~j( t)20 ,0-0 ,5-1 ,0024681 01 21 4tРис. 4.19. Зависимость ионного тока от времени для различных сечений рассеяния 1 – = (CEM, PMM, MM), 2 – = (CEHS, HS, AHS).
0 = 6, = 21.611.42Δφ1.2130.80.640.40.202468ε0Рис. 4.20. Зависимость сдвига фазы между током и полем для CEM( = ) и HS( =) - моделей в зависимости от величины амплитуды поля при различных частотах поля: 1 - = 10, 2 - =5, 3 - =2, 4 - =0.5( ≈ 1).1064.5. Возможный эксперимент на основе результатоврасчетов.Полученные зависимости функции распределения для различных моделейвзаимодействия позволяют предложить возможные экспериментальные способы проверки теоретических результатов. Как было обнаружено из анализа результатов расчета функции распределения, при фиксированных значениях ∼1 и 0 существует предельная величина модуля скорости ионов, выше которойчисло ионов резко падает.
Можно попробовать наблюдать этот эффект путемизмерения тока на зонд с задерживающим потенциалом. Возможна следующаясхема эксперимента. Пусть между двумя плоскими электродами, один из которых заземлен, находится газ с небольшой примесью ионов. К не заземленномуэлектроду в некоторый момент времени прикладывается переменное гармоническое напряжение так, что в момент включения напряжение принимает максимальное значение. Заземленный электрод может быть сделан в виде сетки илидиафрагмы, а с внешней стороны параллельно ему расположен еще один электрод (зонд), на который подан отрицательный потенциал относительно сетки .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
