Диссертация (1149171), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Константа выбрана равной 1.5. Если сравнить полученное решение с результатом из статьи [36],то можно увидеть, что использование модифицированного моментного методапозволило провести расчет ФР для значительно больших времен. Одновременнос этим, удается уменьшить необходимое число членов разложения ФР (0 , 0 ).Также был проведен расчет и для 0 = 4 (рисунок 3.5). При таком сильном полепредел сходимости увеличился в 3.5 раза (от 0 = 5 до 18).3.3.
Выводы главы 3Обобщая результаты этой главы, можно сказать следующее:1. Метод разложения по сферическим гармоникам является многообещающим методом с учетом того, что ядра интеграла столкновений оказывается возможным строить через матричные элементы разложения интеграластолкновений по полиномам Сонина. Также этот метод открывает возможность вычисления функции распределения в интервале скоростей, гораздоболее широком, чем при применении моментного метода. Однако, главной73сложностью на данный момент является построение устойчивой численной схемы, которая бы позволила продвинуться в вычислениях в областьсильных полей (0 > 1).2.
Модифицированный моментный метод оказался пригодным для расчетафункции распределения не только для области умеренных электрическихполей, но и для полей с величиной 0 порядка 5-6. Этим методом оказалось возможным успешно строить функцию распределения вплоть до10 тепловых скоростей. Дальнейший потенциал этого метода может бытьраскрыт при его использовании в задачах с переменным электрическимполем. Рассмотрению этой задачи посвящена следующая глава.74Глава 4Релаксация функции распределения ионов послерезкого включения периодическогоэлектрического поля.Первые работы по переносу заряженных частиц в газах при наличии переменного электрического поля были опубликованы еще в 30-х годах прошлоговека.
В частности, хорошо известна книга по этому вопросу, написанная Чепменом и Каулингом [38]. Большинство ранних работы было посвящено изучениюповедения электронных групп. Наибольший вклад в развитие этого вопроса вто время внесли Холстейн[66], Маганю [67], Хартман [68], МакДональд и Браун [69, 70]. Тем не менее, надо заметить, что их методы позволяли улучшитьподходы, используемые для задач с постоянным полем, а именно двухчленноеприближение и замену больцмановского столкновительного оператора модельюДавыдова для упруго сталкивающихся электронов [71].
Из всех методов стоитотметить два: 1 – метод разложения в ряд Фурье [67, 68, 72, 73], 2 – теория эффективного поля [66, 69, 70, 74, 75]. В 1990-х годах с ростом вычислительныхмощностей появились первые работы с использованием моментного подхода, вкоторых авторы пытались использовать больше двух членов разложения [76].Однако число учитываемых челнов разложения не превышало 10. Только вовторой половине 1990-х годов появились работы, которые использовали большее число членов разложения в приложении к задачам о движении электронов.Эти работы были выполнены в Австралии [77, 78] и в Грайфсвальде [79–81] ипозволили очень точно описать процессы переноса электронов в переменныхполях.Несмотря на обилие работ по описанию процессов движения ионов в постоянных полях, а также большому числу работ по движению электронов в пере75менных полях, движению ионов в переменных полях, насколько известно автору, посвящено очень мало работ.
Автору удалось обнаружить всего несколькоработ освещающих этот вопрос. Это работы Шугавары[47], Робсона [46], Уайта [24, 82]. Таким образом, результаты представленные в этой главе должныпомочь закрыть имеющийся пробел в описании поведения ионов в переменномэлектрическом поле.В этой главе будут представлены результаты решения задачи о движенииионов в собственном газе при наличии переменного электрического поля. Этирезультаты были опубликованы в работах [83–85]. В случая СЕМ-модели задача решается аналитически.
Полученное решение позволяет подробно изучитьслучай СЕМ-модели, а также дает хороший тестовый пример для проверкимодифицированного моментного метода. Дальнейшее применение модифицированного моментного метода позволяет изучить задачу для нескольких моделейс постоянной частотой столкновений и постоянной длинно свободного пробега.Постановка задачи схожа со случаем постоянного поля. Рассматриваетсяпространственно однородная задача об эволюции функции распределения малой примеси ионов в собственном газе (массы ионов и атомов равны). В силумалости примеси ионов, функция распределения фонового газа не изменяетсяв ходе развития процесса и остается максвелловской с температурой .
Изучается эволюция ФР малой ионной примеси после резкого включения уже непостоянного, а периодического электрического поля. Напряженность электрического поля изменяется по гармоническому закону:() = 0 ()()Для унификации представления результатов используются безразмерные величины.
Единицами измерения выбраны:∙ для скорости - тепловая скорость =√︀2 /.∙ для времени - среднее время между столкновениями . Для моделей =76– как отношение /∙ Безразмерная амплитуда электрического поля 0 определяется для = как:0 ,0 = √2 а для моделей = соответственно как:0 =0 .2(4.1)(4.2)Функция распределения ионов по скоростям вычисляется путем решенияуравнения Больцмана, которое в безразмерных единицах имеет вид (c, t) () (c, t)+= ( (c, t)).(4.3)Здесь направлена вдоль электрического поля (оси z), ( (c, t))- интегралстолкновений4.1. Аналитическое решение для гармонического поля.CEM модель.Как и в случае задачи с постоянным электрическим полем, сначала было получено аналитическое решение для случая СЕМ модели. Это позволилопровести качественное рассмотрение задачи и дало основу для тестированиячисленного метода решения, в нашем случае - модифицированного моментногометода.Итак, как было сказано ранее, в случае СЕМ модели интеграл столкновений принимает вид БГК модели.
Задача обладает цилиндрической симметрией. При резонансной перезарядке функция распределения ионов в направленииперпендикулярном вектору напряженности электрического поля изменяться небудет и сохранится маквелловской. Таким образом, можно рассматривать одно77мерное уравнение: (, ) (, )+ 0 cos()+ (, ) = ( )(4.4)с начальными условиями (0, ) = ( ), ( ) = −3/2 exp(−2 ).Аналитическое решение получается следующим образом.Сначала от переменной перейдем к переменной Y: = − 0 sin()/Обозначим ˜(, ) = ( (, ), ). Полная производная по времени от этой функции будет˜(, ) (, ) (, )=+ ().(4.5)В новых переменных уравнение (4.4) примет вид :˜(, )˜ (, )+ ˜(, ) = Здесь˜(, ) = (, ),˜ (, ) = ( ) = ( + 0 sin()/).Начальные условия:˜ (0, ) = ( ).˜(0, ) = Решение неоднородного уравнения (4.6) будем искать в виде˜(, ) = − (, )После подстановки ˜ в (4.6) получаем уравнение для : (, )˜ (, )= (4.6)78с начальным условием (0, ) = ˜(0, ) = ( ).После подстановки ˜ в (4.6) получаем: (, )˜ (, ).= С учетом начальных условий решение уравнения (4.6) имеет вид˜(, ) = − + − ( )1=√(4.7)Z −2−2 0 sin( )/−20 sin( )2 / 2.0Удобно решение представлять в другом виде.
Введя обозначения = 2/, =[/ ], получим:Z22(, ) = ( ) −2 0 sin()/−0 sin()/ 2.(4.8)0(︂)︂ − 1 = (, ) + (, − )) −1В результате решение разделяется на периодическую и апериодическую части = + ,где(4.9))︂(︂1 = −(− ) (, ) + (, − ) ,(4.10) −1(︂)︂(, )− = − + ( )(4.11) −1Вопрос о поведении ионов при наличии периодического электрического поля для случая резонансной перезарядки с постоянной частотой столкновений,но в постановке, без учета переходного процесса, решался другим способом (метод суперпозиции функций распределения ионных сгустков) в работе [47]. Сопоставление результатов показало, что периодическая часть нашего решения 79совпадает с полученным в работе [47]. Однако, в упомянутой выше работе небыло проведено систематического исследования полученных результатов.
Авторы привели только трехмерные графики функции распределения с заметными погрешностями численных расчетов интегралов. Из их работы невозможнопонять, как влияют различные параметры на функцию распределения. Нижебудет проведен этот подробный анализ, который восполняет этот пробел.Помимо аналитического метода, уравнение (4.4) может быть решено нестационарным моментным методом. В случае СЕМ-модели соответствующая система уравнений заметно упрощается по сравнению с общим случаем и для первогомомента это уравнение будет иметь видМомент 0,10,1+ 0,1 = 2(4.12)равен удвоенной плотности тока. Решая уравнение (4.12), получаем для плотности тока(︂(0 , , ) = 0)︂( − ()) (−)√−.1 + 21 + 2(4.13)Можно видеть, что ток, также как и функция распределения делитсяна периодическую ( )и апериодическую ( ) части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
