Диссертация (1149168), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Поэтому мывыведем их здесь самостоятельно.Пренебрегая вязкостью парогазовой среды, запишем уравнение балансаэнергии на единицу объема  в парогазовой среде в следующем виде um2  um2       h  um  jq  .t  2 2(3.24)Здесьk   ml nl  mg ng(3.25)l 1- массовая плотность парогазовой среды, mi и mg - массы молекул i-гокомпонента пара и пассивного газа соответственно, um - массовая скоростьгидродинамического течения среды, то есть   um   0,t(3.26)h    P энтальпия на единицу объема в парогазовой смеси, jq - плотностьтеплового потока в системе локального центра масс.Уравнение баланса импульса запишем как u  m   um  um   P. t(3.27)68Уравненияматериальногобалансакаждогоизкомпонентовпарогазовой смеси с учетом диффузионных потоков выглядят следующимобразомni   ni u   J i , i  1, 2...k ,tngt  ng u  J g ,(3.28)(3.29)где u - скорость гидродинамического потока молекул парогазовой смеси,введенная в предыдущем параграфе, J i и J g - плотности диффузионныхпотоков молекул i-го компонента пара и пассивного газа соответственно,таким образомk Ji  J g  0.(3.30)i 1Суммируя далее уравнения (3.28) и (3.29), с учетом (3.30) и (3.7), получимn   nu   0.t(3.31)Дифференцирование выражения для массовой плотности (3.25) сиспользованием (3.28) - (3.30), даётk      u   mi  mg J i    0.ti 1 (3.32)Сравнив полученные уравнения (3.32) и (3.26), мы находим связь междумолекулярной и массовой скоростями гидродинамического течения в виде1 kum  u    mi  mg J i   i 1(3.33)693.2.2.Производствоэнтропииикинетическиекоэффициенты.Запишем далее очевидное равенство  um2um2  um2  um2   um2  um  .

(3.34)    um      um     t  2 22tt22 Используя уравнения (3.26) и (3.27) для правой части выражения (3.34),получимum2   um2  um  um  um   umP.    um   um t  2 2  t(3.35)Дальнейшая подстановка (3.35) в (3.1) даёт   hum  jq   umP.t(3.36)Для дифференциала энергии в единице объема имеем фундаментальноетермодинамическое уравнениеkd   Tds   i dni   g dng ,(3.37)i 1где s - энтропия на единицу объема, i и  g - химические потенциалы наодну молекулу i-го компонента и пассивного газа соответственно.

Изуравнения (3.37) имеемngns k T   i i dni   g,tt i 1 tt(3.38)k  T s   i ni   g ng  0.i 1(3.39)70Используя (3.38) и (3.39), можем записатьngns k T   i i dni   gtt i 1 tt(3.40)ku    T s   i ni   g ng  .i 1Далее можем преобразовать уравнение (3.40) следующим образом n s k T     su   su    i  i    ni u   ni u  t t i 1  t ng g   ng u  ng u     u   u. t(3.41)Используя (3.28) – (3.30), упростим уравнение (3.41): s k T     su     i   g J i t t i 1(3.42)k  u      Ts   i ni  g ng  u .i 1С учётомkTs   i ni  g ng    P  h(3.43)i 1уравнение (3.42) придет к следующему виду s k   hu   T     su     i   g J i  uP.t t i 1(3.44)Сравнивая теперь (3.44) и (3.36), исключим производную  t и запишемуравнение для энтропии в единице объема: s kT     su     i   g J i   jq  h  um  u  . t i 1(3.45)71Уравнение (3.45) можно также преобразовать и записать в видеks1   su   jq  h  um  u    i   g J i   tTi 1k J i  i   g  Ti 1(3.46) jq  h um  u  T T2 .Изменение полной энтропии S парогазовой среды во времени даетсяуравнениемSssdV t dV .t (3.47)Подставляя (3.46) в (3.47) и полагая, что член с дивергенцией уйдет послеинтегрирования, так как превратится в интеграл по поверхности, мы получимуравнение для производства энтропии в видеkS    Jii 1iTdV   jq  h  um  u  2 dV ,TT(3.48)где приведённый химический потенциал i определён следующим образомi  i   g .(3.49)Полагая, что приведённый химический потенциал i i-го компонента параесть функция всех молекулярных долей пара yi  ni n , i  1,.., k , локальнойтемпературы T и давления P , мы можем записать iT k   i   y  T j 1 j   i y j  T  T  i T  P  T P.(3.50)Так как мы рассматриваем случай, когда система приходит в состояниемеханического равновесия очень быстро, то есть считаем давление72постоянной величиной, можем пренебречь последним членом в (3.50).Используя термодинамическое равенство для производной по температуре отхимического потенциала и вводя приведённую энтальпию hi , можемзаписатьT2  iT  T   hig  hg  T cig  cg  hi ,(3.51)С учётом (3.50) и (3.51), из уравнения (3.48) получим изменение полнойэнтропии в виде квадратичной формы по термодинамическим силам ипотокамj 1 y jkkS    Ji i 1 iTTydVJ j q T 2 dV .kЗдесь термодинамические силы выражаются в виде  ij  T yj 1(3.52)T y j и 2 ,TJ i – это локальная плотность молекулярного диффузионного потока i-гокомпонента пара, а молекулярный тепловой поток естьkJ q  jq  h  um  u    hi J i .(3.53)i 1Отметим, что потоки J i и J q определены в системе, которая движется соскоростьюuмолекулярного гидродинамического течения парогазовой смеси.Используя, чтоkki 1i 1h   hi ni  hg ng  hg n   hi ni ,(3.54)73перепишем выражение (3.53) для молекулярного теплового потока в видеkJ q  jq  hg n  um  u    hi ni  um  u   J i .i 1(3.55)Если градиенты концентраций компонентов и температуры малы, можемзаписатьk  ij  T yj 1потокикаклинейныефункциитермодинамическихсил2 y j и T Tkj 1 y j lTk  lj 1 y j  TkJ i   il T l 12 TyT,i jT2kJ q   l T l 1i  1,.., k ,2 T, y j  TT2(3.56)(3.57)где il , i , l ,  - кинетические коэффициенты.

Все кинетическиекоэффициенты являются функциями yi , i  1,.., k , локальной температуры Tи давления P . Согласно соотношениям Онзагера симметрии кинетическихкоэффициентов имеемij   ji ,i  T i .(3.58)С помощью соотношений симметрии (3.58) перепишем уравнения (3.56) и(3.57) следующим образомkkJ i   ilj 1 l 1ly j  i T ,y jkkJ q  T  lj 1 l 1i  1,.., k ,ly j  T .y j(3.59)(3.60)743.2.3. Коэффициенты диффузии, теплопроводности и скоростьтермодиффузии.

Определим матрицу Dij коэффициентов диффузии впарогазовой среде соотношением1 kDij   il l .n l 1y j(3.61)Используя определение (3.61), удобно переписать уравнение (3.59) в видеT J i  n Dij  y j  kTj.Tj 1k(3.62)Здесь безразмерный параметр kTj определяет вклад от j-го компонента вскорость термодиффузии i-го компонента [43]T k 1kTj   D jl l ,n l 1(3.63)где D jl1 - это элементы матрицы, обратной к матрице коэффициентовдиффузии Dijk Dij1D jl  il .(3.64)j 1Перепишем уравнение (3.62) в следующем видеyl  1 k 1TDli J i  kTl.n i 1T(3.65)Уравнение (3.65) позволяет нам переписать выражение (3.60) для тепловогопотока в виде75 j 1T k k kJ q    jDil J l  T ,n l 1 j 1 i 1yi(3.66)где  - коэффициент теплопроводности парогазовой смесиkk      jj 1 l 1 jylkTl .(3.67)k jn kПодставляя i   Dij kTj и n   jm1 Dmi и, используя (3.61),T l 1yim 1(3.64) и условия (3.58), перепишем (3.66) для плотности теплового потока J qkkJ q   kTlj 1 l 1 jylJ j  T .(3.68)3.2.4.

Уравнение для локальной температуры. Используя условиепостоянства давления, из определения h    P получаем  t  h t , иуравнение (3.36) может быть переписано как уравнение для энтальпии hh  um h  jq .t(3.69)Плотность энтальпии парогазовой смеси связана с локальной температуройкакh  cT ,(3.70)где c - объемная плотность полной теплоемкостиkc   cig ni  cg ng .(3.71)i 1Подставляя (3.70) в уравнение (3.69) и добавляя к обеим частям член  cuT  , получим76  cT t   cuT    jq  cT  um  u (3.72)или T cc uT   T     cu     jq  cT  um  u  . t t(3.73)Как следует из определения (3.71)k ngc n   cu    cig  i    ni u    cg   ng u  .t ti 1 t(3.74)Подставляя (3.74) в уравнение (3.73) с учётом (3.28) – (3.30) и (3.33), получимkcT  k Tc uT     jq   mi  mg J i    T  c jg  cg J j (3.75) tj 1 i 1или в эквивалентной формеk c cT igg u  J i  T t ci 1 k c m m1 ig   jq  T  cig  cg  J i  . c i 1  (3.76)Переходя в уравнении (3.76) от локальной плотности теплового потока jq всистеме центра масс к плотности теплового потока J q с помощью (3.55),(3.33) и используя выражение для J q (3.68), окончательно мы найдемуравнение для нестационарного профиля температуры T  r , t k c ck k j T 1 igg u  J i  T    T   kTlJ j .t ccyli 1j 1 l 1(3.77)77Из этого уравнения следует, что нам необходимо знать зависимостьхимического потенциала от молекулярных долей.3.2.5.Химическийпотенциалпарогазовойсмеси.Рассматриваяпарогазовую смесь как идеальную, мы можем выразить химическиепотенциалы ii-го компонента пара иgпассивного газа черезсоответствующее плотности ni и ng какi  kBT ln i3 T  ni ,(3.78)(3.79) g  kBT ln 3g T  ng ,где  i и  g - характерные длины де Бройля, зависящие только оттемпературы смеси и свойств компонентов.

С учётом (3.7) и (3.12), запишемхимические потенциалы i и  g через молекулярные доли yiPi  kBT ln  3i T  yi  ,Ti  1,.., k ,kP3 g  k BT ln   g T  1   y j   .T j 1 (3.80)(3.81)Как следует из уравнений (3.80), (3.81) и (3.49), частные производныеi y j ,  g y j и i y j для идеальной смеси при фиксированномдавлении P и температуре T естьi k BTij ,y jyj(3.82)78 gy jk BT,yg(3.83) 1yg ij  y ji1  kBT  ij  k BT. yjy jyyygjg(3.84)3.2.6. Окончательная форма уравнений для плотностей пара итемпературы. Используя определение молекулярных долей yi  ni n иуравнение(3.12),перепишемвыражение(3.62)длямолекулярногодиффузионного потока J i , какkT T J i   Dij n j   n j  n 0 kTj ,TTj 1i  1,.., k.(3.85)Подставляя (3.85) в (3.28) и (3.77), получимkniT T    ni u   Dij n j   n j  n 0 kTj   0,tTTj 1i  1,.., k ,(3.86)k k c cTT  T  igg u  Dij n j    n j  n 0 kTj   T t cT T  i 1 j 1k k11 1    T  k B nT0  kTl   jl   nlc ng j 1 l 1(3.87)T T    D ji ni   ni  n 0 kTi  .T T i 1kУравнения(3.86)и(3.87)представляютсобойсистемувзаимосвязанных уравнений для локальных нестационарных плотностей итемпературы в многокомпонентной парогазовой смеси, которая течёт сгидродинамической скоростью u при фиксированном давлении P .

Характеристики

Список файлов диссертации