Диссертация (1149168), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

В случае,79когда материальный и тепловые потоки в парогазовой среде вызванынестационарным и неизотермическим ростом или испарением сферическойкапли, задача имеет сферическую симметрию и радиальная скорость u  r , t совпадает со скоростью стефановского течения и определяется из (3.14). Всоответствии с этим перепишем граничные условия для уравнений (3.86) и(3.87) вдали от капли и на поверхности капли в следующем видеni  r , t   ni 0 ,r T  r , t  T0 ,r ni  R  t  , t   ni x ,Td  ,(3.88)T  R  t  , t   Td  t  .(3.89)Теперь выражение в фигурных скобках в (3.86) в точности представляетсобой плотность потока ji молекул пара i-го компонента в системе отсчёта,связанной с центром капли,T T ji  ni u   Dij n j   n j  n 0 kTj .T T j 1k(3.90)§ 3.3.

Случай малых концентраций конденсирующихся паров впарогазовой средеВ предыдущих параграфах мы вывели общие связанные уравнениянеизотермического диффузионного роста или испарения капли, которыевключают в себя уравнения (3.2), (3.6) и (3.8) для скоростей xi , V и N i ,уравнения (3.14) и (3.23) для u  r , t  и Td  t  , (3.86) и (3.87) для ni  r , t  иT  r , t  .

Упростим эту систему уравнений, считая, что концентрации паров80компонентов в парогазовой смеси значительно меньше, чем концентрацияпассивного газа. В нулевом порядке по малости имеемk yi  1,(3.91)i 1и коэффициенты диффузии Dii стремятся к конечной величине Di . В первомпорядке малости по (3.91), в соответствии с определениями (3.61) иуравнением (3.84) можем записатьiiyi , i  1,2,..., k, ijyi y j ,j  i,kDii  Di 1   il yl  , l 1Dij  ij yi ,(3.92)(3.93)j  i,(3.94)где коэффициенты il и  ij не зависят от молекулярных долей.

Расширяярезультат из работы [44], полученный для бинарной смеси, положим такжеiyi ,i  1,2,..., k,kTi  Ti yi ,j  i,(3.95)где коэффициент Ti не зависит от плотностей паров.Как следует из уравнений (3.86) и (3.87) с учётом (3.71), (3.92) - (3.95),в первом порядке малости по (3.91) имеемni Di ni ,ti  1,2,..., k,k TTT  B 0t cg ng 0cg(3.96)k Ti Di ni .i 1Уравнение (3.97) можно переписать, используя (3.96),(3.97)81T kBT0t cg ng 0k Tll 1nlT .t cg ng 0(3.98)Упростим теперь уравнения для скоростей Ni  t  изменения числамолекул i-го компонента в капле и скорости изменения температуры Tdкапли во времени. Подставляя уравнения (3.90), (3.93) и (3.94) в (3.8) и(3.23), в первом порядке по малому параметру (3.91) имеемNi  t   4R 2  t  Dini  r , t ri  1,2,..., k,,(3.99)r  R t kTd Nсl  x , T0    qi  x , T0  Ni  4ng 0cgi 1drr 2R (t )T (r , t ).t(3.100)Так относительное отклонение температуры капель от начальнойтемпературы системы мало, заменим qi Td  на qi T0  и cl Td  на cl T0  .Подставив далее уравнение (3.97) в подынтегральный член в (3.100),получим4ng 0 cgdrr 2R (t )  4T (r , t )ti 1R (t )drr 2 T  k BT0  Ti Di 4R (t )(3.101)kdrr 2 ni .Очевидны следующие соотношения4Didrr 2 ni  4R 2  t  DiR (t )ni  r , t r4R (t )drr 2 T  4R 2 (t )r  R t   Ni ,T  r , t r.r  R t i  1,2,..., k, (3.102)(3.103)82Используя (3.102) и (3.103) окончательно имеем для изменения температурыкаплиkTd Nсl  x , T0    qi  x , T0   k BT0 Ti Ni i 1T4R  t  r(3.104)2Заметим, что условиеr  R t .k BT0 Ti 1 выполняется ниже критической точки.qi  x , Td Используем теперь следующее упрощение – будем рассматривать теплои массоперенос стационарными.

Решая уравнения (3.96) и (3.98) сграничными условиями (3.88) и (3.89) для случая стационарных профилейплотностей пара и температуры парогазовой среды, получимNi  4Di R  t  ni 0  ni x , Td  ,Trr  R t T0  Td  t R t i  1,2,..., k,.(3.105)(3.106)В отличие от упрощения парциальных теплот испарения qi T0  и среднейтеплоемкости cl T0  в уравнении (3.100), нам следует сохранить Td какаргумент в концентрации насыщенных паров ni  x , Td  в уравнении(3.105)вследствиеэкспоненциальнойзависимостиni  x , Td оттемпературы капли.С помощью уравнений (3.104) – (3.106) и (3.3), (3.4) и (3.6) мы можемпереписать систему взаимосвязанных уравнений, определяющих эволюцию83капли при её росте или испарении в многокомпонентной парогазовой среде вслучае стационарных диффузионных и тепловых потоков в виде3  x , T0 kTd  2 qi  x , T0  R  t  сl  x , T0   i 1(3.107) Di  ni 0  ni  x , Td     T0  Td  ,kRR     x , T0  Di  ni 0  ni  x , Td   i 1 ln   x , T0    x , T0 сl  x , T0 T0(3.108)k  qi  x , T0  Di  ni 0  ni  x , Td     T0  Td  , i 1xi  t  3vl  x , T0 R t k xi  t   D j  n j 0j 1D ni2i0 ni  x , Td    n j  x , Td    , i  1, 2...k .(3.109)Интегрирование этой системы уравнений зависит от выбора начальногосостояния капли и парогазовой среды, а также модели раствора в капле,которая определяет зависимости  x , T0  ,сl  x , T0  ,qi  x , T0 иni  x , Td  .

Начальные условия для данной системы уравнений выглядяткакxi  t0   xi 0 , i  1, 2...k , Td  t0   T0 , R  t0   R0 .(3.110)В стационарном приближении для потоков (3.105) коэффициентыдиффузии Di считаются постоянными, и существует следующая связь между84парциальнымитеплотамиконденсацииqi  x , Td иравновеснымиконцентрациями паров ni  x , Td  ln ni  x , Td qi  x , Td   k BTd 2Td, i  1, 2...k.Очевидно, что в стационарном режиме роста капли для всех i  1, 2...kxi  0 и Td  0 .

Обозначив за соответствующие стационарные значенияконцентрации xi s и температуры Td s , имеем для них из (3.107) и (3.109)kDi  ni 0  niR  xs  , Td s   xi s  D j n j 0  n j x , Td s   0,(3.111)j 1k qi xs , Td s  Di ni0  ni xs , Td s    Td s  T0   0.(3.112)i 1И скорость изменения радиуса капли тогда определяется из (3.108) с учётом(3.109) следующим образом RR    D nksi 1ii0 ni xs  , Tds   xs  , Tds .(3.113)§ 3.4.

Приближение идеального раствораДля более подробного анализа системы (3.107)-(3.109) используемприближение идеального раствора в капле. Связь характеристик идеальногорастворассоответствующимичистымикомпонентамивыражаетсяследующим образомk  x , Td    i Td  xi ,i 1(3.114)85qi  x , Td   qi Td  ,(3.115)kcl  x , Td    cil Td  xi .(3.116)i 1Для концентрации насыщенного пара вблизи плоской границы, считаяраствор в капле идеальным, имеемni  x , Td   xi ni Td  ,i  1,2...k ,(3.117)здесь ni Td  - концентрация насыщенного пара вблизи плоской границыкапли чистой жидкостиi - го компонента.

Вводя, как и во второй главе,относительное отклонение температуры капли от температуры среды следующим образомTd  T0T0и считая его малым   1 , можем полагать для равновесной концентрацииni Td   ni T0  exp i  ,(3.118)где, как и раньше,i qi (T0 ).k BT0Пересыщение определяется как и в (1.18)i ni 0  ni T0 ni T0 .Для дальнейшего упрощения вида уравнений (3.107) – (3.109) введемвеличину I i следующим образом86Ii  Ii  xi ,   Di ni T0  i  1  xi exp i  .(3.119)kПри этом I   I i . Тогда система уравнений (3.107) – (3.109), описывающихl 1эволюцию концентрации, температуру и радиус капли в приближенииидеального раствора, перепишется в видеxi k3R2 Ii  xi I    j Td  x j ,(3.120)j 1k3 i Td  xi kTd qTITT i d id0 ,R  cil Td  xi  i 1i 1k2(3.121)i 1kR2RR   i Td  I i Td3i 1k ln  i Td  xii 1Td.(3.122)По-прежнему, считая относительное отклонение температуры капли оттемпературы среды малой величиной и соответственно малым тепловоерасширение капли, можем записать для (3.114) – (3.116)i Td   i T0   i , qi Td   qi T0   qi , cil Td   cil T0   cil .(3.123)Отсюда для системы (3.120) – (3.122) получаемxi 3R2k Ii  xi I    j x j ,(3.124)j 1k3k B  i xi k   i I i   ,kB R 2  cil xi  i 1i 1ki 1(3.125)87kRR   i I i .(3.126)i 1Тогда в установившемся стационарном режиме роста капли имеем для(3.124) – (3.126)Iis  xis Is ,(3.127)ks I s  i xis ,kBi 1(3.128) RR ks I s  i xis .(3.129)i 1Выражая далее xis из (3.127) с учетом (3.119), получим для стационарнойконцентрации i –ого компонентаxis Di ni T0  i  1.(3.130) 1.(3.131)Is  Di ni T0  exp i s kПомня о том, что xi  1 , имеемi 1kIi 1 sDi ni T0  i  1 Di ni T0  exp i s Подставив затем (3.130) в (3.128) имеем для стационарной температурыki Di ni T0  i  1s Is .kBi 1 I s  Di ni T0  exp  i s (3.132)Так как очевидно должно выполняться xis  0 , то система нелинейныхуравнений (3.131) и (3.132) должна решаться в области, гдеIs  Di ni T0  exp i s   0.(3.133)88Нетрудно убедиться, что решение этой системы единственно.

Считаяформально, что уравнение (3.131) определяет в неявном виде функцию11Is   Is   s  , заметим, что в области, определяемой (3.133), эта функцияявляется строго убывающей, так как из (3.131) имеем1Is   s   Di ni T0  i  1  0, (3.134)1Is   s  . (3.135)ssАналогично будем считать, что уравнение (3.132) задает функцию22Is   Is   s  . Перепишем (3.132) в виде11  1  I exp     D n T   i Di ni T0  i  1  k s . (3.136)si si i 0 Bi 1 kОтсюда видно, что приs  функция2I s должна приниматьотрицательные значения, и при s   - положительные значения, то есть2I s монотонновозрастает.Такимобразом,решениеуравненияI s(1) (s )  I s(2) (s ) является единственным. Теперь по найденным из (3.131) и(3.131) значениям I s и s все стационарные концентрации xis вычисляютсяединственным образом с помощью формулы (3.130), и стационарныезначения скорости роста капли находятся из (3.129).В данной главе мы вывели общие связанные уравнения, полностьюопределяющие эволюцию многокомпонетной микрокапли, которая растетили испаряется в атмосфере произвольного числа паров и пассивного газа.89Хотя эти уравнения в общем случае являются сложными, они составляютстрогую основу для анализа переходных и установившихся процессов всистемах с микрокаплями.

Характеристики

Список файлов диссертации