Диссертация (1149168), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

1.6 и1.8 следует, что радиус капли меняет свое поведение с изменениемсоотношения между равновесными концентрациями пара первого и второгокомпонент. В случаях (a) и (b) капля растет до тех пор, пока концентрация36первого компонента в капле не достигнет значений x1m  0.30000005 (a) иx1m  0.39 (b), то есть когда x1m  x1s , а затем убывает (кривые a и b). В случае(c) имеем x1m  0.17 и радиус капли монотонно убывает. То есть, припереходе к стационарному режиму все скорости роста во всех трех случаяхдолжны быть отрицательными, и действительно в соответствии с (1.23)находим RR sR02 2.8  107 c1 (a); 0.21c1 (b); 0.51c1 (c).Таким образом, в данной главе мы проанализировали динамику ростабинарной капли на основе выражений (1.13) и (1.14) при различныхначальных условиях, отметив возможность немонотонного роста и указавнеобходимые для его возникновения условия на основе выражений длястационарныхзначенийскоростиростаиконцентрацииприближении идеального раствора было нагляднокапли.Впоказано, что такоеповедение при недосыщении одного из компонентов, которое во многомзависит от соотношения потоков частиц конденсирующихся компонентов, азначит от значений концентраций насыщенных паров.

Рассмотреннаячисленная иллюстрация характерна для конденсации паров серной кислоты иводы в атмосфере Земли. Помимо этого было показано, что при условиинедосыщения обоих компонент, так что скорость роста капли являетсяотрицательной величиной, капля неизбежным образом перейдет к режимумонотонного испарения, хотя этому может предшествовать значительныйрост капли (практически на 20%).37Глава2.Тепловыеэффектыконденсациивквазистационарных условиях§ 2.1. Постановка задачи о росте или испарении бинарнойкапли с учетом тепловых эффектов конденсацииКак и в первой главе, рассматриваем систему, состоящую из двухконденсирующихся паров и одного неконденсирующегося пассивного газа, вкоторой уже существует двухкомпонентная капля.

В этой главе мы перейдетк рассмотрению тепловых эффектов при конденсации и испарениикомпонентов, обусловленных выделением или поглощением теплотыфазового перехода. Наряду с диффузионными потоками молекул и тепла накаплю и от неё, будем рассматривать также потоки и в свободномолекулярном режиме. В диффузионном режиме роста полагаем, чтоконцентрация пассивного газа такова, что мы пренебрегаем стефановскимтечением среды, взаимовлиянием диффузионных потоков разных компонентдруг на друга, а также перекрестными эффектами между диффузионными итепловыми потоками в парогазовой среде (поправки второго порядка поплотности).Как и прежде рассматриваем сферическую систему координат, чейцентр совмещен с центром капли. Считаем, что, как и концентрация частицпара i-го (i=1,2) компонента, так и локальная температура парогазовой смесизависят в любой момент времени t только лишь от r расстояния от центра38капли до точки наблюдения.

Соответственно граничные условия имеютследующий видni  r , t  r   ni 0 , ni  r , t  r  R  ni  xi  t  , Td t   ,(2.1)T  r , t  r   T0 , T  r , t  r  R  Td  t  ,(2.2)где за T0 - температура вдали от капли, ni  xi  t  , Td  t   - объемнаяконцентрация насыщенного пара i-го компонента над плоской поверхностьюраствора с молярными концентрациями xi и температурой Td .

Как и ранее,мы пренебрегаем влиянием кривизны поверхности капли на концентрациюнасыщенных паров. Для связи текущей молярной концентрации xi собъемными концентрациями ci по-прежнему имеем (1.2).Для объема капли также справедливо соотношение (1.3), но здесь уже  x1 , Td  – средний объем молекулы в растворе с температурой Td .Зависимость от температуры здесь – это эффект теплового расширенияжидкости. Так как относительное отклонение температуры сравнительноневелико, как мы убедимся позже, и тепловое расширение также мало, мы сдостаточной точностью можем положить, что  x1 , Td    x1 (2.3)В пренебрежение стефановским течением среды, взаимовлияниемпотоков различных компонент друг на друга и перекрестным эффектом отдиффузионных и тепловых потоков, как и в предыдущей главе будем39использовать для потока числа частиц в режиме стационарной диффузииуравнение (1.4). Учитывая новые граничные условия, имеем dNi  dt   4RDi  ni 0  ni  xi , Td  .dif(2.4)Аналогичное же уравнение для стационарного свободно-молекулярногорежима выглядит как dNi 2 dt   i i R  ni 0  ni  xi , Td  , fm(2.5)здесь  i - коэффициент конденсации i-го компонента пара на каплю, i средняя тепловая скорость молекул пара.Вновь продифференцируем (1.2) и (1.3) по времени, учитывая (1.2),(2.3), (2.4) и (2.5), и вводя новые вспомогательные функции f  x1 , Td  иg  x1 , Td  для разных режимов какf dif  x1 , Td   1  x1  D1 n10  n1  x1 , Td   x1D2 n20  n2 1  x1 ,Td  , (2.6)gdif  x1 , Td   D1 n10  n1  x1 , Td   D2 n20  n2 1  x1 , Td  ,f fm  x1 , Td   1  x1  11 n10  n1  x1 , Td  (2.8) x1 2 2  n20  n2 1  x1 , Td  ,g fm  x1 , Td   11 n10  n1  x1 , Td   2 2 n20  n2 1  x1 , Td  ,получимследующиедифференциальныеуравнения,(2.7)(2.9)определяющиевременные зависимости для радиуса и концентрации первого компонента вкапле403  x1  f dif  x1 , Td R2(2.10)   x1  gdif  x1 , Td    '  x1  f dif  x1 , Td  ,(2.11)3  x1  f fm  x1 , Td  ,4R(2.12) x1 dif RR dif x1  fm  Rfm11   x1  g fm  x1 , Td    '  x1  f fm  x1 , Td  .44(2.13)Точка над функцией по-прежнему обозначает дифференцирование повремени, а штрих - по молярной концентрации первого компонента.§ 2.2.

Вывод уравнений на состав, температуру и размербинарной капли в свободно-молекулярном или диффузионномрежиме обмена веществом и теплом с парогазовой средой.Стационарные значения температуры, концентраций и радиусакапли бинарной капли.Далее для того, чтобы замкнуть систему, нам нужно уравнение навременную зависимость температуры капли Td . Исключая из рассмотренияперекрестные эффекты от взаимовлияния диффузионных и тепловыхпотоков, для теплового баланса на поверхности капли можем записать dT 4R Td  T0   ch  N1  N 2   d   dt dif dN  dN  q1  x1 , Td   1   q2  x2 , Td   2  , dt dif dt dif(2.14)41где  - коэффициент теплопроводности пассивного газа, ch - средняятеплоемкость на одну молекулу в капле, qi  xi , Td  - теплота испарения наодну молекулу i-го компонента.

Аналогично в свободно-молекулярномслучае имеем dT R 2 Td  T0   g ng c pg  1n1c p1  2 n2 c p 2   ch  c1  c2   d   dt  fm dc  dc  q1  x1 , Td   1   q2  x2 , Td   2  . dt  fm dt  fm(2.15)Здесь c pi - молекулярная теплоемкость i-го компонента, величины с нижниминдексом «g» относятся к пассивному газу-носителю.Глядя на левые части уравнений (2.14) и (2.15), нетрудно заметить, чтохарактерное время релаксации температуры с использованием (1.3) можетбыть оценено следующим образомdif  fm chR23  x1 4ch R3  x1   g ng c pg  1n1c p1  2 n2 c p 2 (2.16).(2.17)Будем полагать, что время установления стационарных значений(переходной стадии) много больше dif или  fm , тогда в уравнениях (2.14) и(2.15) можем пренебречь вторыми членами с производными по времени.Таким образом, уравнения (2.14) и (2.15), с использованием выражений дляпотоков числа частиц (2.4) и (2.5), могут быть записаны в следующем виде42 Td  T0   q1  x1 , Td  D1 n10  n1  x1 , Td   q2  x2 , Td  D2 n20  n2 1  x1 , Td  ,Td  T0   g ng c pg  1n1c p1  2 n2c p 2   q1  x1 , Td  11  n10  n1  x1 , Td    q2  x2 , Td   2 2  n20  n2  1  x1 , Td   .(2.18)(2.19)Упрощенные уравнения (2.18) и (2.19) дают корректное описание стадиироста или испарения бинарной капли за исключением маленьких временныхинтервалов dif или  fm соответственно сразу после введения капли впарогазовую среду.Соотношения (2.18) и (2.19) устанавливают связь между текущимиконцентрациямивкаплеитемпературойвдиффузионномисвободно-молекулярном режиме, что позволяет нам выбрать в качествепеременных, описывающих систему, только молярную концентрацию x1 илитемпературу капли Td , в то время как все остальные величины, в том числе ирадиус капли R , и время t , будут являться лишь функциями x1 или Td .Для начала выберем температуру в качестве независимой величины,тогда можем считать, что x1   x1 Td  dif и x1   x1 Td   fm , и в соответствии справой частью (2.11) и (2.13) можем писать также R 2   R 2 Td   иdifR   R Td   fm .

Очевидно, что RR dif x1 dif1  dR 2 1  dR 2  2  dt dif 2  dTd dif  dx1 dTd dif43 Rfm x1  fm dR  dR  dt  fm  dTd  fm  dx1 dTd  fmи используя (2.10) и (2.12), перепишем (2.11) и (2.13) в виде dR 2 2  g dif  x1 , Td   '  x1    dx1  dTd , 2 R3fx,TxdTdif1 d  dif dif 1 d(2.20)1  g fm  x1 , Td   '  x1    dx1  dR  dTd . R  fm 3  f fm  x1 , Td    x1    dTd  fm(2.21)Помня о том, чтоx1   x1 Td  dif и x1   x1 Td   fm , правые части (2.20) и(2.21) являются только функциями температуры Td .

Положив в качественачальных условий Tdt t0 Td 0 и R Td Td Td 0 R0 и проинтегрировав (2.20) и(2.21), получим R T  2ddif   x T  1ddif2 R0 x T  1  d 0  dif23 2 Tdg dif  x1    , Td   dx1     exp   d  3Tdfx,Tdif1ddif d0 R T  dfm   x T  1dfm R0  x T  1  d 0   fm(2.22),13 (2.23) 1 Tdg fm  x1    , Td   dx1      expd  . 3 Tdfx,Tfm  1  d  fm  d0Подставляя далее полученные выражения в (2.10) и (2.12), находим длявремен44 t T  ddif t0 R0 2323  x T1d0 dif  dx1    d13 x1     f dif  x1    ,    d  difTd 0 Td 2 'g dif  x1   ' , Td   dx1   '  exp   d  ' 3Td'fx',Tdif1ddif d0 t Td   fm  t0 4 R0313  x T1d0  fm, dx1      2 3  x     f  x    , T   d   1fm 1dTd 0fmTd(2.24)d(2.25) 1 'g fm  x1   ' , Td   dx1   '   exp   d  ' . 3Tf fm  x1   ' , Td   d  '  fm  d0Уравнения (2.18) и (2.19) и только что полученные интегральныесоотношения (2.22)-(2.25) представляют собой наиболее общее решениезадачи об установлении стационарного состава и температуры бинарнойкапли при изменении её размера в диффузионном и свободно-молекулярномрежимах при конденсации или испарении этой капли.

Характеристики

Список файлов диссертации