Диссертация (1149168), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Причем уравнения,записанные в такой форме, справедливы также и для неидеального раствора вкапле. Стоит отметить, что момент времени t0 не является начальныммоментом, так как требуются малые времена dif и  fm для выполненияx1   x1 Td  dif и x1   x1 Td   fm .45Как следует из (2.10),(2.12), (2.18) и (2.19) стационарные значенияконцентрации x1s и температуры Td s находятся как корни связанныхуравненийf dif  x1s , Td s   0, Tds  T0   q1  x1s , Tds  D1 n10  n1  x1s , Tds   q2  x2s , Tds  D2 n20  n2 1  x1s , Tds  ,(2.26)(2.27)f fm  x1s , Tds   0(2.28)Tds  T0   g ng c pg  1n1c p1  2 n2 c p 2   q1  x1s , Tds  11  n10  n1  x1s , Tds    q2  x2s , Tds   2 2  n20  n2 1  x1s , Tds   .(2.29)В стационарном режиме для скоростей роста капли в соответствии с(2.11) и (2.13) можем записать RR    x1s  g dif  x1s , Tds  ,(2.30)1   x1s  g fm  x1s , Tds  .4(2.31)s RdifsfmТогда с использованием определений функций f  x1 , Td  и g  x1 , Td  (2.6)(2.9), можно переписать как RR sdif  x1s x1s  x1s x2sD1  n10  n1  x1s , Tds   D2  n20  n2  x2s , Tds   ,(2.32)46 Rsfm  x1s 4 x1s  x1s 4 x2s11  n10  n1  x1s , Tds   (2.33) 2 2  n20  n2  x2s , Tds   .Проводя интегрирование по времени соотношений (2.30) и (2.31) сочевидным начальным условиемRst t0 R0 , получим выражения дляскоростей стационарного роста в хорошо известной форме R t 2s R0 2  2  RR sdifdif t  t0  , R t   fm  R0   R  fm t  t0  .ss(2.34)(2.35)Стоит отметить, что R0 должно быть таким, чтобы было возможнопренебречь влиянием лапласова давления на каплю.§ 2.3.

Приближение идеального раствора в капле.Модель идеального раствора в капле позволяет существенно упроститьнахождение текущих величин радиуса R , температуры Td и концентрацийx1 растущей или испаряющейся бинарной капли. В случае идеальногораствора парциальные объемы для каждой из компонент рассматриваются,как и в соответствующих чистых жидкостях и для среднего объема молекулыв растворе по-прежнему имеем (1.16). Для равновесной концентрациинасыщенных паров i-го компонента в зависимости от температуры иконцентрации будем писать q 1 Td  T0  ni  xi , Td   xi ni 1 exp  i,2kTB 0(2.36)47где qi 1 - теплота испарения на одну молекулу в чистой жидкости притемпературе T0 , ni 1 - концентрация насыщенного насыщенного паравблизи плоской границы жидкости чистого i-го компонента также притемпературе T0 .

Для удобства перейдем к безразмерной теплоте испарения ii qi 1k BT0(2.37)и обозначим за  относительное отклонение температуры капли Td оттемпературы среды T0Td  T0.T0(2.38)Тогда с помощью (2.37) и (2.38) перепишем (2.36) в видеni  xi , Td   xi ni 1 ei  .(2.39)Теперь, используя определение пересыщения (1.18) и упрощение дляконцентрации насыщенных паров (2.39), перепишем определения (2.6)-(2.9) иуравнения теплового баланса (2.18)-(2.19) какf dif  x1 , Td   1  x1  D1n1 1 1  1  x1e1   x1 D2 n2 1 1   2  1  x1  e2  ,g dif  x1 , Td   D1n1 1 1  1  x1e1   D2 n2 1 1   2  1  x1  e2  ,f fm  x1 , Td   1  x1  11n1 1 1  1  x1e1   x1 2 2 n2 1 1   2  1  x1  e2   ,(2.40)(2.41)(2.42)48g fm  x1 , Td   11n1 1 1  1  x1e1   2 2 n2 1 1   2  1  x1  e2 (2.43) . 1 D1n1 1 1  1  x1e1   2 D2 n2  1 1   2  1  x1  e2  , (2.44)kB g ng c pg  1n1c p1  2 n2c p 2  kB(2.45) 111n1 1 1  1  x1e   2  2 2 n2  1 1   2  1  x1  e12  .Уравнения (2.44) и (2.45) легко решаются для молярной концентрации x1 какфункции относительного отклонения температуры  x1   dif kB  1 D1n1 11  1   2 D2 n2  1 1   2  e2  2 D2 n2 1 e2  1 D1n1 1 e1 x1    fm     n222(2.46)111en1e21 1 1 12     g ng c pg  1n1c p1  2 n2 c p 2   kB(2.47)111n1 11  1   2  2 2 n2  1 1   2  e2   .Теперь для нахождения текущих значений концентраций и радиуса каплирастущей или испаряющейся в диффузионном режиме подставляем в (2.22) и(2.24) полученные в случае идеального раствора выражения (2.40), (2.41) и(2.46).Какивпредыдущейглаве,здесьсуществуетвозможностьнемонотонного роста капли.

Продемонстрируем это, рассмотрев какизменяется RR в диффузионном режиме и R в свободно-молекулярномрежиме. Подставляя (2.40) и (2.41) в дифференциальное уравнение (2.11) и49используя для среднего объема на молекулу (1.16) и для концентрациинасыщенных паров (2.39), получим RR 4 R D2 n2 1 2   dif 1  1   1   2   dif x1e1  1  x1  e2  , (2.48)diffm 2 2 n2 1 2   fm 1  1   1   2   fm x1e1  1  x1  e2  , (2.49)где введен безразмерный параметр  как dif  fm D1n1 1 1D2 n2 1  2(2.50),11n1 1 1 2 2 n2  1  2(2.51).Как и в предыдущей главе, в этой задаче возможен немонотонный рострадиуса капли, это означает, что  RR  RR sdif,  Rsfmdif t  t0,  Rfm t  t0имеют разные знаки ссоответственно.

Считаем, что существует такая температураm (ей соответствует концентрация x1m ), которая является корнем уравнения(2.48) или, в свободно-молекулярном случае, (2.49). Для i x1m  1  1    2 1.1 , легко найти(2.52)50§ 2.4. Выход на стационарные решения для концентрации,скорости роста и температуры растущей или испаряющейсяидеальной бинарной капли в случае конденсации паров сернойкислоты и воды.Используя формулы, полученные в предыдущем параграфе, займемсячисленным изучением процесса эволюции состава, размера и температурыбинарной капли. Как и в предыдущей главе, будем рассматриватьконденсацию паров серной кислоты и воды. Выбираем начальныеконцентрации, руководствуясь рассуждениями, приведенными в началепараграфа §1.3, то есть будем рассматривать два предельных случая x10  0 иx10  1 .Возьмем те же характеристики паров серной кислоты (i = 1) и воды (i =2) как в (1.32), кроме того, положим1  10, 2  20,   2.62  104Температуру среды полагаемT  293KДж.см  с  К(2.53)и начальный размер каплиR0  103 см (будем рассматривать только диффузионный режим роста).Время установления стационарной диффузии может быть оценено какR02 D 105 c .Коэффициенттепловойдиффузиирастворавкапле 103 см2 с и Dm коэффициент взаимодиффузии компонентов порядка104  105 см2 с ,такимобразомможносчитать,чтотемпература51выравнивается за времена порядка R0 2  103 c и концентрация становитсяоднородной во всем растворе за время порядка R02 Dmсоответствии с (2.16) имеем dif101 -102 c , а в102 с .

Как будет видно, все эти временасущественно меньше рассматриваемых далее.Рис.2.1 Молярная концентрация первого компонентаx1как функция текущейотносительной температуры  при 1  10 ,  2  0.3 , T0  293K , R0  103 см , вычисленнаясогласно для (2.46). Здесь n1 1 n2 14  107 (a) , 0.004 (b), 0.01 (c).52Рис.2.2 Зависимость текущей относительной температуры  от времени1  10 ,  2  0.3 , T0  293K , R0  103 см .

Здесь n1 1 n2 1(c).при x10  0 ,4  107 (a) , 0.004 (b), 0.0153Рис.2.3 Молярная концентрация первого компонента x1 как функция времени при x10  0 ,1  10 ,  2  0.3 , T0  293K , R0  103 см . Здесь n1 1 n2 1(c).4  107 (a) , 0.004 (b), 0.0154Рис.2.4 Относительное изменение квадрата радиуса капли как функция времени приx10  0 , 1  10 ,  2  0.3 , T0  293K , R0  103 см .

Здесь n1 1 n2 1 4  107 (a) , 0.004(b), 0.01 (c).Рис. 2.1 иллюстрирует зависимость текущей молярной концентрациисерной кислотытемпературыв зависимости от отклонения температуры капли отсреды.Трикривыесоответствуютразнымзначениямотношения концентраций насыщенных паров первой и второй компонент, нона данной зависимости это не сказывается, все три кривые близки иизменяютсямонотонно.Рис.2.2и2.3демонстрируютизменениеотносительной температуры капли и концентрации первого компонента в ней55с течением времени для капли, которая в момент времени t0 состояла толькоиз воды. Здесь уже наблюдается существенное различие в зависимости отсоотношения между концентрациями насыщенных паров обоих компонент.Например, для стационарных значений температуры и концентрации имеем:s  6  107 , x1s  0.3 (a); s  0.004 , x1s  0.38 (b); s  0.0083 , x1s  0.45 (c).

Нарис.2.4 изображена зависимость относительного квадрата радиуса капли отвремени,нетрудноконцентрациямизаметить,насыщенныхчтодляпаровразныхповедениесоотношенийрадиусамеждуразличаетсякоренным образом – для кривых (a) и (b) наблюдается значительноеуменьшение радиуса капли, которое отсутствует для кривой (c).

Несмотря напервоначальное испарение, капля во всех трех случаях в стационарномрежиме будет расти, о чем можно судить, посчитав соответствующиестационарные значения скоростей – RR sR02 0.00003c-1 (a), 0.26c-1 (b), 0.58c-1(c). Чем меньше безразмерный параметр  , введенный в (2.50), тем сильнееэффект первоначального уменьшения радиуса капли.Такое поведение по-прежнему объясняется недосыщением второгокомпонента при наличии чистой капли, состоящей из него же, при этомважно, чтобы именно концентрация насыщенных паров этого компонентабыла существенно выше, чем у другого компонента. Тогда поток пара вданном случае серной кислоты на каплю не может уравновесить отток водыиз капли. С уменьшением же размера капли и ростом концентрации серной56кислоты, поток серной кислоты начинает сравниваться с оттоком воды икапля переходит от испарения к устойчивому росту.В качестве последнего примера рассмотрим каплю чистой сернойкислоты x10  1 в атмосфере, где пересыщения серной кислоты 1  0.8 иводы  2  0.3 , то есть оба пара являются недосыщенными.Рисунок 2.5 Зависимость текущей относительной температуры  от времени при x10  1 ,1  0.8 ,  2  0.3 , T0  293K , R0  103 см .

Характеристики

Список файлов диссертации