Диссертация (1149168), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Здесь n1 1 n2 1(c).4  107 (a), 0.04 (b), 0.457Рисунок 2.6 Молярная концентрация первого компонента x1 как функция времени приx10  1 , 1  0.8 ,  2  0.3 , T0  293K , R0  103 см . Здесь n1 1 n2 1(b), 0.4 (c).4  107 (a), 0.0458Рисунок 2.7 Относительное изменение квадрата радиуса капли как функция времени приx10  1 , 1  0.8 ,  2  0.3 , T0  293K , R0  103 см . Здесь n1 1 n2 14  107 (a), 0.04(b), 0.4 (c).Рис. 2.5-2.7 демонстрируют поведение температуры, концентрации ирадиуса капли во времени для трех различных значений отношения междуконцентрациями насыщенных паров первого и второго компонентов, чтоозначает различные величины потоков этих компонентов на каплю. Какследует из рис.2.5-2.6 температура и концентрация первого компонентакапли монотонно убывают до своих стационарных значений: (a) s  5  109 ,x1s  0.3 ; (b) s  0.0005 , x1s  0.29 ;(c) s  0.0025 , x1s  0.244 .

На рис.2.759изображено поведение квадрата радиуса капли со временем, котороекачественно меняется с увеличением концентрации насыщенных паровпервого компонента. Соответствующие значения для стационарной скоростиRR ростаsR02 3  107 c-1 (a), 0.025c-1 (b), 0.12c-1 (c), то есть, несмотря на то,что кривые (b) и (c) демонстрируют рост радиуса капли при достижениистационарного режима, капля начнет испаряться.В этой главе на основе уравнений (2.22), (2.24) и (2.46) вдиффузионном режиме и (2.23), (2.25) и (2.47) в свободно-молекулярномрежиме была проанализирована динамика изменения состава, размера итемпературы растущей или испаряющейся бинарной капли со временем. Вприближении идеального раствора была продемонстрирована возможностьнемонотонного роста капли.

Численное исследование изменения во времениотносительного квадрата радиуса капли, концентрации первого компонента иотносительного отклонения температуры капли для различных отношенийконцентраций насыщенных паров для случая конденсации паров «сернойкислоты» и «воды» наглядно продемонстрировало условия возникновениянемонотонности в поведение радиуса.60Глава 3. Уравнения, описывающие эволюцию размера,составаирадиусамногокомпонентнойкапливовремени.§3.1.Выводуравненийдлярадиуса,температурыиконцентрации капли с произвольным числом компонентовВ предыдущих главах рассматривалась задача о росте или испарениибинарнойкапли,конденсирующихсяхотядокомпонентопределенногомоментаникакойдляроликоличествовыводаобщихсоотношений не играло.

Ясно, однако, что существует и спецификамногокомпонентныхзадач,особенновотношенииразделениядиффузионных потоков. Здесь мы добавим в рассмотрение уравнения длялокальных плотностей диффузионных потоков компонентов паров и потокатепла в парогазовой смеси в присутствии стефановского течения.Мы предполагаем, что время установления внутреннего теплового ихимического равновесия в капле невелико по сравнению с временемизменения радиуса капли во времени, что позволит нам рассмотреть каплювнутренне однородной по составу и температуре.Считаем каплю многокомпонентной, нумеруем компоненты индексомi и обозначаем число компонент в капле как k .

Концентрацию частиц xi i -го компонента в капле определим через число частиц N iочевидным соотношениемi -го компонента61xi (t ) Ni (t ),N (t )(3.1)kгде Ni  N- полное число частиц в капле. Многие параметры задачиi 1являются функциями концентраций, поэтому для удобства будем вдальнейшем весь набор концентраций в капле x1,.., xk , обозначать как x.Для скорости изменения концентрации во времени xi из определения (3.1)имеемk11xi   Ni  xi N    Ni  xi  N j  .NN j 1(3.2)Далее вернемся к уравнению для объема капли (1.3), но теперь уже будемучитывать зависимость среднего объема молекулы   x , Td  в растворе сконцентрациями x от температурыV4 3R    x , Td  N .3(3.3)Вводя парциальные объемы каждого из конденсирующихся компонент какi  x , Td   V Ni , для объема капли имеем с учетом (3.1)kkV   i  x , Td Ni   i  x , Td xi Ni 1(3.4)i 1Очевидно, что парциальные объемы связаны со средним объемом намолекулу следующим образомk i x , Td xi   x , Td i 1(3.5)62Продифференцировав (3.10) по времени, получим  x , Td VNi  NTd Tdi 1 N ikV  4R R  24R3  ln   x , Td   i Td  Ni Td .3Tdi 1(3.6)kВвиду сферической симметрии всей системы с началом отсчета вцентре капли концентрации паров зависят только от расстояния до точкинаблюдения.

Суммарная концентрация частиц в парогазовой смеси n(r , t )естьkn(r , t )   ni (r , t )  ng (r , t ).(3.7)i 1Здесь ni (r , t ) - концентрации конденсирующихся паров (i=1...k), ng (r , t ) концентрация пассивного неконденсирующегося газа-носителя.Уравнение, определяющее баланс полного числа молекул компонентовв парогазовой смеси, в случае нестационарной диффузии можно записать какNi  t   4R2  t   ji  R  t  , t   ni  R  t  , t  R  t  ,kd Ni (t )  4 dti 1R1 (t )drr 2 n(r , t )  0.(3.8)(3.9)R (t )Здесь ji - плотность потока молекул i -го компонента на каплю, R  t  текущий радиус капли, R1 (t ) - радиус сферы, окружающей каплю, причемповерхность этой сферы движется со скоростью u (r , t ) гидродинамическогомолекулярного потока парогазовой смеси,63R1  u  r  R1  t  , t  ,(3.10)причем u( r, t0 )  0 , где t0 - момент помещения капли в начало координат.Уравнение для определения скорости гидродинамического теченияu (r , t ) может быть найдено следующим образом.

Продифференцируемуравнение (3.9) по времени и, используя (3.10), запишем1 kNi  t   r 2 n(r , t )u (r , t ) 4 i 1n(r1 , t ) R 2  t  R  t  n  R  t  , t    dr1r12 0.tR (t )r(3.11)Предполагаем, что давление P в парогазовой смеси вокруг капли быстровыравнивается и может рассматриваться постоянным. Тогда в приближенииидеальности парогазовой среды (что достаточно хорошо соблюдается) имеемn(r , t )T  r , t   nT0 P,kBn(r , t )PT (r , t ).2tkBT  r , t  t(3.12)(3.13)Здесь k B - постоянная Больцмана, а n  n  r  , t   const .Используя уравнения (3.6) и (3.13) можем переписать (3.11), выразивгидродинамическую скорость u (r , t ) в переменных N i , Td ,k T  r, t 1  Niu (r , t )   i Td 2Ttn(r,t)4ri 1 dT  r, t  rT  r1 , t R3 T  r , t   ln 12 2Td drr.1 13r Td  t  Tdr 2 R(t )T 2  r1 , t t(3.14)64В уравнения (3.14) появляются два вклада в скорость гидродинамическоготечения парогазовой среды u (r , t ) - от нестационарности температуры каплии локальной температуры парогазовой смеси.Далее введем следующие обозначения: hil x, Td  - парциальнаяэнтальпия i -го компонента в растворе внутри капли, hg (T (r , t )) - энтальпиямолекул пассивного газа, и hig (T (r , t )) - парциальная энтальпия молекул i-гокомпонента пара.

Теперь условие постоянства энтальпии внутри шарарадиуса R2  t  вне диффузионной сферы вокруг капли можно записать какk hil x , Td  Ni i 1R2  t k4  drr 2   hig T  r , t   ni  r , t   hg T  r , t   ng  r , t    const. i 1R t (3.15)Продифференцировав (3.15) по времени, получимk Tdd4dti 1R2 (t )hil  x , Td TdkNi   hil  x , Td  Ni i 1k2drrh(T(r,t))n(r,t)h(T(r,t))n(r,t)  0,ggigii 1R (t )(3.16)где скорость изменения радиуса R2  t  , такая же как и скорость изменениярадиуса R1  t  , то есть равна скорости гидродинамического течения насоответствующем расстоянии от центра капли, то есть R2 (t )  u(r  R2 (t ), t ) .Вводя cil  x , Td  парциальную теплоемкость i -го компонента в растворекапли, имеем65khil  x , Td i 1TdkNi   cil  x , Td  xi N  сl  x , Td  N .(3.17)i 1Здесь cl  x , Td  - средняя теплоемкость одной частицы в капле.

Такжебудем использовать уравнения материального баланса для каждого изкомпонентов пара и пассивного газа в следующем видеdNi (t )  4dtR2 ( t )drr 2 ni (r , t )  0,i  1, 2...k ,(3.18)R (t )ddtR2 ( t )drr 2 ng (r , t )  0.(3.19)R (t )Вводя обозначение qi x , Td   hig T   hil x , T  для парциальнойтеплоты испарения молекул i-го компонента, и, используя уравнения баланса(3.18) и (3.19), перепишем (3.16) с учётом (3.17)kki 1i 1Td Nсl  x , Td    qi  x , Td  Ni   hig Td   hig T0  Ni d4dtkhig (T (r , t ))  hig (T0 ) ni (r , t )  drr i 1R (t )R2 (t )2(3.20) hg (T (r , t ))  hg (T0 ) ng (r , t )   0.Как видно из поведения функции под знаком интеграла в уравнении (3.20),верхний предел в интеграле можно заменить на бесконечность.Считая далее, что относительное отклонение профиля температуры оттемпературы T0 вдали от капли невелико, удобно ввестиизобарныетеплоемкости c g и cig молекул пассивного газа и i -го компонента пара66cg T  r , t   T0   hg T  r , t    hg T0  ,(3.21)cig T  r , t   T0   hig T  r , t    hig T0  .С учётом (3.21) уравнение (3.20) может быть приведено к видуkki 1i 1Td Nсl  x , Td    qi  x , Td  Ni   cig T  r , t   T0  Ni (3.22)k2drrTr,tTcn(r,t)cn(r,t).0ig ig gi1R (t )Используя (3.12), перепишем (3.22) в следующем видеd4dtR1 (t )kTd Nсl  x , Td     qi  x , Td   cig T (r , t )  T0   Ni i 1T0   T (r , t ) k cig  cg ni  r , t  d2.4ncg T0drr 1  1 dt R(t )T(r,t)Tnc 0gi 1(3.23)Отметим, что уравнения (3.2), (3.6), (3.8), (3.9), (3.14), (3.18), (3.19) и(3.23) являются общими.

Они позволяют описать эволюцию состава, размераи температуры капли, если у нас имеются уравнения скоростей N i ,концентраций паров ni  r , t  и газа-носителя ng  r , t  , а также уравнения длялокальной температуры T (r , t ) в парогазовой среде.§ 3.2. Вывод соотношений для локальных плотностей потоковмолекулкомпонентов,тепла,массовойисреднеймолекулярной скорости при произвольном числе компонентов3.2.1. Уравнение баланса энергии и материального баланса. Длядальнейшего рассмотрения нам будут нужны явные выражения длялокальных плотностей диффузионных потоков компонентов парогазовой67среды и локальной плотности теплового потока. В литературе [24],[43-45]нет подходящего для нашей задачи многокомпонентной системы состефановским течением вывода подобных соотношений.

Характеристики

Список файлов диссертации