Диссертация (1149168), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Изменение размера и состава идеальнойбинарной капли в изотермических условиях§ 1.1. Уравнения для определения размера и состава бинарнойкапли как функции времениСформулируем следующую задачу. В атмосферу, состоящую их двухконденсирующихся паров и одного неконденсирующегося пассивного газа визотермических условиях вводится двухкомпонентная капля, которая вдальнейшем регулярно растет или испаряется в зависимости от соотношениямежду фактическими концентрациями конденсирующихся паров в атмосферевдали от капли и концентрациями, соответствующих пару при насыщениинадрастворомвкапле.Капляявляетсясвободноподвешенной(левитирующей) и сферической. Будем рассматривать капли такого размера,чтобы можно было пренебречь влиянием кривизны поверхности капли надавление насыщенных паров, при этом потоки пара на каплю считаемдиффузионными.Помимоэтогопредполагается,чтоконцентрацияпассивного газа велика настолько, чтобы оправдать пренебрежениеэффектами тепловыделения, стефановского течения смеси и взаимноговлияния диффузионных потоков различных паров.Сказанное выше позволяет считать, что температура капли и средыподдерживаетсяпостояннойиравнаT.Система капля-парогазоваяатмосфера является сферически симметричной с центром в центре капли.Обозначим через r расстояние от центра капли радиуса R до точки16наблюдения.

Обозначив за ni объемные концентрации, то есть число частицпара i-го (i = 1, 2) конденсирующегося компонента в единице объема,запишем граничные условия на объемные концентрации паров в видеni  r  r   ni 0 , ni  r  r R  ni  xi  .(1.1)Здесь введены следующие обозначения: ni 0 – объемная концентрация пара iго компонента вдали от капли,ni  xi – объемная концентрациянасыщенного пара i-го компонента над плоской поверхностью раствора смолярными концентрациями xi . Общее число молекул в капле N  N1  N2 ,где за N i обозначено число молекул i-го компонента в капле, котороеочевидным образом связано с молярными концентрациями какxi NiN i , x1  x2  1.N1  N 2 N(1.2)Для капли объема V с радиусом R имеемV4 3R   N1  N 2    x1  ,3(1.3)здесь   x1  – средний объем на молекулу в растворе.Рассматривая режим стационарной диффузии паров, для изменения N iчисла молекул i-го компонента в капле запишем уравнениеdNi 4RDi  ni 0  ni  xi  ,dtгдеDi(1.4)– коэффициент диффузии молекул пара i-го компонента внеконденсирующемся газе-носителе.

Введем обозначения для производной17по времени в виде точки над величиной и штрих для производных поконцентрации. Тогда для нахождения изменения во времени концентраций иразмеракапли,продифференцируемсоотношениядлямолярныхконцентраций (1.2) и объема капли (1.3) по времени, использовав (1.3) дляисключения N1  N 2 ,x1 3  x1 1  x1  N1  x1 N 2  ,4R3 1   x1 R 2 R   N1  N 2    x1   R3.3   x1 (1.5)(1.6)Для удобства введем следующие функцииf  x1   1  x1  D1 n10  n1  x1   x1D2 n20  n2 1  x1  ,(1.7)g  x1   D1 n10  n1  x1   D2 n20  n2 1  x1  .(1.8)Тогда уравнения (1.5) и (1.6) запишутся в более компактном виде3  x1  f  x1  ,R2x1 RR    x1  g  x1    '  x1  f  x1  .(1.9)(1.10)Из (1.9) очевидно, что для нахождения стационарной концентрации x1sпервого компонента в капле служит уравнениеf  x1s   0.(1.11)Как следует из (1.10) и (1.11), скорость изменения квадрата радиуса капли современем в стационарном режиме находится из выражения RR s   x1s  g  x1s  .(1.12)18Для нахождения зависимости между радиусом капли и концентрациейв ней, исключим из уравнений (1.9) и (1.10) зависимость от времени иполучим соотношениеdR 2 2  g  x1   '  x1    dx1.R23  f  x1    x1  Интегрирование этого соотношения даст интегральное выражение длярадиуса капли в зависимости от концентрации:23 2 x1 g  y     x1  R  x1   R0 dy  , exp  x3fy10  x1022(1.13)где нижний индекс 0 используется для обозначения величин в начальныймомент времени.Возвращаясь к уравнению (1.9), подставляя в него решение (1.13),разрешая его относительно времени t, находим 2 y g  z t  x1   t0  2exp  dz .1333fz  x10  x10   y  f  y  x10R0 2x1dy(1.14)§ 1.2.

Условия на немонотонный рост бинарной каплиДля дальнейшего анализа формул (1.13) и (1.14) требуется знаниеявного вида зависимостей f  x1  , g  x1  и объема   x1  на одну молекулу вкапле. Будем считать раствор в капле идеальным. В этом случае парциальныеобъемы 1 и  2 молекул каждого компонента можно считать такими же, каки в чистых жидкостях, то есть можем записать объем капли в следующемвиде19V  N11  N2 2 .(1.15)Тогда, с учетом (1.2), для среднего объема молекулы раствора как функцииконцентрации имеем  x1   x11  x2 2  2   1  2  x1.Такжевприближенииидеальногорастворазависимость(1.16)объемнойконцентрации насыщенных паров для каждого из компонентов имеетнаиболее простой видni  xi   xi ni 1 ,(1.17)где ni 1 – объемная концентрация насыщенного пара вблизи плоскойграницы жидкости чистого i-го компонента.Далее для определения разницы между фактическими концентрациямиконденсирующихся паров в атмосфере вдали от капли и концентрацияминасыщенных паров введем пересыщение пара i-го компонента вдали от каплиследующим образомi ni 0  ni 1ni 1.(1.18)Очевидным образом пересыщение  i изменяется в пределах от -1 до ∞.Выражая объемные концентрации паров ni 0 вдали от капли черезпересыщения, перепишем соотношения (1.7) и (1.8) для функций f  x1  иg  x1  с учетом (1.17) и (1.18) в следующем видеf  x1   1  x1  D1n1 1 1  1  x1   x1 D2 n2 1 1   2  1  x1  , (1.19)20g  x1   D1n1 1 1  1  x1   D2 n2 1 1   2  1  x1  .(1.20)Тогда, вводя для удобства безразмерный параметрD1n1 1 1D2 n2 1  2(1.21)и используя (1.16), (1.19) и (1.20), имеем из (1.10)RR  x1   D2 n2 1 2  1  1    2  1    x1  .(1.22)Заметим теперь, что выражение (1.12) для стационарной скоростироста, с использованием (1.11) можно записать в симметричном по обоимкомпонентам в виде RR sD1n1 1 D2 n2  1x1s D2 n2 1  x2s D1n1 1 1 x1s  2 x2s   1   2  1 .(1.23)Таким образом, в стационарном режиме бинарная капля монотонно растет,если 1   2  1  0 , что с учетом (1.18), выполняется в случае пересыщенияодного из компонент конденсирующегося пара.

Также монотонный роствозможен и в случае недосыщения по обоим компонентам. Если же1   2  1  0 , то в стационарном режиме капля необратимо испаряется. При1   2  1  0 достигается динамическое равновесие между раствором вкапле и конденсирующимся паром, и равновесное значение концентрации iго компонента пара естьxis  1  i .(1.24)21Здесь мы пренебрегли эффектом поверхностного натяжения раствора вкапле, однако даже слабый учет эффекта капиллярностинарушаетравновесие для 1   2  1  0 и капля будет необратимо испаряться.В случае, когда начальная скорость изменения радиуса капли R  x10  истационарная скорость роста Rsимеют разный знак, наблюдаетсянемонотонность роста капли.

Обозначим за x1m концентрацию, при которойменяется знак скорости роста капли, т.е. R  x1m   0 . Тогда при x1  x1mуравнение (1.22), если   1, имеет одно решениеx1m  1  1    2 1(1.25).В случае, когда концентрация x1m лежит в пределах от 0 до x1s , каплядемонстрирует немонотонное поведение, если её начальный состав таков, чтодляконцентрациипервогокомпонентавыполняетсяx10  x1m .Впротивоположном случае, когда для рассматриваемой системы имеет местоx1s  x1m  1 , то немонотонное изменение радиуса капли будет наблюдаться,если на пути к стационарному режиму концентрация первого компонентакапли проходит точку экстремума, то есть x1m  x10 .Нетрудно заметить, что приближение идеального раствора не являетсянеобходимым для демонстрации немонотонного изменения размера капли современем.

Действительно, когда скорости роста каплиRR  x1  0 иRR  x1  1 имеют противоположный знак, должно существовать некоторое22значение концентрации раствора в капле, при котором, скорость её ростаменяет знак даже в случае неидеального раствора.Остановимся на этом подробнее – перепишем выражение для скоростироста капли (1.10) следующим образом, используя (1.7) и (1.8),RR  D1  n10  n1  x1     x1    '  x1 1  x1   (1.26) D2  n20  n2 1  x1     x1    '  x1  x1  .Рассмотрим условия выполнения следующих неравенств RR  x1  0   0 иRR  x1  1  0(противоположныйслучайсоответствуетвсеголишьперестановке номеров компонентов).

Характеристики

Список файлов диссертации