Диссертация (1149153), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Квадратная скобка [j, k, . . . ] есть сокращённое обозначение для(2j + l)(2k + 1) . . . .Окончательное выражение для вероятности трёхфотонного перехода в одноэлектронном ионе выглядит следующим образомdWi→f (ω1 , ω2 )ω3 ω2 ω1=dω1 dω2(2π)5XXXλ1 ,λ2 ,λ3 jγ1 ,jγ2 ,jγ3 mγ1 ,mγ2 ,mγ32 Xjen0 jenS(1, 2, 3) + (5 перестановок) (5.26).jen ,j 0enПерестановки в выражении (5.26) понимаются как перестановки индексов 1, 2, 3. Суммирование по всем проекциям в (5.26) может быть выполнено численно, для каждого значениясоответствующего углового момента.84Перейдём к выводу выражения для вероятности трёхфотонного перехода в двухэлектронных ионах в приближении невзаимодействующих электронов. В таком приближениидвухэлектронная волновая функция может быть представлена в виде детерминанта СлейтераX1CjJee Mmee je meΨJe Me (~r1 , ~r2 ) = √11 222 me ,me12ψne je le me (~r1 ) ψne je le me (~r2 )1 1 111 1 11.ψne2 je2 le2 me2 (~r1 ) ψne2 je2 le2 me2 (~r2 )(5.27)Тогда двухэлектронный матричный элемент может быть сведен к одноэлектронному [47]ED (λ)n1α n2α Jeα Meα Qjγ mγ ω n1β n2β Jeβ Meβ = (−1)Jeα −Meα +je1 α +je2 αEhi1/2jγJeβ  Jeα jγ Jeβ  D Jeα (λ) × Jeα Jeβn1α je1 α Qjγ ω n1β je1 β ,je α je je β −Mem γ Meα1β2(5.28)11/2DE1/24π (λ) je1 α −1/2jγ +λ−1n1α je1 α Qjγ ω n1β je1 β = (−i)(−1)je1 α , je1 β2jγ + 1je1 α jγ je1 β  (λ,jγ )× M αβ (ω).1/2 0 −1/2(5.29)Окончательно выражение для вероятности трёхфотонного перехода в двухэлектронномионе имеет видdWifω3 ω2 ω1=dω2 dω1(2π)5XXX(5.30)λ1 ,λ2 ,λ3 jγ1 ,jγ2 ,jγ3 mγ1 ,mγ2 ,mγ32 XXJe 0 Jen je n0 je1 n1(1, 2, 3) + (5 перестановок) ,×S nJen0 ,Jen je1 n0 ,je1 nгдеSX=(λj ,jγ )(λ ,jγ )(λ ,jγ )M f,ni 0 i (ωi )M n0 ,n j (ωj )M n,ik k (ωk )Xle n0 ,le1 n n,n01J e 0 J e n j e n0 j e 1 nn1(i, j, k)En0 je 1 n0 l e 1 n0− Enf jel1 f e1 f×Δ− ωk − ωjEnje1 n le1 n − Enf jeJe 0 ,Jen ,je n0 ,je1 nn1(i, j, k)le n0l1 f e1 fle n− ωkle iπf 1 (i) πn01 (j) πn 1 (k),(5.31)85je n0× 11/2hi1/2 3/2(4π)j,j,j,j0jjjefenei0enγi111Je ,Je ,je1 n 1 e1 f0 ,je nΔ n0 n e1 n 1 (i, j, k) =hi1/21/2 0 −1/2jγi , jγj , jγk Jei1/2 hi1/2 jγj je1 n  je1 n jγk je1 i  hjJγie n0fj,jJ,J0 e1 n e1 ne n0enj 0 je0 −1/21/20 −1/2je1 f e1 n2Jejγj JenJen jγk Jei n0×Θ(i, j, k)je n jej 0  je i jeje n 12e1 n12(5.32)1иhi1/2Θ(i, j, k) = Jen0 , JenX(−1) J ef−MefJen   JenM en−MenMef +Me 0 +MennMe 0 ,Menn Jen0×−Men0j γjmγjj γimγij γkmγkJen0 M e n0Jei .Mei(5.33)Таким образом в приближении невзаимодействующих электронов задача свелась к вычислению одноэлектронных матричных элементов.В качестве примера, демонстрирующего ССПО-2 для трёх эквивалентных фотонов,рассмотрим переход 23 P2 → 11 S0 + 3γ(E1) в гелиеподобном ионе и покажем, что значениеполного углового момента J = 2 запрещено для трёх одинаковых дипольных фотонов.Это переход проходит по трём каналам распада.

Рассмотрим каждый в отдельности: 1)23 P2 → n3 S1 + γ(E1) → n03 P1 n01 P1 + 2γ(E1) → 11 S0 + 3γ(E1);этот канал запрещён так как двух-фотонный переход n3 S1 → 11 S0 + 2γ(E1) невозможен по ССПО-1, 2) 23 P2 → n3 D1 + γ(E1) →n03 P1 n01 P1 + 2γ(E1) → 11 S0 + 3γ(E1); это канал также запрещён в силу ССПО-1 в переходеn3 D1 → 11 S0 +2γ(E1) 3) 23 P2 → n3 D2 n1 D2 +γ(E1) → n03 P1 n01 P1 +2γ(E1) → 11 S0 +3γ(E1).

Состоя-ния примешанные спин-орбитальным взаимодействием выделены квадратными скобками.Третий канал также обращается в ноль для трёх эквивалентных фотонов, однако это нетак очевидно как в случае первых двух.Тем не менее, используя точное аналитическое выражение для вероятности трёхфотонного перехода (5.30) можно установить, что для трёх дипольных фотонов одинаковойчастоты (ω1 = ω2 = ω3 ) вероятность обращается в ноль. Это можно проделать аналитически, однако более наглядным может послужить численный расчёт для конкретного МЗИ.Дифференциальная плотность вероятности для перехода 23 P2 → 11 S0 + 3γ(E1) в гелиеподобном уране Z = 92 представлена на Рис. 13. Важно отметить, что в канале 1) есть резонанс(ситуация, когда один из энергетических знаменателей обращается в ноль).

Наличие про-86межуточного резонансного состояния 23 S1 в сумме по всем промежуточным состояниямв выражении для вероятности (5.31) приводит к появлению узкого "гребня"с пиками враспределении по частотеω1dW (ω1 ,ω2 )dω1 dω2начинающегося в точке ω1 = E(23 P2 ) − E(23 S1 ) по осии тянущегося параллельно оси ω2 ; так как амплитуда процесса симметрична относи-тельно перестановки частот фотонов, то можно сказать, что этот "гребень" также начинается из точки ω2 = E(23 P2 ) − E(23 S1 ) и тянется параллельно оси ω1 .

Этот "гребень" невлияет на ССПО-2, так как он не соответствует случаю трёх эквивалентных фотонов. НаРис. 13 можно видеть характерный провал до нуля в распределении по частоте в точке(ω1 = ω2 = ω3 ), являющийся следствие ССПО-2.

Для сравнения на Рис. 14 представленодифференциальное распределение вероятности для перехода 23 P1 → 11 S0 + 3γ(E1) в гелиеподобном уране не запрещённого по ССПО-2. Максимум распределения приходится, вотличие от Рис. 13 на точку ω1 = ω2 = ω3 . В этом переходе полный угловой момент J = 1 незапрещён для трёх эквивалентных фотонов.Рис.

13: Трёхмерная функция распределения по частоте для перехода 23 P2 → 11 S0 + 3γ(E1) вгелиеподобном уране (Z = 92). По вертикальной оси отложена вероятность перехода dωdWв1 dω2−1c ; по горизонтальным осям отложены частоты фотонов в единицах ω1 /Δ2 , ω2 /Δ2 где Δ2обозначает разницу энергий Δ2 = E(23 P2 ) − E(11 S0 ). Точка, в которой вероятность обращаетсяв ноль имеет координаты ω1 /Δ2 = ω2 /Δ2 = 1/3, что соответствует ССПО-2.

Межэлектронноевзаимодействие не учитывалосьАналогичным образом (используя выражение (5.30)) можно проверить ССПО-2 дляперехода 33 D2 → 11 S0 + 3γ(M 1). Однако, как уже упоминалось ранее, значение полногоуглового момента J = 2 не является запрещённым для перехода 33 D2 → 11 S0 + 3γ(E2). Такжене запрещено значение J = 4 для 43 F4 → 11 S0 + 3γ(M 2). Всё это касается и перехода 21 S0 →11 S0 + 3γ(E2)так как значение J = 0 разрешено для трёхфотонных систем. Во всех этихслучаях значение полного углового момента системы фотонов J фиксируется начальным87Рис.

14: Трёхмерная функция распределения по частоте для перехода 23 P1 → 11 S0 + 3γ(E1) ввгелиеподобном уране (Z = 92). По вертикальной оси отложена вероятность перехода dωdW1 dω2−1c ; по горизонтальным осям отложены частоты фотонов в единицах ω1 /Δ1 , ω2 /Δ1 , гдe Δ1обозначает разницу энергий Δ2 = E(23 P1 ) − E(11 S0 ). Межэлектронное взаимодействие неучитывалось. Полная вероятность перехода W3γ (23 P1 − 11 S0 ) = 13.825270 × 106 s−1 ,W3γ (23 P1 − 11 S0 ) = 13.825246 × 106 s−1 в калибровках "длины" и "скорости" соответственно.J eiи конечным Jef значениями полного электронного углового момента. Все эти примерыподтверждают ССПО-2 для дипольных фотонов.В некоторых случаях, например в переходе 21 S0 → 11 S0 + 3γ(E1), значение J = 0 запрещено не в силу ССПО-1: согласно ССПО-1 два одинаковых электрических дипольныхфотона E1 могут иметь только полный угловой момент 0, 2.

Добавляя угловой момент 1третьего фотона E1 к первым двум, невозможно получить полный угловой момент J = 0для системы трёх фотонов. Рассмотрим ситуацию с тремя квадрупольными фотонами.Добавляя третий фотон E2 с угловым моментом 2 к первым двум можно получить значение J = 0 полного углового момента системы трёх фотонов. Прямая проверка выражениядля вероятности перехода для случая J = 0 также показывает, что J = 0 не запрещено вэтом случае.Перейдём теперь к наиболее общему доказательству ССПО-2, не связанным с прямым вычислением амплитуд вероятностей перехода.

С этой целью будем использоватьуравнения на гениалогические коэффициенты, обычно применяемые в случае статистики Ферми-Дирака для построения волновых функций системы эквивалентных электронов(смотри [83]).Рассмотрим систему трёх фотонов одинаковой частоты ω, с одинаковым угловым моментом j1 = j2 = j3 = j и одного и того же типа s1 = s2 = s3 = s. На первых этапах доказательства будем различать эти наборы квантовых чисел и и положим их равными другудругу позже.

Выберем возможную схему сложения моментов фотонов, в которой сперва88рассматривается пара фотонов с индексами i = 1, 2 и затем к ней добавляется третий фотонс индексом i = 3. Волновая функция пары фотонов i = 1, 2 строится согласно выражению(5.8) и затем третий фотон i = 3 добавляется согласно стандартной схеме сложения моментов с целью получить волновую функцию системы трёх фотонов с полным моментомJи проекцией M . Обозначим эту волновую функцию какΦωJM (j1 j2 [J 0 ]j3 ), где угловой мо-мент J 0 в квадратных скобках принимает одно из возможных промежуточных значенийуглового момента для системы двух фотонов. Волновая функция ΦωJM (j1 j2 [J 0 ]j3 ) симметризована относительно перестановки индексов 1, 2 и поэтому для эквивалентных фотонов J 0принимает только значения разрешённые ССПО-1.

Характеристики

Список файлов диссертации